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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:55 So 11.08.2013 | | Autor: | mbra771 |
| Aufgabe | Seien V und Vektorräume über [mm] \IR [/mm] . Sei [mm] v_1,v_2,v_3,v_4 [/mm] eine Basis B von V und Sei [mm] w_1,w_2,w_3 [/mm] eine Basis B´ von W. Sei [mm] f:V\rightarrow [/mm] W linear mit
[mm] _{B`}M_{B}(f)=\begin{pmatrix}{2&-1&3&4&\\-1&6&4&9&\\5&-12&-2&-9&\\}\end{pmatrix}
[/mm]
Seien [mm] \begin{pmatrix}{3&\\2&\\1&\\1&\\}\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}{1&\\0&\\-2&\\-3&\\}\end{pmatrix} [/mm] die Koordinatenvektoren von f(x) und f(y) bezüglich der Basis B.
1. Bestimmen Sie eine Basis vom Kern(f)
2. Wie lauten die Koordinatenvektoren von f(x) und f(y)bezüglich der Basis B´? |
Hallo Forum,
ich brauche hier mal eine Erklärung. Ich soll ja verstehen was ich rechne und da habe ich mit dem Begriff Koordinatenvektor so meine Probleme.
Zur Lösung der Aufgabe hätte ich folgende Idee:
1. Kern(f) sollte die Lösungsmenge des homogenen LGS von [mm] \begin{pmatrix}{2&-1&3&4&\\-1&6&4&9&\\5&-12&-2&-9&\\}\end{pmatrix} [/mm] * [mm] \begin{pmatrix}{x_1&\\x_2&\\x_3&\\x_4&\\}\end{pmatrix} [/mm] = [mm] \begin{pmatrix}{0&\\0&\\0&\\}\end{pmatrix}
[/mm]
sein.
Dann ist die Basis vom Kern(f) = [mm] \begin{pmatrix}{2\\1\\-1\\0}\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}{3\\2\\0\\-1}\end{pmatrix}
[/mm]
(Ist das so korrekt?)
Bei der zweiten Teilaufgabe bin ich mir da nicht sicher. Was bewirken die Koordinatenvektoren?
Grüße,
Micha
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> Seien V und Vektorräume über [mm]\IR[/mm] . Sei [mm]v_1,v_2,v_3,v_4[/mm]
> eine Basis B von V und Sei [mm]w_1,w_2,w_3[/mm] eine Basis B´ von
> W. Sei [mm]f:V\rightarrow[/mm] W linear mit
>
>
> [mm]_{B'}M_{B}(f)=\begin{pmatrix}{2&-1&3&4&\\-1&6&4&9&\\5&-12&-2&-9&\\}\end{pmatrix}[/mm]
>
> Seien [mm]\begin{pmatrix}{3&\\2&\\1&\\1&\\}\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}{1&\\0&\\-2&\\-3&\\}\end{pmatrix}[/mm]
> die Koordinatenvektoren von f(x) und f(y) bezüglich der
> Basis B.
>
> 1. Bestimmen Sie eine Basis vom Kern(f)
> 2. Wie lauten die Koordinatenvektoren von f(x) und
> f(y)bezüglich der Basis B´?
> Hallo Forum,
> ich brauche hier mal eine Erklärung. Ich soll ja
> verstehen was ich rechne und da habe ich mit dem Begriff
> Koordinatenvektor so meine Probleme.
>
> Zur Lösung der Aufgabe hätte ich folgende Idee:
>
> 1. Kern(f) sollte die Lösungsmenge des homogenen LGS von
> [mm]\begin{pmatrix}{2&-1&3&4&\\-1&6&4&9&\\5&-12&-2&-9&\\}\end{pmatrix}[/mm]
> * [mm]\begin{pmatrix}{x_1&\\x_2&\\x_3&\\x_4&\\}\end{pmatrix}[/mm] =
> [mm]\begin{pmatrix}{0&\\0&\\0&\\}\end{pmatrix}[/mm]
>
> sein.
Hallo,
nein.
