Koordinaten eines Punktes P < Geraden und Ebenen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Guten Tag zusammen,
ich habe folgende Frage. Bin gerade am Wiederholen für Abitur. Habe viele Übungszettel bekommen, leider fehlt mir der Ansatz bei dieser Aufgabe.
Ein Dreieck ABC ist durch A(a/0/0), B(0/a/0) und C(0/0/a) bestimmt.
a) Berechnen Sie die Koordinaten des Schwerpunktes S des Dreiecks ABC.
Lösung: S (1/3a /1/3a /1/3a)
b) Ermitteln Sie die Parameter- und Normalengleichungen der Ebene E durch A,B und C.
Lösung: E= [mm] \vektor{a \\ 0\\0}+r\vektor{-a \\ a\\0}+s\vektor{ -a\\ 0\\a}
[/mm]
oder x+y+z=a
Bis hierhin war es einfach... nun kommen meine Fragen!
c) Ermitteln Sie die Koordinaten eines Punktes P, der durch die Bedingungen festgelegt ist, [mm] \overrightarrow{SP}\perp [/mm] E; [mm] |\overrightarrow{SP}|= \bruch{2}{3}\wurzel{3}a [/mm] ; 0 und P liegen auf verschiedenen Seiten der Ebene E.
...Wie muss ich hier vorgehen??
d) Ermitteln Sie eine Parametergleichung der Geraden g1 durch O und P. Wie groß ist der Winkel, den g1 mit der positiven x-Achse einschließt?
... ich denke diese Aufgaben würde ich verstehen, wenn ihr mir die von c) erklären würdet...
Danke im Vorraus!
Gruß
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:46 Do 06.03.2008 | | Autor: | Kroni |
Hi und ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") ,
> Guten Tag zusammen,
>
> ich habe folgende Frage. Bin gerade am Wiederholen für
> Abitur. Habe viele Übungszettel bekommen, leider fehlt mir
> der Ansatz bei dieser Aufgabe.
>
> Ein Dreieck ABC ist durch A(a/0/0), B(0/a/0) und C(0/0/a)
> bestimmt.
>
> a) Berechnen Sie die Koordinaten des Schwerpunktes S des
> Dreiecks ABC.
> Lösung: S (1/3a /1/3a /1/3a)
Ist das schon eine Frage? Der Schwerpunkt eines Dreiecks ist der Schnittpunkt der Seitenhalbierenden. Siehe auch z.B: ![[]](/images/popup.gif) diesen Link.
> b) Ermitteln Sie die Parameter- und Normalengleichungen
> der Ebene E durch A,B und C.
> Lösung: E= [mm]\vektor{a \\ 0\\0}+r\vektor{-a \\ a\\0}+s\vektor{ -a\\ 0\\a}[/mm]
>
> oder x+y+z=a
>
> Bis hierhin war es einfach... nun kommen meine Fragen!
>
> c) Ermitteln Sie die Koordinaten eines Punktes P, der durch
> die Bedingungen festgelegt ist, [mm]\overrightarrow{SP}\perp[/mm] E;
> [mm]|\overrightarrow{SP}|= \bruch{2}{3}\wurzel{3}a[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
; 0 und P
> liegen auf verschiedenen Seiten der Ebene E.
>
> ...Wie muss ich hier vorgehen??
Du hast also eine Ebene in Normalenform gegeben. Daher weist du, dass der Normalenvektor senkrecht auf der Ebene steht. Das solltest du wissen. Dann kannst du also schonmal sagen, dass P auf einer Geraden liegt, die als Richtungsvektor den Normalenvektor der Ebene hat. Ist das soweit klar? Dann weist du, dass die Gerade durch S geht. Denn du weist ja, dass dein Vektor SP gemeint ist. Dann kannst du eine Geradengleichung aufstellen, und den allgemeinen Vektor $\vec{x}$ aufstellen. Dann kannst einen allgemeinen Verbindungsvektor $\vec{XS)$ aufstellen (das ist eg. der Richtungsvektor!), und davon den Betrag berechnen. Dann diesen gleich der Länge setzen und auflösen. Dann bekommst du zwei Lösungen, da das ganze eine quad. Gleichung ist.
