Korrektur: Beweis linear unab. < Sonstiges < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:05 Di 23.02.2010 | | Autor: | ChopSuey |
| Aufgabe | Seien $\ [mm] v_1, [/mm] ..., [mm] v_m [/mm] $ [mm] \in [/mm] $\ V $ linear unabhängige Vektoren. Wähle
$\ [mm] v_{m+1} \in [/mm] V \ [mm] \backslash [/mm] \ [mm] span(v_1,...,v_m) [/mm] $
Zeige, dass die Vektoren $\ [mm] v_1,...v_m,v_{m+1} [/mm] $ linear unabhängig sind. |
Hallo,
ich hab' mir ein paar Gedanken gemacht und würde mich freuen, wenn mir jemand sagen kann, ob das im Groben und Ganzen richtig ist.
$\ [mm] span(v_1,...,v_m) [/mm] $ ist kein Erzeugendensystem von $\ V $, andernfalls wäre $\ V \ [mm] \backslash [/mm] \ [mm] span(v_1,...,v_m) [/mm] = [mm] \emptyset$ [/mm] und es wäre $\ [mm] v_{m+1} \in \emptyset [/mm] $.
Folglich ist $\ [mm] span(v_1,...,v_m) [/mm] $ keine Basis von $\ V $ und somit nicht maximal linear unabhängig.
Da $\ [mm] v_{m+1} \in [/mm] V \ [mm] \backslash [/mm] \ [mm] span(v_1,...,v_m) [/mm] $ gewählt wurde, ist $\ [mm] v_{m+1} \not\in span(v_1,...,v_m) [/mm] $. Somit lässt sich $\ [mm] v_{m+1} [/mm] $ nicht als linearkombination von $\ [mm] v_1,...,v_m [/mm] $ darstellen.
Also sind $\ [mm] v_1,...,v_m,v_{m+1} [/mm] $ linear unabhängig.
Würde mich ueber Antworten freuen.
Gruß
ChopSuey
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Hallo ChopSuey,
> Seien [mm]\ v_1, ..., v_m[/mm] [mm]\in[/mm] [mm]\ V[/mm] linear unabhängige
> Vektoren. Wähle
>
> [mm]\ v_{m+1} \in V \ \backslash \ span(v_1,...,v_m)[/mm]
>
> Zeige, dass die Vektoren [mm]\ v_1,...v_m,v_{m+1}[/mm] linear
> unabhängig sind.
> Hallo,
> ich hab' mir ein paar Gedanken gemacht und würde mich
> freuen, wenn mir jemand sagen kann, ob das im Groben und
> Ganzen richtig ist.
>
> [mm]\ span(v_1,...,v_m)[/mm] ist kein Erzeugendensystem von [mm]\ V [/mm],
> andernfalls wäre [mm]\ V \ \backslash \ span(v_1,...,v_m) = \emptyset[/mm]
> und es wäre [mm]\ v_{m+1} \in \emptyset [/mm].
Klingt etwas komisch 
Schreib lieber statt [mm] v_{m+1}\in\emptyset [/mm] : Und man könnte gar kein [mm] v_{m+1} [/mm] wählen.
> Folglich ist [mm]\ span(v_1,...,v_m)[/mm] keine Basis von [mm]\ V[/mm] und
> somit nicht maximal linear unabhängig.
>
> Da [mm]\ v_{m+1} \in V \ \backslash \ span(v_1,...,v_m)[/mm]
> gewählt wurde, ist [mm]\ v_{m+1} \not\in span(v_1,...,v_m) [/mm].
> Somit lässt sich [mm]\ v_{m+1}[/mm] nicht als linearkombination von
> [mm]\ v_1,...,v_m[/mm] darstellen.
> Also sind [mm]\ v_1,...,v_m,v_{m+1}[/mm] linear unabhängig.
Wenn ihr den Satz " [mm] v_{m+1} [/mm] lässt sich nicht als Linearkombination von [mm] v_{1},...,v_{m} [/mm] darstellen und [mm] v_{1},...,v_{m} [/mm] linear unabhängig [mm] \Rightarrow v_{1},...,v_{m},v_{m+1} [/mm] linear unabhängig gehabt habt, ist das okay.
Ansonsten finde ich, dass diese Aussage sehr elementar ist und auch so bewiesen werden sollte.
Der Beweis geht sogar ohne die Fallunterscheidung, ob [mm] v_{1},...,v_{m} [/mm] den ganzen Vektorraum V aufspannen (Du musst das im Grunde nicht behandeln. Hauptsache, du weißt, dass [mm] v_{m+1} [/mm] nicht durch [mm] v_{1},...,v_{m} [/mm] erzeugt werden kann):
Wir wollen zeigen, dass [mm] v_{1},...,v_{m},v_{m+1} [/mm] linear unabhängig. Sei also
[mm] $\lambda_{1}*v_{1} [/mm] + ... + [mm] \lambda_{m}*v_{m} [/mm] + [mm] \lambda_{m+1}*v_{m+1} [/mm] = 0$.
