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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:42 Fr 28.10.2011 | | Autor: | ella87 |
| Aufgabe | Seien [mm] x, y \in \IR^n [/mm]. Die Vektoren [mm]x´ [/mm] und [mm]y´ [/mm] seine durch [mm]x´ = \alpha x + \beta [/mm] und [mm]y´ = \gamma y + \delta [/mm] mit [mm] \alpha, \beta, \gamma, \delta \in \IR, \alpha, \gamma \not= 0 [/mm] gegeben. Weiter sei [mm]r_{xy} = \bruch{\left\langle v_x, v_y \right\rangle}{ \left| v_x \right| \left| v_y \right|} [/mm] mit [mm]-1\le r_{xy} \le 1 [/mm].
Zeigen Sie:
[mm]r_{x`y`} = \left\{\begin{matrix}
r_{xy}, & \mbox{falls }\alpha \gamma > 0{} \\
-r_{xy}, & \mbox{falls }\alpha \gamma < 0{}
\end{matrix}\right [/mm] |
vielleicht sei noch gesagt, dass [mm]v_x = ( (x_1 - \bar x ), ... , (x_n - \bar x ))[/mm] der Abweichvektor zu x ist.
Mein Problem ist, dass sich bei mir [mm]\alpha [/mm] und [mm] \gamma [/mm] rauskürzen. Es muss also irgendwo ein Fehler sein. Ich habe zweimal gerechnet und ihn nicht gefunden.
meine Rechnungen:
[mm] \bar x' = \bruch{1}{n}\summe_{i=1}^{n}( \alpha x_i + \beta ) [/mm]
[mm]v_{x'} = ( \alpha x_1 +\beta - \bruch{1}{n}\summe_{i=1}^{n}( \alpha x_i + \beta ), ... , \alpha x_n +\beta - \bruch{1}{n}\summe_{i=1}^{n}( \alpha x_i + \beta )) = (\alpha (x_1 - \bar x) ,..., \alpha (x_n - \bar x ) )= \alpha v_x[/mm]
Nebenrechnung: [mm] \alpha x_1 +\beta - \bruch{1}{n}\summe_{i=1}^{n}( \alpha x_i + \beta ) = \alpha x_1 +\beta - \bruch{1}{n}\summe_{i=1}^{n} \alpha x_i - \bruch{1}{n}\summe_{i=1}^{n}\beta = \alpha x_1 +\beta - \alpha\bruch{1}{n}\summe_{i=1}^{n} x_i - \bruch{1}{n}n\beta = \alpha(x_1 -\bar x )[/mm]
analog: [mm]v_{y'} = \gamma v_y [/mm]
[mm]\left\langle v_{x'},v_{y'} \right\rangle = \left\langle \alpha v_{x},\gamma v_{y} \right\rangle = \alpha(x_1 -\bar x ) \gamma(y_1 - \bar y )+...+\alpha(x_n -\bar x ) \gamma(y_n - \bar y ) = \alpha \gamma \summe_{i=1}^{n}(x_i - \bar x )(y_i - \bar y ) = \alpha \gamma \left\langle v_{x},v_{y} \right\rangle[/mm]
[mm]\left| v_{x'} \right| = \wurzel[2]{(\summe_{i=1}^{n}\alpha (x_i - \ar x ))^2} = \wurzel[2]{(\alpha \summe_{i=1}^{n} (x_i - \ar x ))^2} = \wurzel[2]{\alpha^2 (\summe_{i=1}^{n} (x_i - \ar x ))^2} = \alpha \wurzel[2]{\summe_{i=1}^{n} (x_i - \ar x )^2} = \alpha \left| v_{x} \right| [/mm]
analog:
[mm]\left| v_{y'} \right| = \gamma \left| v_{y} \right| [/mm]
Daraus ergibt sich dann:
[mm]r_{x'y'} = \bruch{\alpha \gamma \left\langle v_{x},v_{y} \right\rangle}{\alpha \left| v_{x} \right| \gamma \left| v_{y} \right|} [/mm]
und da kürzt sich dann [mm]\alpha[/mm] und [mm] \beta [/mm] raus!
Wo liegt der Fehler?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:39 Fr 28.10.2011 | | Autor: | luis52 |
> Daraus ergibt sich dann:
> [mm]r_{x'y'} = \bruch{\alpha \gamma \left\langle v_{x},v_{y} \right\rangle}{\alpha \left| v_{x} \right| \gamma \left| v_{y} \right|}[/mm]
>
> und da kürzt sich dann [mm]\alpha[/mm] und [mm]\beta[/mm] raus!
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
[mm]r_{x'y'} = \bruch{\alpha \gamma \left\langle v_{x},v_{y} \right\rangle}{\red{|\alpha|} \left| v_{x} \right| \red{|\gamma|} \left| v_{y} \right|}[/mm]
>
>
> Wo liegt der Fehler?
vg Luis
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:52 Fr 28.10.2011 | | Autor: | ella87 |
oh! ja natürlich!!!! danke!
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