Dass der Ursprung ung P auf verschiedenen Seiten der Ebene Liegen sagt dir, welcher der beiden Lösungen deinen Punkt P ergibt. PS: Als Lösung bekommst du dann einen Parameter der Geradengleichung heraus. Den Einsetzen, und du hast P (so, jetzt solltest du erst selbts denken, ich habe dir eigentlichs chon alles erzählt...)
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> d) Ermitteln Sie eine Parametergleichung der Geraden g1
> durch O und P. Wie groß ist der Winkel, den g1 mit der
> positiven x-Achse einschließt?
>
> ... ich denke diese Aufgaben würde ich verstehen, wenn ihr
> mir die von c) erklären würdet...
>
Ja. Wenn du P hast, sollte die Geradengleichung kein Problem mehr sein. Für den Winkel guck dir die Definiton des Betrages des Skalarproduktes an, das sollte dir weiterhelfen.
ICh hoffe, ich konnte dir helfen. Jetzt bist du erst wieder dran. Falls du Probleme mit der Vorstellung hast, nimm dir ein Blatt Papier und einen Stift, damit kannst du Ebenen und Stift im $\IR^3$ sehr gut nachstellen.
> Danke im Vorraus!
Kein Ding =)
>
> Gruß
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
LG
Kroni
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Ja, danke für den Ansatz...Bloß weiß ich nicht wie ich die Gerade ausrechne auf der P liegt, der Richtungsvektor ist der Normalvektor der Ebene,...das leuchtet ein. Aber wie bekomme ich letztendlich den Punkt P herraus... könnten Sie vielleicht konkrete Beispiele machen. Wäre Ihnen sehr sehr dankbar! Danke aber sehr für Ihre Antwort ;)
Gruß
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:08 Do 06.03.2008 | | Autor: | Kroni |
Hi,
bitte sprich uns hier doch alle mit "du" an. Das ist hier allgemeiner Konsens =)
Ich möchte dir die Antwort dennoch erst allgemein geben: Du kannst doch eine Gerade konstruieren. Den Richtungsvektor hast du. Den Stützvektor kennst du auch (nämlich S).
Stell dir jetzt diese Gerade vor, und einen Punkt, der darauf wandert. Wie berechnest du jetzt den Abstand zwischen S und dem allgemeinen Punkt x, der ja durch die Geradengleichung bestimmt wird? Stell dir vor, du hast einen Punkt vorgebene, zb. durch [mm] $\lambda=1$, [/mm] falls [mm] $\lambda$ [/mm] dein Parameter ist. Dann hast du einen Konkreten Punkt, und davon kannst du den Abstand berechnen.
Wenn du jetzt ein Gerade der Form [mm] $\vec{x}=\pmat{1\\2\\3}+\lambda\pmat{2\\5\\7}$ [/mm] hast, dann kannst du den allgemeinen Punkt doch auch als [mm] $\vec{x}=\pmat{1+2\lambda\\2+5\lambda\\3+7\lambda}$ [/mm] schreiben. Jetzt kannst du allgemein den Verbidungsvektor xS berechnen, und davon den Betrag berechnen, also die Länge, und das gleich deiner gesuchten Länge setzen.
Hilft dir das weiter?
Stell dir erst das ganze konkret vor, und abstrahiere dann.