Im Falle [mm] $\lambda_{m+1} [/mm] = 0$ folgt sofort [mm] \lambda_{1} [/mm] = ... = [mm] \lambda_{m} [/mm] = 0, da [mm] v_{1},...,v_{m} [/mm] linear unabhängig.
Angenommen, es wäre [mm] $\lambda_{m+1} \not= [/mm] 0$. Dann können wir Folgendes machen:
[mm] $\Rightarrow \lambda_{1}*v_{1} [/mm] + ... + [mm] \lambda_{m}*v_{m} [/mm] = [mm] -\lambda_{m+1}*v_{m+1}$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow -\frac{\lambda_{1}}{\lambda_{m+1}}*v_{1} [/mm] - ... [mm] -\frac{\lambda_{m}}{\lambda_{m+1}}*v_{m} [/mm] = [mm] v_{m+1}$
[/mm]
Was steht jetzt da? Lässt sich das mit [mm] v_{m+1}\not\in span(v_{1},...,v_{m}) [/mm] vereinbaren?
Grüße,
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:00 Di 23.02.2010 | | Autor: | ChopSuey |
Hallo Stefan,
> Hallo ChopSuey,
>
> > Seien [mm]\ v_1, ..., v_m[/mm] [mm]\in[/mm] [mm]\ V[/mm] linear unabhängige
> > Vektoren. Wähle
> >
> > [mm]\ v_{m+1} \in V \ \backslash \ span(v_1,...,v_m)[/mm]
> >
> > Zeige, dass die Vektoren [mm]\ v_1,...v_m,v_{m+1}[/mm] linear
> > unabhängig sind.
> > Hallo,
> > ich hab' mir ein paar Gedanken gemacht und würde mich
> > freuen, wenn mir jemand sagen kann, ob das im Groben und
> > Ganzen richtig ist.
> >
> > [mm]\ span(v_1,...,v_m)[/mm] ist kein Erzeugendensystem von [mm]\ V [/mm],
> > andernfalls wäre [mm]\ V \ \backslash \ span(v_1,...,v_m) = \emptyset[/mm]
> > und es wäre [mm]\ v_{m+1} \in \emptyset [/mm].
>
> Klingt etwas komisch
> Schreib lieber statt [mm]v_{m+1}\in\emptyset[/mm] : Und man könnte
> gar kein [mm]v_{m+1}[/mm] wählen.
Das war natürlich gemeint 
>
> > Folglich ist [mm]\ span(v_1,...,v_m)[/mm] keine Basis von [mm]\ V[/mm] und
> > somit nicht maximal linear unabhängig.
> >
> > Da [mm]\ v_{m+1} \in V \ \backslash \ span(v_1,...,v_m)[/mm]
> > gewählt wurde, ist [mm]\ v_{m+1} \not\in span(v_1,...,v_m) [/mm].
> > Somit lässt sich [mm]\ v_{m+1}[/mm] nicht als Linearkombination von
> > [mm]\ v_1,...,v_m[/mm] darstellen.
> > Also sind [mm]\ v_1,...,v_m,v_{m+1}[/mm] linear unabhängig.
>
> Wenn ihr den Satz " [mm]v_{m+1}[/mm] lässt sich nicht als
> Linearkombination von [mm]v_{1},...,v_{m}[/mm] darstellen und
> [mm]v_{1},...,v_{m}[/mm] linear unabhängig [mm]\Rightarrow v_{1},...,v_{m},v_{m+1}[/mm]
> linear unabhängig gehabt habt, ist das okay.
Ich weiß nicht, ob wir den Satz schon hatten. Ich dachte, dass das irgendwie klar ist.
$\ [mm] span(v_1,...,v_m) [/mm] $ ist doch die Menge aller Linearkombinationen von $\ [mm] v_1,...,v_m [/mm] $. Da Vorausgesetzt wird, dass $\ [mm] v_{m+1} \not\in span(v_1,...,v_m) [/mm] $ gilt, lässt sich folglich $\ [mm] v_{m+1} [/mm] $ nicht als Linearkombination der $\ [mm] v_1,...v_m [/mm] $ darstellen. Nach Definition der lin. Unabhängigkeit und der Voraussetzung bezgl. $\ [mm] v_{m+1} [/mm] $ ist ja dann gerade $\ [mm] v_1,...v_{m+1} [/mm] $ linear unabhängig.
Dein Einwand ist aber selbstverständlich berechtigt.
>
> Ansonsten finde ich, dass diese Aussage sehr elementar ist
> und auch so bewiesen werden sollte.
