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(Frage) überfällig  | | Datum: | 17:29 Mi 24.02.2010 | | Autor: | norf |
| Aufgabe | | [mm] \bruch {\partial^2 u } {\partial x^2 } -k^2 \bruch {\partial^2 u } {\partial y^2 } [/mm] = 0 k>0 |
Hab die aufgabe aus einem übungsscript für part. DGL und verstehe die lösung nicht so ganz..... ich bitte deshalb hier um hilfe...
wenn man von alg. form:
a(x,y) [mm] \bruch {\partial^2 u } {\partial x^2 } [/mm] + b(x,y) [mm] \bruch {\partial^2 u } {\partial y \partial x } [/mm] + c(x,y) [mm] \bruch {\partial^2 u } {\partial y^2 }=0 [/mm]
ist:
a(x,y) = 1, b(x,y)= 0 [mm] c(x,y)=-k^2 [/mm]
dann kann man die charaskteristik der parDGL bestimmen mit
[mm] \bruch [/mm] {d y } /{d x } = [mm] \bruch [/mm] {{b(x,y) [mm] \pm \wurzel {b(x,y)^2 - a(x,y) c(x,y) }} [/mm] } / {a(x,y)}
Es handelt sich um den hyperbolischen fall weil, [mm] b(x,y)^2 [/mm] - a(x,y) c(x,y) >0 also [mm] k^2 [/mm] > 0 ist... ist es also richtig das deshalb die koordinatentransformation die sich aus oben gennater gleichung ergibt,
auf die hypperbolische normalform ( [mm] b_{t} [/mm] (x,y) [mm] \bruch {\partial^2 u } {\partial y \partial x } [/mm] =0) führt?
die transformation lautet:
[mm] x_{t} [/mm] = y + k x und [mm] y_{t} [/mm] = y-kx
wie kann man jetzt, wenn man diese transformation hat
{ [mm] \partial [/mm] u } / [mm] {\partial x} [/mm] und { [mm] \partial^2 [/mm] u } / [mm] {\partial x^2}
[/mm]
bzw
{ [mm] \partial [/mm] u } / [mm] {\partial y} [/mm] und { [mm] \partial^2 [/mm] u } / [mm] {\partial y^2}
[/mm]
aus [mm] x_{t} [/mm] , [mm] y_{t} [/mm] und [mm] u_{t} [/mm] darstellen, um z.b. das [mm] b_{t} [/mm] durch
einsetzten zu bestimmen?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:20 Fr 26.02.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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