Korrelationsfunktion Beweis < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 23:16 Mo 10.10.2016 | | Autor: | Jellal |
Guten Abend,
ich habe in einem Buch zur theoretischen Physik eine Aussage gefunden, die ich nicht bewiesen bekomme.
Seien [mm] E^{+}(x) [/mm] und [mm] E^{-}(x) [/mm] zwei von Variable x abhängige, zueinander adjungierte Operatoren.
Die Korrelationsfunktion sei definiert durch:
[mm] G^{n}(x_{1}...x_{n},x_{n+1}...x_{2n})= Tr(\rho*E^{-}(x_{1})...E^{-}(x_{n})*E^{+}(x_{n+1})...E^{+}(x_{2n}))
[/mm]
mit einem Dichteoperator [mm] \rho.
[/mm]
Ausgehend von [mm] Tr(\rho*A^{\dagger}*A)\ge [/mm] 0 und mit der Wahl [mm] A=a_{1}E^{+}(x_{1})...E^{+}(x_{n})+a_{2}E^{+}(x_{n+1})...E^{+}(x_{2n}), a_{i}\in\IC [/mm] beliebig, soll gezeigt werden:
[mm] G^{n}(x_{1}...x_{n},x_{n}...x_{1})G^{n}(x_{n+1}...x_{2n},x_{2n}...x_{n+1}) \ge |G^{n}(x_{1}...x_{n},x_{n+1}...x_{2n})|^{2}
[/mm]
Ertstmal schreibe ich [mm] A^{\dagger} [/mm] auf:
[mm] A^{\dagger}=a_{1}^{\*}E^{-}(x_{n})...E^{-}(x_{1})+a_{2}^{\*}E^{-}(x_{2n})...E^{-}(x_{n+1})
[/mm]
[mm] \Rightarrow A^{\dagger}*A=
[/mm]
[mm] a_{1}^{\*}*a_{1}*E^{-}(x_{n})...E^{-}(x_{1})E^{+}(x_{1})...E^{+}(x_{n}) [/mm]
+ [mm] a_{1}^{\*}*a_{2}E^{-}(x_{n})...E^{-}(x_{1})E^{+}(x_{n+1})...E^{+}(x_{2n})
[/mm]
+ [mm] a_{2}^{\*}*a_{1}E^{-}(x_{2n})...E^{-}(x_{n+1})E^{+}(x_{1})E^{+}(x_{n})
[/mm]
[mm] +a_{2}^{/*}*a_{2}E^{-}(x_{2n})...E^{-}(x_{n+1})E^{+}(x_{n+1})E^{+}(x_{2n})
[/mm]
[mm] \ge [/mm] 0
Zieht man nun die Spur und wendet die Definition der Korrelatorfunktion an, ergibt sich:
[mm] Tr(\rho*A^{\dagger}*A)
[/mm]
= [mm] a_{1}^{\*}*a_{1}*G^{n}(x_{n}...x_{1},x_{1}...x_{n})
[/mm]
+ [mm] a_{1}^{\*}*a_{2}*G^{n}(x_{n}...x_{1},x_{n+1}...x_{2n})
[/mm]
+ [mm] a_{2}^{\*}*a_{1}*G^{n}(x_{2n}...x_{n+1},x_{1}...x_{n})
[/mm]
+ [mm] a_{2}^{\*}*a_{2}*G^{n}(x_{2n}...x_{n+1},x_{n+1}...x_{2n})
[/mm]
[mm] \ge [/mm] 0
Das kann man als positive Definitheit der Matrix G auffassen: [mm] a^{T}*G*a \ge [/mm] 0.
Dann ist auch det(G) [mm] \ge [/mm] 0:
det(G)= [mm] G^{n}(x_{n}...x_{1},x_{1}...x_{n})*G^{n}(x_{2n}...x_{n+1},x_{n+1}...x_{2n}) [/mm] - [mm] G^{n}(x_{n}...x_{1},x_{n+1}...x_{2n})*G^{n}(x_{2n}...x_{n+1},x_{1}...x_{n}) \ge [/mm] 0
[mm] \rightarrow G^{n}(x_{n}...x_{1},x_{1}...x_{n})*G^{n}(x_{2n}...x_{n+1},x_{n+1}...x_{2n}) \ge G^{n}(x_{n}...x_{1},x_{n+1}...x_{2n})*G^{n}(x_{2n}...x_{n+1},x_{1}...x_{n}) [/mm] = [mm] |G^{n}(x_{2n}...x_{n+1},x_{1}...x_{n})|^{2} [/mm]
wobei im letzten = genutzt wurde, dass [mm] (G^{n}(x_{1}...x_{n},x_{n+1}...x_{2n}))^{\*}=G^{n}(x_{2n}...x_{n+1},x_{n}...x_{1})
[/mm]
Bei mir sind die Variablen in den [mm] G^{n} [/mm] also in anderer Reihenfolge als in der Aussage oben :(
Die Reihenfolge darf doch nicht beliebig geändert werden, da die Operatoren doch nicht zwangsweise kommutieren...
Habe ich irgendwas übersehen?
Danke für jeden, der sich Zeit nimmt!
Jellal
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:00 Sa 15.10.2016 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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