> Der Beweis geht sogar ohne die Fallunterscheidung, ob
> [mm]v_{1},...,v_{m}[/mm] den ganzen Vektorraum V aufspannen (Du
> musst das im Grunde nicht behandeln. Hauptsache, du weißt,
> dass [mm]v_{m+1}[/mm] nicht durch [mm]v_{1},...,v_{m}[/mm] erzeugt werden
> kann):
>
> Wir wollen zeigen, dass [mm]v_{1},...,v_{m},v_{m+1}[/mm] linear
> unabhängig. Sei also
>
> [mm]\lambda_{1}*v_{1} + ... + \lambda_{m}*v_{m} + \lambda_{m+1}*v_{m+1} = 0[/mm].
>
> Im Falle [mm]\lambda_{m+1} = 0[/mm] folgt sofort [mm]\lambda_{1}[/mm] = ... =
> [mm]\lambda_{m}[/mm] = 0, da [mm]v_{1},...,v_{m}[/mm] linear unabhängig.
>
> Angenommen, es wäre [mm]\lambda_{m+1} \not= 0[/mm]. Dann können
> wir Folgendes machen:
>
> [mm]\Rightarrow \lambda_{1}*v_{1} + ... + \lambda_{m}*v_{m} = -\lambda_{m+1}*v_{m+1}[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow -\frac{\lambda_{1}}{\lambda_{m+1}}*v_{1} - ... -\frac{\lambda_{m}}{\lambda_{m+1}}*v_{m} = v_{m+1}[/mm]
>
> Was steht jetzt da? Lässt sich das mit [mm]v_{m+1}\not\in span(v_{1},...,v_{m})[/mm]
> vereinbaren?
Nun, $\ [mm] v_{m+1} [/mm] $ ist nun eine Linearkombination aus $\ [mm] v_1,...v_m [/mm] $ und das würde bedeuten, dass gerade $\ [mm] v_{m+1} \in span(v_{1},...,v_{m}) [/mm] $ gilt, was ein Widerspruch ist zur Voraussetzung ist. Also muss $\ [mm] \lambda_{m+1} [/mm] = 0 $ in jedem Fall gelten $\ [mm] \Rightarrow v_1,...,v_{m+1} [/mm] $ linear unabhängig.
Vielen Dank für die Tipps!
Mir ist klar, dass dein Beweis wesentlich schöner / genauer ist, doch würde mich interessieren, ob mein Versuch grundsätzlich zulässig ist.
Würde mich über eine Antwort freuen,
Grüße
ChopSuey
>
> Grüße,
> Stefan
>
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Hallo ChopSuey,
ich antworte jetzt eigenmächtig und bar jeder Erfahrung wie so etwas bewertet wird und sage: Nein, dann ist es nicht zulässig.
Denn so elementar, wie die Situation ist, würde ich nicht mit Erfahrung und "Klarheit" argumentieren (Wir wissen beide: es ist klar, aber nur, weil wir sowas schonmal gemacht / gesehen haben).
Der formale Beweis, den deine Erklärung leider nicht vollständig ersetzen kann, ist dann notwendig. Du bleibst ab der Stelle, ab welcher du die Voraussetzungen zusammenträgst, immer bei dem Satz
"Nach Definition der lin. Unabhängigkeit und der Voraussetzung bezgl. [mm] v_{m+1} [/mm] ist ja dann gerade [mm] v_{1},...,v_{m+1} [/mm] linear unabhängig. "
stecken.
Wie du siehst, sind es aber doch zwei Zeilen Beweis, das zu begründen. (siehe mein Beweis )
- Das war meine Meinung -
Grüße,
Stefan
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:16 Di 23.02.2010 | | Autor: | ChopSuey |
Hallo Stefan,
vielen Dank, du hast mir sehr geholfen!
Viele Grüße
ChopSuey
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:06 Di 23.02.2010 | | Autor: | tobit09 |
Hallo,
> Ich weiß nicht, ob wir den Satz schon hatten. Ich dachte,
> dass das irgendwie klar ist.
>
> [mm]\ span(v_1,...,v_m)[/mm] ist doch die Menge aller
> Linearkombinationen von [mm]\ v_1,...,v_m [/mm]. Da Vorausgesetzt
> wird, dass [mm]\ v_{m+1} \not\in span(v_1,...,v_m)[/mm] gilt,
> lässt sich folglich [mm]\ v_{m+1}[/mm] nicht als Linearkombination
> der [mm]\ v_1,...v_m[/mm] darstellen. Nach Definition der lin.
> Unabhängigkeit und der Voraussetzung bezgl. [mm]\ v_{m+1}[/mm] ist
> ja dann gerade [mm]\ v_1,...v_{m+1}[/mm] linear unabhängig.
> Dein Einwand ist aber selbstverständlich berechtigt.
Ich kann daneben liegen, aber ich habe nicht den Eindruck, dass dir die lineare Unabhängigkeit von [mm] $v_1,...v_{m+1}$ [/mm] hier klar ist. Du stellst nur fest, dass [mm] $v_{m+1}$ [/mm] nicht als Linearkombination von [mm] $v_1,\ldots,v_m$ [/mm] darstellbar ist. Daraus folgt aber noch lange nicht, dass [mm] $v_1,\ldots,v_m,v_{m+1}$ [/mm] linear unabhängig sind! Dazu darf sich kein einziger der m+1 Vektoren als Linearkombination der anderen schreiben lassen. Du hast dagegen nur begründet, dass sich der letzte der m+1 Vektoren nicht als Linearkombination der anderen schreiben lässt. (Du hast übrigens gar nicht benutzt, dass [mm] $v_1,\ldots,v_m$ [/mm] linear unabhängig sind! Schon deshalb kann deine Argumentation nicht stimmen.)