Kern(f) enthält alle Vektoren des VRes V, die durch f auf den Nullvektor von W abgebildet werden.
Du kannst den Kern ausrechnen, in dem Du eine Lösung obiger Gleichung bestimmst, also den Kern von [mm] _{B'}M_{B}(f) [/mm] berechnest.
>
> Dann ist die Basis vom Kern(f) =
> [mm]\begin{pmatrix}{2\\1\\-1\\0}\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}{3\\2\\0\\-1}\end{pmatrix}[/mm]
>
> (Ist das so korrekt?)
Du hast richtig gerechnet und hiermit eine Basis von [mm] Kern(_{B'}M_{B}(f)) [/mm] gefunden.
Es sind die Koordinatenvektoren des Kerns von f bzgl der Basis B von V.
Der Kern von f wird aufgespannt von [mm] u_1:=2v_1+1v_2-1v_3+0v_4 [/mm] und [mm] u_2:=3v_1+2v_2+0v_3-v_4.
[/mm]
> Bei der zweiten Teilaufgabe bin ich mir da nicht sicher.
Hier ist die Aufgabenstellung verkehrt.
Es sollte sicher heißen:
"Seien [mm]\begin{pmatrix}{3&\\2&\\1&\\1&\\}\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}{1&\\0&\\-2&\\-3&\\}\end{pmatrix}[/mm]
die Koordinatenvektoren von x und y bezüglich der Basis B.
2. Wie lauten die Koordinatenvektoren von f(x) und f(y)bezüglich der Basis B´? "
> Was bewirken die Koordinatenvektoren?
Es ist V ein VR der Dimension 4, aber niemand verspricht Dir, daß es der [mm] \IR^4 [/mm] ist, von dem hier die Rede ist.
Es könnte V auch ein vierdimensionaler Unterraum des VRes der Polynome sein, etwa der von [mm] v_1:=x,v_2:=x^3+4, v_3:=x^{19} [/mm] und [mm] v_4:=x^{19}-x^5 [/mm] aufgespannte Raum.
Daß [mm] \begin{pmatrix}{3&\\2&\\1&\\1&\\}\end{pmatrix} [/mm] der Koordinatenvektor von x bzgl. der Basis B sein soll, bedeutet hier dann
[mm] x=3v_1+2v_2+v_3+v_4=3x+2x^3+8+x^{19}+x^{19}-x^5=3x+2x^3-x^5+2x^{19}.
[/mm]
Willst Du nun f(x) ermitteln, hilft Dir die Matrix [mm] _{B'}M_{B}(f):
[/mm]
"fütterst" Du sie mit dem Koordinatenvektor von x bzgl B, rechnest also
[mm] \begin{pmatrix}{2&-1&3&4&\\-1&6&4&9&\\5&-12&-2&-9&\\}\end{pmatrix}*\begin{pmatrix}{3&\\2&\\1&\\1&\\}\end{pmatrix},
[/mm]
so liefert sie Dir f(x) als Koordinatenvektor bzgl B'.
Du mußt für die Beantwortung von 2. also nur die Matrix mit dem Vektor multiplizieren.
Ich würde dann noch schreiben:
also ist [mm] f(x)=...*w_1+...*w_2+...*w_3.
[/mm]
LG Angela
> Grüße,
> Micha
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:03 So 11.08.2013 | | Autor: | mbra771 |
Hallo Angela,
vielen Dank für deine Antwort. Dann kann ich ja die Koordinatenvektoren behandeln, wie jeden anderen Vektor auch, den ich von V [mm] \rightarrow [/mm] W übertragen möchte.
Wie kann ich mir das vorstellen? Benutzt man die Koordinatenvektoren, wie eine Koordinatenkreuz und dort, wo sich die beiden Koordinatenvektoren treffen ist der Nullpunkt?