LG
Kroni
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Ja danke für deinen Ansatz und Aufwand. Wir haben dieses ganze Thema ziemlich knapp behandelt, deswegen habe ich einige Lücken. Haben uns vorwiegend mit Analysis beschäftigt :(...also Analytische Geometrie und Lineare Algebra haben wir wirklich etwas vernachlässigt. Deswegen wäre ich dir sehr sehr dankbar, wenn du oder ein anderer mir das vorrechnen könnte? Bin sonst am Verzweifeln... für P muss P(a/a/a) rauskommen, den Rest der Aufgabe habe ich verstanden, nur wie kommt man auf P, anhand der gegebenen Bedingungen. Könntest du das bitte vorrechnen? Das wäre sehr nett... ;)
Gruß
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:33 Fr 07.03.2008 | | Autor: | Kroni |
Hi,
einfach vorrechnen wird dir das keiner (lies dir dazu doch nochmal die Forenregeln durch). Aber wir können dir Denkanstäze geben. Heute werde ich persönlich nicht mehr zu einer Antwort kommen, aber morgen hätte ich Zeit, um mich damit zu bschäftigen, und dir ein paar Ansätze zu geben.
Falls mir aber jemand zuvorkommt, ist das ja auch kein Problem.
LG
Kroni
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:11 So 09.03.2008 | | Autor: | Kroni |
Hi,
also gehen wir nochmal langsam vor.
Du hast die Ebene $x+y+z=a$ vorgegeben. Dann weist du, dass der Normelvektor [mm] $\vec{n}=\pmat{1\\1\\1}$ [/mm] ist.
Dann hast du noch den Punkt $S(1/3a;1/3a;1/3a)$ vorgegeben.
Dann weist du, dass die Strecke [mm] $\overrightarrow{SP}$ [/mm] senkrecht auf der Ebene steht. D.h. du weist, dass dein Punkt P auf einer Geraden liegt, die den Normalenvektor der Ebene als Richtungsvektor hat. Dann weist du, dass die Gerade durch S geht. Damit solltest du die Gerade bestimmen können.
Wie muss diese aussehen?
Gut, dann weist du, dass du den Punkt P allgemein als Punkt der Geraden darstellen kannst. Dann kannst du den Verbindungsvektor [mm] $\overrightarrow{SP}$ [/mm] bestimmen, indem du den Differenzvektor zwischen dem allgemein Punkt und S bildest (das ist wieder der Normalenvektor deiner Ebene, nur mit einem Parameter davor!). D.h. der Verbindungsvektor lautet dann [mm] $\pmat{\lambda\\\lambda\\\lambda}$. [/mm] Das kann von deinem Ergebnis etwas abweichen, je nachdem, wie du die Geradengleichun aufstellst.
Wie sieht dann der Betrag des Verbidungsvektors aus? Dann mit deinem vorgegebenen Betrag gleichsetzen. Was folgt daraus für [mm] $\lambda$?
[/mm]
Bei der Berechnung ein wenig aufpassen, denn du darfst nicht direkt [mm] $\sqrt{\lambda^2}=\lambda$ [/mm] setzen, denn du kannst ja auch noch [mm] $-\lambda$ [/mm] einsetezen, und das führt auch zur Lösung.
Dann die beiden [mm] $\lambda$ [/mm] in die Geradengleichung einsetezen. Dann musst du dir nur ncoh überlegen, welches der beiden Lösungen richtig ist, denn die Ebene liegt ja zwischen P und dem Ursprung.
Mit der Überlegung kommst du dann zum richtigen Ergebnis (a;a;a).
Jetzt bist du wieder dran, meine angedeuteten Sachen in die Tat umzustezen.
Ich hoffe, ich konnte dir helfen, mehr will ich dir nicht verraten, denn sonst hättest du ja schon die Lösung ;)
LG
Kroni
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:23 So 09.03.2008 | | Autor: | Realbarca |
Danke, ich hab es gestern nach längerem Grübeln rausbekommen. Im Nachhinein denke ich, dass es gar nicht so schwer ist.
Also nochmal danke für deine Mühe! ;=)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:00 So 09.03.2008 | | Autor: | Kroni |
Hi,
schön, dass du es herausbekommen hast =)
Die Augabe ist insofern "schwer", da du einen Parameter in deiner Aufgabe hast. Aber es ist eigetnlich genau die Rechnung, die du bestimmt schon ein paar mal gemacht hast.
LG
Kroni
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