> Nun, [mm]\ v_{m+1}[/mm] ist nun eine Linearkombination aus [mm]\ v_1,...v_m[/mm]
> und das würde bedeuten, dass gerade [mm]\ v_{m+1} \in span(v_{1},...,v_{m})[/mm]
> gilt, was ein Widerspruch ist zur Voraussetzung ist. Also
> muss [mm]\ \lambda_{m+1} = 0[/mm] in jedem Fall gelten [mm]\ \Rightarrow v_1,...,v_{m+1}[/mm]
> linear unabhängig.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Viele Grüße
Tobias
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:24 Di 23.02.2010 | | Autor: | ChopSuey |
Hallo Tobias,
$\ [mm] v_1,...v_m$ [/mm] sind nach Voraussetzung linear unabhängig.
Es ist $\ [mm] v_{m+1} \in [/mm] V [mm] \backslash span(v_1,...,v_m) [/mm] $. (*)
Wäre $\ [mm] span(v_1,...,v_m) [/mm] $ erzeugend, wäre wegen der linearen Unabhängigkeit von $\ [mm] v_1,...,v_m$ [/mm] das Erzeugendensystem eine Basis.
Also sind $\ [mm] v_1,...,v_m [/mm] $ nicht maximal linear unabhängig bzw es gibt weitere Elemente $\ [mm] v_j \in [/mm] V $, die zusammen mit $\ [mm] v_1,...,v_m [/mm] $ eine Basis von $\ V $ bilden.
Nun nehme ich an, dass $\ [mm] v_{m+1} [/mm] $ gerade so ein $\ [mm] v_j [/mm] $ ist.
Aus (*) folgt, dass $\ [mm] v_{m+1} \not\in span(v_1,...,v_m) [/mm] $ gilt.
Wäre $\ [mm] v_1,....v_m,v_{m+1} [/mm] $ nicht linear Unabhängig, so ließe sich $\ [mm] v_{m+1} [/mm] $ als Linearkombination von $\ [mm] v_1,...,v_m [/mm] $ darstellen.
Dann wäre aber $\ [mm] v_{m+1} \in span(v_1,...,v_m) [/mm] $.
Also muss doch $\ [mm] v_1,...,v_m,v_{m+1} [/mm] $ linear Unabhängig sein.
Das ist die etwas ausführlichere Argumentation meiner Behauptungen
Ich freue mich natürlich, wenn das sofort Widerlegt werden kann.
Sonst gehe ich noch mit falschen Gedanken in die anstehende Klausur...was sehr ungünstig wäre.
Gruß
ChopSuey
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:48 Di 23.02.2010 | | Autor: | tobit09 |
> [mm]\ v_1,...v_m[/mm] sind nach Voraussetzung linear unabhängig.
>
> Es ist [mm]\ v_{m+1} \in V \backslash span(v_1,...,v_m) [/mm]. (*)
> Wäre [mm]\ span(v_1,...,v_m)[/mm] erzeugend,
Anscheinend meinst du [mm] "$v_1,\ldots,v_m$ [/mm] ein Erzeugendensystem von V"?
> wäre wegen der
> linearen Unabhängigkeit von [mm]\ v_1,...,v_m[/mm] das
> Erzeugendensystem eine Basis.
Stimmt.
> Also sind [mm]\ v_1,...,v_m[/mm] nicht maximal linear unabhängig
Warum?
> bzw es gibt weitere Elemente [mm]\ v_j \in V [/mm], die zusammen mit
> [mm]\ v_1,...,v_m[/mm] eine Basis von [mm]\ V[/mm] bilden.
Basisergänzungssatz, ja.
> Nun nehme ich an, dass [mm]\ v_{m+1}[/mm] gerade so ein [mm]\ v_j[/mm] ist.
Warum sollte [mm] $v_1,\ldots,v_m,v_{m+1}$ [/mm] eine Basis bilden? Das ist falsch. Es könnten viele Vektoren nötig sein, um [mm] $v_1,\ldots,v_m$ [/mm] zu einer Basis zu ergänzen.
Alles bis hierhin außer dem Anfang bis (*) kannst du ersatzlos streichen! Das benötigst du im Weiteren nirgendwo.
> Aus (*) folgt, dass [mm]\ v_{m+1} \not\in span(v_1,...,v_m)[/mm]
> gilt.
> Wäre [mm]\ v_1,....v_m,v_{m+1}[/mm] nicht linear Unabhängig, so
> ließe sich [mm]\ v_{m+1}[/mm] als Linearkombination von [mm]\ v_1,...,v_m[/mm]
> darstellen.
