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| Aufgabe | Betrachten Sie den [mm] \IR [/mm] -Vektorraum der symmetrischen (2 x 2)-Matrizen
S(2) = {A [mm] \in \IR^{2,2} [/mm] | A = [mm] A^T [/mm] }.
Zeigen Sie, dass B = ( [mm] \vmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 } [/mm] , [mm] \vmat{ 1 & 0 \\ 0 & -1 } [/mm] , [mm] \vmat{ 0 & 1 \\ 1 & 0 } [/mm] ) eine Basis von S(2) ist. Berechnen Sie die Koordinatenabbildung [mm] \delta_B [/mm] von S(2) bzgl. B sowie ihre Inverse [mm] \delta_B^-1.
[/mm]
Bestimmen Sie außerdem [mm] \delta_B [/mm] ( [mm] \vmat{ 4 & -1 \\ -1 & -2 } [/mm] ) und [mm] \delta_B^-1 [/mm] ( [mm] \vmat{ e \\ \pi \\ \wurzel{2} } [/mm] ). |
Hallo Leute,
ich will gerne mit euch die Aufgabe gemeinsam lösen, aber ich hab irgendwie noch keinen richtigen Ansatz.
Hoffe auf eure Anworten :)
Vielen Dank schonmal.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:39 Di 11.01.2011 | | Autor: | wauwau |
Seien [mm] B={B_1, B_2,B_3} [/mm] die drei Matrizen
ein element von S(2) hat immer die Form [mm] \pmat{ a & c \\ c & b }
[/mm]
und die kanns du als Linearkomb. der Basis so darstellen
[mm] \frac{a+b}{2}B_1+\frac{a-b}{2}B_2+c.B_3
[/mm]
damit wäre gezeigt, dass B eine Basis von S(2) ist
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> Seien [mm]B={B_1, B_2,B_3}[/mm] die drei Matrizen
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> ein element von S(2) hat immer die Form [mm]\pmat{ a & c \\
c & b }[/mm]
>
> und die kanns du als Linearkomb. der Basis so darstellen
>
> [mm]\frac{a+b}{2}B_1+\frac{a-b}{2}B_2+c.B_3[/mm]
>
> damit wäre gezeigt, dass B eine Basis von S(2) ist
Hallo,
der Ordnung halber müßte noch die lineare Unabhängigkeit der drei Matrizen gezeigt oder zumindest erwähnt werden, denn in der Aufgabe gibt es keinen Hinweis darauf, daß die Dimension des Raumes bekannt ist.
Gruß v. Angela
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zuerst danke für deinen ansatz.
hmm okay ich veruche mich mal an dieses problem.
und wie berechne ich die koordinatenabblidung und die inverse?
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> und wie berechne ich die koordinatenabblidung und die
> inverse?
Hallo,
als Lösungsansatz hätte ich von Dir an dieser Stelle erwartet, daß Du mal sagst, was die Koordinatenabbildung bzgl. B macht:
sie ordnet jeder symmetrischen Matrix A einen Vektor des [mm] \IR^3 [/mm] zu derart, daß für [mm] A=r_1B_1+r_2B_2+r_3B_3 [/mm] definiert wird
[mm] \delta_B(A):=\vektor{r_1\\r_2\\r_3}.
[/mm]
Die inverse Abbildung tut halt das Umgekehrte.
Du solltest nun mal herausfinden, was [mm] \delta_B(\pmat{a&b\\b&c}) [/mm] ist.
Gruß v. Angela
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Okay die Aufgabe mit der Basis habe jetzt verstanden.
Zu der Aufgabe mit der Koordinatenabbildung habe es so verstanden:
Ich muss jetzt drei verschiedene Vektoren finden, indem Fall [mm] r_1, r_2 [/mm] und [mm] r_3,
[/mm]
damit dies [mm] A=r_1B_1+r_2B_2+r_3B_3 [/mm] erfüllt ist.
Oder sind [mm] r_1, r_2 [/mm] und [mm] r_3 [/mm] nur Zahlen?
Und ich versteh nicht was du mit diesem Satz meinst "Du solltest nun mal herausfinden, was [mm] \delta_B(\pmat{a&b\\b&c}) [/mm] ist."?
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> Okay die Aufgabe mit der Basis habe jetzt verstanden.
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> Zu der Aufgabe mit der Koordinatenabbildung habe es so
> verstanden:
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> Ich muss jetzt drei verschiedene Vektoren finden, indem
> Fall [mm]r_1, r_2[/mm] und [mm]r_3,[/mm]
> damit dies [mm]A=r_1B_1+r_2B_2+r_3B_3[/mm] erfüllt ist.
