Korrektur Matrizenrang < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 03:55 Di 01.03.2011 | | Autor: | kushkush |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
| Aufgabe | 6. Sei $A$ in $M(3,4)$ mit $Rang \ A=2$.
a) Zeige, dass $det \ B = 0$ für alle Untermatrizen B in $M(3,3)$ von A.
b) Zeige, dass es mindestens eine Untermatrix B in $M(2,2)$ von A gibt, mit $det \ B \ne 0$ |
Hallo,
Rang 2 heisst die Matrix $\vektor{a_{11}&a_{12}&a_{13}&a_{14}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}&a_{24\\ a_{31}&a_{32}&a_{33}&a_{34}}$ kann auf die Form : $\vektor {a & b & c & d \\ e & f & g & h\\ 0 & 0 & 0 & 0} $ gebracht werden.
a) Hier gibt es zwei Fälle die man rausnehmen kann: $\vektor{a&b&c\\ e&f & g \\ 0&0&0}$ und $\vektor{b&c&d\\ f&g& h \\ 0&0&0}$
aber die Determinante gibt wegen der Nullzeile immer 0...
b) Hier gibt es 3 Fälle die man rausnehmen kann. Ich nehme an, dass ich es irgendwie mit der linearen Unabhängigkeit zeigen muss, dass mindestens eine Determinante dieser drei Matrizen nicht 0 ist.
OK, wenn keine Matrize existiert, so dass mindestens eine der 3 Untermatrizen $det \ne 0$ hat, dann hiesse das, dass die Matrix nicht Rang 2 sein kann, weil man sie dann auf die Form $\vektor{a& b & c & f \\ a & b & c & f \\ 0 & 0 & 0 &0 } \rightarrow \vektor{a& b & c & f \\ 0&0&0&0 \\ 0&0&0&0}$ = Rang 1
bringen könnte.
Wie schreibe ich das denn formaler hin?
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
Danke und Gruss
kushkush
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> 6. Sei [mm]A[/mm] in [mm]M(3,4)[/mm] mit [mm]Rang \ A=2[/mm].
>
> a) Zeige, dass [mm]det \ B = 0[/mm] für alle Untermatrizen B in
> [mm]M(3,3)[/mm] von A.
> b) Zeige, dass es mindestens eine Untermatrix B in [mm]M(2,2)[/mm]
> von A gibt, mit [mm]det \ B \ne 0[/mm]
>
>
> Hallo,
>
> Rang 2 heisst die Matrix
> [mm]\vektor{a_{11}&a_{12}&a_{13}&a_{14}\\
a_{21}&a_{22}&a_{23}&a_{24\\
a_{31}&a_{32}&a_{33}&a_{34}}[/mm]
> kann auf die Form : C:=[mm]\vektor {a & b & c & d \\
e & f & g & h\\
0 & 0 & 0 & 0}[/mm]
> gebracht werden.
>
Hallo,
Du hast natürlich recht damit, daß man Matrizen mit dem Rang 2 auf die von Dir angegebene Form C bringen kann. Wichtig wäre hier noch, daß 1. und 2. Zeile linear unabhängig sind. Sonst hätte man nämlich nicht Rang 2.
Die Definition des Ranges ist aber anders: der Rang ist die Dimension des Zeilen- bzw. Spaltenraumes.
Du führst nun Untersuchungen an C durch.
Die ist aber nicht die Aufgabe: man will von Dir etwas wissen über die Untermatrizen von A, nicht über die von C.
Nichtsdestotrotz kann man natürlich mal damit beginnen, C zu untersuchen.
>
> a) Hier gibt es zwei Fälle die man rausnehmen kann:
> [mm]\vektor{a&b&c\\
e&f & g \\
0&0&0}[/mm] und [mm]\vektor{b&c&d\\
f&g& h \\
0&0&0}[/mm]
Ich weiß nicht recht, was Du mit "zwei Fälle" meinst.
Ich sehe 3 Untermatrizen der geforderten Größe.
>
> aber die Determinante gibt wegen der Nullzeile immer 0...
Klar.
>
> b) Hier gibt es 3 Fälle die man rausnehmen kann.
???
2x2-Untermatrizen gibt's ein paar mehr, oder?
Gruß v. Angela
> Ich nehme
> an, dass ich es irgendwie mit der linearen Unabhängigkeit
> zeigen muss, dass mindestens eine Determinante dieser drei
> Matrizen nicht 0 ist.
>
> OK, wenn keine Matrize
>existiert, so dass mindestens eine
> der 3 Untermatrizen [mm]det \ne 0[/mm] hat, dann hiesse das, dass
> die Matrix nicht Rang 2 sein kann, weil man sie dann auf
> die Form [mm]\vektor{a& b & c & f \\
a & b & c & f \\
0 & 0 & 0 &0 } \rightarrow \vektor{a& b & c & f \\
0&0&0&0 \\
0&0&0&0}[/mm]
> = Rang 1
>
> bringen könnte.
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> Wie schreibe ich das denn formaler hin?
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>
> Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
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> Danke und Gruss
>
> kushkush
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:04 Di 01.03.2011 | | Autor: | fred97 |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Zu a ):
Sei $A:= \vektor{a_{11}&a_{12}&a_{13}&a_{14}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}&a_{24\\ a_{31}&a_{32}&a_{33}&a_{34}} $
Es ist
Rang(A)= Zeilenrang (A)= Spaltenrang(A) =2.
Sei B eine 3x3 - Untermatrix von A. Annahme: det(B) \ne 0
Dann ist Spaltenrang (B)=3. Damit gilt auch: Spaltenrang(A) =3, Widerspruch.
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:35 Di 01.03.2011 | | Autor: | kushkush |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo angela und fred,
< das darfst du nicht
Wieso?? Wenn ich die Matrix A nach C überführen kann??
< Zu a ):
dann wäre analog dazu b):
Sei $ A:= \vektor{a_{11}&a_{12}&a_{13}&a_{14}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}&a_{24\\ a_{31}&a_{32}&a_{33}&a_{34}} $
Sei B eine 2x2 Untermatrix von A - Annahme: für alle B, det(B) = 0
Dann wäre Spaltenrang (B)=1 und damit auch Spaltenrang(A)=1 . Widerspruch.
Danke!!!!!
Gruss
kushkush
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:57 Mi 02.03.2011 | | Autor: | fred97 |
> Hallo angela und fred,
>
>
> < das darfst du nicht
>
>
> Wieso?? Wenn ich die Matrix A nach C überführen kann??
>
> < Zu a ):
>
> dann wäre analog dazu b):
>
> Sei [mm]A:= \vektor{a_{11}&a_{12}&a_{13}&a_{14}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}&a_{24\\ a_{31}&a_{32}&a_{33}&a_{34}}[/mm]
>
> Sei B eine 2x2 Untermatrix von A - Annahme: für alle B,
> det(B) = 0
>
> Dann wäre Spaltenrang (B)=1
Wieso ?
> und damit auch
> Spaltenrang(A)=1
Wieso ?
FRED
> . Widerspruch.
>
>
> Danke!!!!!
>
>
>
> Gruss
>
> kushkush
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Hallo fred,
< Wieso
Weil wenn für jede 2x2 Untermatrize von A det = 0 gilt, dann muss der Rang 1 sein, weil es um diese Bedingung zu erfüllen mindestens zwei Nullzeilen braucht.
Gruss
kushkush
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:20 Fr 04.03.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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