Warum das? Lineare Abhängigkeit bedeutet nur, dass sich irgendeiner der Vektoren als Linearkombination der anderen darstellen lässt. Das muss nicht gerade für den letzten gelten. Genau dies ist der springende Punkt, den ich schon beim vorherigen Post meinte.
EDIT: Zunächst stand hier "lineare Unabhängigkeit" statt "lineare Abhängigkeit". Habe es gerade verbessert. Ich hoffe, das hat nicht zu sehr verwirrt. Sorry.
> Dann wäre aber [mm]\ v_{m+1} \in span(v_1,...,v_m) [/mm].
>
> Also muss doch [mm]\ v_1,...,v_m,v_{m+1}[/mm] linear Unabhängig
> sein.
Folgerichtig.
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:10 Mi 24.02.2010 | | Autor: | ChopSuey |
Hallo Tobias,
> > [mm]\ v_1,...v_m[/mm] sind nach Voraussetzung linear unabhängig.
> >
> > Es ist [mm]\ v_{m+1} \in V \backslash span(v_1,...,v_m) [/mm]. (*)
>
>
> > Wäre [mm]\ span(v_1,...,v_m)[/mm] erzeugend,
> Anscheinend meinst du "[mm]v_1,\ldots,v_m[/mm] ein
> Erzeugendensystem von V"?
Ja, das war gemeint.
>
> > wäre wegen der
> > linearen Unabhängigkeit von [mm]\ v_1,...,v_m[/mm] das
> > Erzeugendensystem eine Basis.
> Stimmt.
>
> > Also sind [mm]\ v_1,...,v_m[/mm] nicht maximal linear unabhängig
> Warum?
Wären $\ [mm] v_1,...,v_m [/mm] $ maximal linear unabhängig - gäbe es also keine weiteren Vektoren, die zusammen mit $\ [mm] v_1,...,v_m [/mm] $ linear unabhängig wären, so gälte $\ [mm] \mbox{Dim} [/mm] V = m $ und $\ [mm] span(v_1,...,v_m) [/mm] $ wäre eine Basis von $\ V $, oder nicht?
>
> > bzw es gibt weitere Elemente [mm]\ v_j \in V [/mm], die zusammen mit
> > [mm]\ v_1,...,v_m[/mm] eine Basis von [mm]\ V[/mm] bilden.
> Basisergänzungssatz, ja.
>
> > Nun nehme ich an, dass [mm]\ v_{m+1}[/mm] gerade so ein [mm]\ v_j[/mm] ist.
> Warum sollte [mm]v_1,\ldots,v_m,v_{m+1}[/mm] eine Basis bilden? Das
> ist falsch. Es könnten viele Vektoren nötig sein, um
> [mm]v_1,\ldots,v_m[/mm] zu einer Basis zu ergänzen.
Natürlich. Ich sagte ja auch nicht, dass $\ [mm] v_{m+1} [/mm] $ das fehlende letzte Glied ist und $\ [mm] v_1,...,v_m,v_{m+1} [/mm] $ dann eine Basis bilden, sondern dass $\ [mm] v_{m+1} [/mm] $ eines der $\ [mm] v_j [/mm] $ ist, die ebenfalls in $\ V $ liegen und zusammen mit $\ [mm] v_1,...v_m [/mm] $ linear unabhängig sind.
*Edit: Ich sehe gerade, dass meine Formulierung bezgl den $\ [mm] v_j [/mm] $ und der Basis etwas ungünstig gewählt war, tut mir leid! :)
Ich hoffe, dass das Missverständnis sich behoben hat.
>
> Alles bis hierhin außer dem Anfang bis (*) kannst du
> ersatzlos streichen! Das benötigst du im Weiteren
> nirgendwo.
>
>
> > Aus (*) folgt, dass [mm]\ v_{m+1} \not\in span(v_1,...,v_m)[/mm]
> > gilt.
>
>
> > Wäre [mm]\ v_1,....v_m,v_{m+1}[/mm] nicht linear Unabhängig, so
> > ließe sich [mm]\ v_{m+1}[/mm] als Linearkombination von [mm]\ v_1,...,v_m[/mm]
> > darstellen.
> Warum das? Lineare Abhängigkeit bedeutet nur, dass sich
> irgendeiner der Vektoren als Linearkombination der anderen
> darstellen lässt. Das muss nicht gerade für den letzten
> gelten. Genau dies ist der springende Punkt, den ich schon
> beim vorherigen Post meinte.
Ein Vektor $\ [mm] v_k$ [/mm] ist doch genau dann linear unabhängig, wenn $\ [mm] v_k \not\in span(v_1,....,v_m) [/mm] $
Also dieser Vektor sich nicht als Linearkombination von $\ [mm] v_1,...,v_m [/mm] $ darstellen lässt - andernfalls würde er ja gerade in dieser Menge liegen.