> Oder sind [mm]r_1, r_2[/mm] und [mm]r_3[/mm] nur Zahlen?
Hallo,
die [mm] r_i [/mm] sind Zahlen - mit (zeilen)vektoren würde die Gleichung auch nicht gut funktionieren...
> Und ich versteh nicht was du mit diesem Satz meinst "Du
> solltest nun mal herausfinden, was
> [mm]\delta_B(\pmat{a&b\\
b&c})[/mm] ist."?
Ich hab Dir doch erklärt, was die Abbildung [mm] \delta_B [/mm] leistet.(?)
Du solltest auch in Deinen Unterlagen die entsprechenden Passagen nachgelesen und mit dem, was ich sagte, verglichen haben. (Schon deshalb, um sicher zu sein, keinen Mist erzählt zu bekommen.)
Ich habe Dir gesagt, daß diese Abbildung [mm] \delta_B [/mm] jeder Matrix in bestimmter Weise einen Vektor zuordnet.
Um diesen herauszufinden mußt Du die Matrix als Linearkombination der [mm] B_i [/mm] schreiben, und dann die Koeffizienten in einen Spaltenvektor stapeln.
Gruß v. Angela
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Ah okay.
Aber habe dass schon gemacht? Also was oben wauwau geschrieben hat.
[mm] \frac{a+b}{2}B_1+\frac{a-b}{2}B_2+c.B_3
[/mm]
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> Ah okay.
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> Aber habe dass schon gemacht? Also was oben wauwau
> geschrieben hat.
>
> [mm]\frac{a+b}{2}B_1+\frac{a-b}{2}B_2+c.B_3[/mm]
>
>
Hallo,
ja, die entsprechenden Vorarbeiten sind bereits geleistet.
Du mußt nun nur noch explizit aufschreiben, in welcher die Matrix auf ein Element des [mm] \IR^3 [/mm] abgebildet wird.
Gruß v. Angela
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nochmal danke für deine mühe angela.
Irgendwie habe den Dreh noch nicht raus.
Kannst du mir vllt ein Beispiel geben oder für [mm] r_1 [/mm] irgendwie vorrechnen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:56 Do 13.01.2011 | | Autor: | fred97 |
> nochmal danke für deine mühe angela.
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> Irgendwie habe den Dreh noch nicht raus.
> Kannst du mir vllt ein Beispiel geben oder für [mm]r_1[/mm]
> irgendwie vorrechnen?
Eigentlich ist doch alles gesagt !
Wauwau: $A= [mm] \pmat{ a & c \\ c & b } [/mm] = [mm] \frac{a+b}{2}B_1+\frac{a-b}{2}B_2+cB_3 [/mm] $
Angela: $ [mm] A=r_1B_1+r_2B_2+r_3B_3 [/mm] $ [mm] \Rightarrow [/mm] $ [mm] \delta_B(A)=\vektor{r_1\\r_2\\r_3}. [/mm] $
Jetzt Du !
FRED
>
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Dann ist [mm] r_1 [/mm] = [mm] \bruch{a+b}{2} [/mm] , [mm] r_2 [/mm] = [mm] \bruch{a-b}{2} [/mm] und [mm] r_3 [/mm] = c ???
Somit ist die Koordinatenabb. [mm] \delta_B [/mm] von S(2) bzgl. B gleich
[mm] \delta_B(A) [/mm] = [mm] \vektor{\bruch{a+b}{2}\\\bruch{a-b}{2}\\c} [/mm] ????
Stimmt dass so?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:06 Do 13.01.2011 | | Autor: | fred97 |
> Dann ist [mm]r_1[/mm] = [mm]\bruch{a+b}{2}[/mm] , [mm]r_2[/mm] = [mm]\bruch{a-b}{2}[/mm] und
> [mm]r_3[/mm] = c ???
>
> Somit ist die Koordinatenabb. [mm]\delta_B[/mm] von S(2) bzgl. B
> gleich
>
> [mm]\delta_B(A)[/mm] = [mm]\vektor{\bruch{a+b}{2}\\\bruch{a-b}{2}\\c}[/mm]
> ????
>
> Stimmt dass so?
Ja
FRED
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ah gut :)
Aber wauwau hat ja diese Zahlen einfach so angegeben?
Also [mm] r_1, r_2, r_3...
[/mm]
Wie hat er sie denn ausgerechnet?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:31 Do 13.01.2011 | | Autor: | fred97 |
Berechne mal
$ [mm] r_1B_1+r_2B_2+r_3B_3 [/mm] $
Herauskommen soll [mm] \pmat{ a & b \\ b & c }
[/mm]
Wie fallen dann die [mm] r_i [/mm] aus ?
FRED
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Ja stimmt. Danke nochmal :)
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