Viele Grüße,
Micha
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:02 So 11.08.2013 | | Autor: | mbra771 |
Damit wären dann die Koordinatenvektoren bezüglich B´:
f(x)= [mm] \begin{pmatrix}{11\\22\\-20}\end{pmatrix} [/mm] bzw. [mm] f(x)=11*w_1+22*w_2-20*w_3
[/mm]
f(y)= [mm] \begin{pmatrix}{-16\\-36\\36}\end{pmatrix} [/mm] bzw. [mm] f(y)=-16*w_1-36*w_2+36*w_3
[/mm]
Ich verstehe nicht, wofür man einen Koordinatenvektor benutzt, könnte mir das jemand erklären?
Würde mir sehr helfen,
Vielen Dank,
Micha
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> Damit wären dann die Koordinatenvektoren bezüglich B´:
>
> f(x)= [mm]\begin{pmatrix}{11\\22\\-20}\end{pmatrix}[/mm] bzw.
> [mm]f(x)=11*w_1+22*w_2-20*w_3[/mm]
>
> f(y)= [mm]\begin{pmatrix}{-16\\-36\\36}\end{pmatrix}[/mm] bzw.
> [mm]f(y)=-16*w_1-36*w_2+36*w_3[/mm]
Hallo,
ich hab's nicht nachgerechnet, aber das Prinzip hast Du offenbar verstanden.
>
>
> Ich verstehe nicht, wofür man einen Koordinatenvektor
> benutzt,
Ich hatte Dir doch das Beispiel gemacht, in welchem V ein UVR des Raumes der Polynome war.
Du könntest mit der Darstellungsmatrix nichts anfangen, wenn Du nicht mit den Koordinatenvektoren arbeiten würdest.
LG Angela
könnte mir das jemand erklären?
> Würde mir sehr helfen,
> Vielen Dank,
> Micha
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:44 So 11.08.2013 | | Autor: | mbra771 |
Jetzt hab ich es!
Ich hab mir sonst was vorgestellt, aber dabei besteht der Koordinatenvektor aus den Koeffizienten eines Elementes des Vektorraums bezogen auf eine Basis.
Ich hatte da was ganz anderes im Kopf.
Deshalb meine "&&##..'*" Fragen.
Vielen Dank Angela,besonders für deine Geduld. Jetzt macht das Ganze Sinn!
Micha
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> Hallo Angela,
> vielen Dank für deine Antwort. Dann kann ich ja die
> Koordinatenvektoren behandeln, wie jeden anderen Vektor
Hallo,
mit Koordinatenvektoren rechnest Du ganz "normal", so wie Du es vom Rechnen im [mm] \IR^n [/mm] gewohnt bist.
> auch, den ich von V [mm]\rightarrow[/mm] W übertragen möchte.
Der Witz ist halt, daß Du Rechnungen, die sich in "wunderlichen" endlichdimensionalen Vektorräumen (Polynome, Funktionen) abspielen, mithilfe von Rechnungen im [mm] \IR^n [/mm] bewältigen kannst.
Schauen wir z.B. die Abbildung [mm] f:P_2\to P_2 [/mm] an mit
f(1)=x+1
f(x)=x+1
[mm] f(x^2)=x^2-x
[/mm]
Die Darstellungsmatrix von f bzgl. der Basen [mm] B:=(1,x,x^2) [/mm] in Start- und Zielraum ist
[mm] _BM_B(f)=\pmat{1&1&0\\1&1&-1\\0&0&1}.
[/mm]
Du kannst nun [mm] f(5x^2+4x+3) [/mm] mithilfe des Rechnens im bequemen und vertrauten [mm] \IR^3 [/mm] bekommen:
[mm] f(5x^2+4x+3)=[/mm] [mm]\pmat{1&1&0\\1&1&-1\\0&0&1}*\vektor{3\\4\\5}[/mm][mm] =\vektor{7\\2\\5}_{\red{(B)}}=7+2x+5x^2.
[/mm]
LG Angela
> Wie kann ich mir das vorstellen? Benutzt man die
> Koordinatenvektoren, wie eine Koordinatenkreuz und dort, wo
> sich die beiden Koordinatenvektoren treffen ist der
> Nullpunkt?
>
> Viele Grüße,
> Micha
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