Da nach Voraussetzung gilt
(1) $\ [mm] v_1,..,v_m [/mm] $ sind linear Unabhängig
(2) $\ [mm] v_{m+1} \not\in span(v_1,...,v_m)$ [/mm]
ist doch $\ [mm] v_1,...,v_{m+1} [/mm] $ gerade linear Unabhängig.
Ich möchte ja nicht behaupten, dass $\ [mm] v_1,...,v_{m+1} [/mm] $ maximal linear Unabhängig sind und deshalb eine Basis bilden.
> EDIT: Zunächst stand hier "lineare Unabhängigkeit" statt
> "lineare Abhängigkeit". Habe es gerade verbessert. Ich
> hoffe, das hat nicht zu sehr verwirrt. Sorry.
>
> > Dann wäre aber [mm]\ v_{m+1} \in span(v_1,...,v_m) [/mm].
> >
> > Also muss doch [mm]\ v_1,...,v_m,v_{m+1}[/mm] linear Unabhängig
> > sein.
> Folgerichtig.
Vielen Dank bisher für die Hinweise.
Freue mich natürlich über weitere Antworten.
Gruß
ChopSuey
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:36 Mi 24.02.2010 | | Autor: | tobit09 |
> > > wäre wegen der
> > > linearen Unabhängigkeit von [mm]\ v_1,...,v_m[/mm] das
> > > Erzeugendensystem eine Basis.
> > Stimmt.
> >
> > > Also sind [mm]\ v_1,...,v_m[/mm] nicht maximal linear unabhängig
> > Warum?
>
> Wären [mm]\ v_1,...,v_m[/mm] maximal linear unabhängig - gäbe es
> also keine weiteren Vektoren, die zusammen mit [mm]\ v_1,...,v_m[/mm]
> linear unabhängig wären, so gälte [mm]\ \mbox{Dim} V = m[/mm] und
> span[mm](v_1,...,v_m)[/mm] wäre eine Basis von [mm]\ V [/mm], oder
> nicht?
Ja, aber warum kann [mm] $(v_1,\ldots,v_m)$ [/mm] keine Basis von V sein? (Dafür gibt es ein kleines Argument.)
> > > bzw es gibt weitere Elemente [mm]\ v_j \in V [/mm], die zusammen mit
> > > [mm]\ v_1,...,v_m[/mm] eine Basis von [mm]\ V[/mm] bilden.
> > Basisergänzungssatz, ja.
> >
> > > Nun nehme ich an, dass [mm]\ v_{m+1}[/mm] gerade so ein [mm]\ v_j[/mm] ist.
> > Warum sollte [mm]v_1,\ldots,v_m,v_{m+1}[/mm] eine Basis bilden?
> Das
> > ist falsch. Es könnten viele Vektoren nötig sein, um
> > [mm]v_1,\ldots,v_m[/mm] zu einer Basis zu ergänzen.
>
>
> Natürlich. Ich sagte ja auch nicht, dass [mm]\ v_{m+1}[/mm] das
> fehlende letzte Glied ist und [mm]\ v_1,...,v_m,v_{m+1}[/mm] dann
> eine Basis bilden, sondern dass [mm]\ v_{m+1}[/mm] eines der [mm]\ v_j[/mm]
> ist, die ebenfalls in [mm]\ V[/mm] liegen und zusammen mit [mm]\ v_1,...v_m[/mm]
> linear unabhängig sind.
>
> *Edit: Ich sehe gerade, dass meine Formulierung bezgl den [mm]\ v_j[/mm]
> und der Basis etwas ungünstig gewählt war, tut mir leid!
> :)
> Ich hoffe, dass das Missverständnis sich behoben hat.
Alles klar. Dann steht da nichts falsches. Aber dass "[mm]\ v_{m+1}[/mm] eines der [mm]\ v_j[/mm] ist, die ebenfalls in [mm]\ V[/mm] liegen und zusammen mit [mm]\ v_1,...v_m[/mm] linear unabhängig sind." soll ja gerade gezeigt werden! Noch ist das mit diesem Beweis nicht gezeigt.
> > Alles bis hierhin außer dem Anfang bis (*) kannst du
> > ersatzlos streichen! Das benötigst du im Weiteren
> > nirgendwo.
> >
> >
> > > Aus (*) folgt, dass [mm]\ v_{m+1} \not\in span(v_1,...,v_m)[/mm]
> > > gilt.
> >
> >
> > > Wäre [mm]\ v_1,....v_m,v_{m+1}[/mm] nicht linear Unabhängig, so
> > > ließe sich [mm]\ v_{m+1}[/mm] als Linearkombination von [mm]\ v_1,...,v_m[/mm]
> > > darstellen.
> > Warum das? Lineare Abhängigkeit bedeutet nur, dass
> sich
> > irgendeiner der Vektoren als Linearkombination der anderen
> > darstellen lässt. Das muss nicht gerade für den letzten
> > gelten. Genau dies ist der springende Punkt, den ich schon
> > beim vorherigen Post meinte.
> Ein Vektor [mm]\ v_k[/mm] ist doch genau dann linear unabhängig,
> wenn [mm]\ v_k \not\in span(v_1,....,v_m)[/mm]
Du meinst "das System aus [mm] $v_1,\ldots,v_m$ [/mm] und [mm] $v_k$ [/mm] linear unabhängig", nicht nur [mm] "$v_k$ [/mm] linear unabhängig", oder? Dann ist das (unter der Annahme, dass [mm] $v_1,\ldots,v_m$ [/mm] schon linear unabhängig sind) wieder richtig, aber noch nicht bewiesen. Du sollst die Rückrichtung dieser Äquivalenzaussage ja gerade zeigen.
> Also dieser Vektor
> sich nicht als Linearkombination von [mm]\ v_1,...,v_m[/mm]
> darstellen lässt - andernfalls würde er ja gerade in
> dieser Menge liegen.
Das ist in der Tat zu [mm] $v_k\not\in\operatorname{span}(v_1,....,v_m)$ [/mm] äquivalent.
> Da nach Voraussetzung gilt
>
> (1) [mm]\ v_1,..,v_m[/mm] sind linear Unabhängig
> (2) [mm]\ v_{m+1} \not\in span(v_1,...,v_m)[/mm]
>
> ist doch [mm]\ v_1,...,v_{m+1}[/mm] gerade linear Unabhängig.
Genau das sollst du zeigen!
Du hast in diesem Post dreimal in unterschiedlichen Worten das behauptet, was du zeigen sollst. Gezeigt hast du es leider kein einziges mal.
Du wirst nicht drumherum kommen:
1. Schreibe explizit die Definition oder eine andere Charakterisierung, was es bedeutet, dass [mm] $v_1,\ldots,v_m,v_{m+1}$ [/mm] linear unabhängig sind, auf.
2. Zeige, dass dies erfüllt ist.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:08 Mi 24.02.2010 | | Autor: | ChopSuey |
Hallo Tobias,
> >
> > Wären [mm]\ v_1,...,v_m[/mm] maximal linear unabhängig - gäbe es
> > also keine weiteren Vektoren, die zusammen mit [mm]\ v_1,...,v_m[/mm]
> > linear unabhängig wären, so gälte [mm]\ \mbox{Dim} V = m[/mm] und
> > span[mm](v_1,...,v_m)[/mm] wäre eine Basis von [mm]\ V [/mm], oder
> > nicht?
> Ja, aber warum kann [mm](v_1,\ldots,v_m)[/mm] keine Basis von V
> sein? (Dafür gibt es ein kleines Argument.)
>
Mein Argument wäre gewesen, dass, wenn [mm](v_1,\ldots,v_m)[/mm] eine Basis von $\ V $ ist, gilt $\ V = [mm] (v_1,\ldots,v_m) [/mm] $ und dann wäre $\ V [mm] \backslash span(v_1,\ldots,v_m) [/mm] = [mm] \emptyset [/mm] $ und ich könnte garkein $\ [mm] v_{m+1} [/mm] $ wählen.
Gibt es noch ein weiteres / anderes Argument, das dagegen spricht?
> > > > bzw es gibt weitere Elemente [mm]\ v_j \in V [/mm], die zusammen mit
> > > > [mm]\ v_1,...,v_m[/mm] eine Basis von [mm]\ V[/mm] bilden.
> > > Basisergänzungssatz, ja.
> > >
> > > > Nun nehme ich an, dass [mm]\ v_{m+1}[/mm] gerade so ein [mm]\ v_j[/mm] ist.
> > > Warum sollte [mm]v_1,\ldots,v_m,v_{m+1}[/mm] eine Basis
> bilden?
> > Das
> > > ist falsch. Es könnten viele Vektoren nötig sein, um
> > > [mm]v_1,\ldots,v_m[/mm] zu einer Basis zu ergänzen.
> >
> >
> > Natürlich. Ich sagte ja auch nicht, dass [mm]\ v_{m+1}[/mm] das
> > fehlende letzte Glied ist und [mm]\ v_1,...,v_m,v_{m+1}[/mm] dann
> > eine Basis bilden, sondern dass [mm]\ v_{m+1}[/mm] eines der [mm]\ v_j[/mm]
> > ist, die ebenfalls in [mm]\ V[/mm] liegen und zusammen mit [mm]\ v_1,...v_m[/mm]
> > linear unabhängig sind.
> >
> > *Edit: Ich sehe gerade, dass meine Formulierung bezgl den [mm]\ v_j[/mm]
> > und der Basis etwas ungünstig gewählt war, tut mir leid!
> > :)
> > Ich hoffe, dass das Missverständnis sich behoben hat.
> Alles klar. Dann steht da nichts falsches. Aber dass "[mm]\ v_{m+1}[/mm]
> eines der [mm]\ v_j[/mm] ist, die ebenfalls in [mm]\ V[/mm] liegen und
> zusammen mit [mm]\ v_1,...v_m[/mm] linear unabhängig sind." soll ja
> gerade gezeigt werden! Noch ist das mit diesem Beweis nicht
> gezeigt.
Verstehe! Danke für diesen Hinweis.
>
> > > Alles bis hierhin außer dem Anfang bis (*) kannst du
> > > ersatzlos streichen! Das benötigst du im Weiteren
> > > nirgendwo.
> > >
> > >
> > > > Aus (*) folgt, dass [mm]\ v_{m+1} \not\in span(v_1,...,v_m)[/mm]
> > > > gilt.
> > >
> > >
> > > > Wäre [mm]\ v_1,....v_m,v_{m+1}[/mm] nicht linear Unabhängig, so
> > > > ließe sich [mm]\ v_{m+1}[/mm] als Linearkombination von [mm]\ v_1,...,v_m[/mm]
> > > > darstellen.
> > > Warum das? Lineare Abhängigkeit bedeutet nur, dass
> > sich
> > > irgendeiner der Vektoren als Linearkombination der anderen
> > > darstellen lässt. Das muss nicht gerade für den letzten
> > > gelten. Genau dies ist der springende Punkt, den ich schon
> > > beim vorherigen Post meinte.
>
> > Ein Vektor [mm]\ v_k[/mm] ist doch genau dann linear unabhängig,
> > wenn [mm]\ v_k \not\in span(v_1,....,v_m)[/mm]
> Du meinst "das
> System aus [mm]v_1,\ldots,v_m[/mm] und [mm]v_k[/mm] linear unabhängig",
> nicht nur "[mm]v_k[/mm] linear unabhängig", oder?
Ja, genau. Habe eben gesehen, dass die Formulierung erneut ungünstig war.
> Dann ist das
> (unter der Annahme, dass [mm]v_1,\ldots,v_m[/mm] schon linear
> unabhängig sind) wieder richtig, aber noch nicht bewiesen.
> Du sollst die Rückrichtung dieser Äquivalenzaussage ja
> gerade zeigen.
Alles klar.
>
> > Also dieser Vektor
> > sich nicht als Linearkombination von [mm]\ v_1,...,v_m[/mm]
> > darstellen lässt - andernfalls würde er ja gerade in
> > dieser Menge liegen.
> Das ist in der Tat zu
> [mm]v_k\not\in\operatorname{span}(v_1,....,v_m)[/mm] äquivalent.
>
> > Da nach Voraussetzung gilt
> >
> > (1) [mm]\ v_1,..,v_m[/mm] sind linear Unabhängig
> > (2) [mm]\ v_{m+1} \not\in span(v_1,...,v_m)[/mm]
> >
> > ist doch [mm]\ v_1,...,v_{m+1}[/mm] gerade linear Unabhängig.
> Genau das sollst du zeigen!
>
> Du hast in diesem Post dreimal in unterschiedlichen Worten
> das behauptet, was du zeigen sollst. Gezeigt hast du es
> leider kein einziges mal.
>
> Du wirst nicht drumherum kommen:
> 1. Schreibe explizit die Definition oder eine andere
> Charakterisierung, was es bedeutet, dass
> [mm]v_1,\ldots,v_m,v_{m+1}[/mm] linear unabhängig sind, auf.
> 2. Zeige, dass dies erfüllt ist.
Jetzt hat sich alles geklärt
Vielen Dank für Deine Geduld.
Mir ging es vor allem Darum, zu sehen, ob meine Gedanken auch inhaltlich richtig sind oder ob es hier und da möglicherweise Sätze/Dinge/Definitionen gibt die ich entweder falsch oder garnicht verstanden habe.
Jedenfalls hat mir diese Aufgabe geholfen noch einmal das Wissen aufzufrischen.
Was den Beweis als solches angeht, weiß ich auch was Du meinst und natürlich stimmt das. Stefan hat mir ja bereits gesagt, wie ich das explizit machen kann.
Danke für Eure Hilfe!
Grüße
ChopSuey
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:19 Mi 24.02.2010 | | Autor: | tobit09 |
> > Ja, aber warum kann [mm](v_1,\ldots,v_m)[/mm] keine Basis von V
> > sein? (Dafür gibt es ein kleines Argument.)
> >
>
> Mein Argument wäre gewesen, dass, wenn [mm](v_1,\ldots,v_m)[/mm]
> eine Basis von [mm]\ V[/mm] ist, gilt [mm]\ V = (v_1,\ldots,v_m)[/mm] und
> dann wäre [mm]\ V \backslash span(v_1,\ldots,v_m) = \emptyset[/mm]
> und ich könnte garkein [mm]\ v_{m+1}[/mm] wählen.
Genau dieses Argument meinte ich.
Ich finde übrigens klasse, dass du mir rückgemeldet hast, dass dir die Hinweise klar sind. Würden alle im Forum immer auf die Antworten reagieren, würde es hier noch mehr Spaß machen!
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