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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:32 Do 18.08.2005 | | Autor: | kelias |
Hallo
Wir haben im Moment in der 11.Klasse das Thema Ortogonalität und Schnittwinkel. Könnte mir mal bitte einer erklären wie das Grundlegend funktioniert. Ich würde mich freuen. Danke
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:25 Do 18.08.2005 | | Autor: | djmatey |
Hallo,
also ich gehe mal davon aus, dass es um Vektoren geht...
Zwei Vektoren stehen orthogonal aufeinander heißt, dass sie senkrecht, also im 90-Grad-Winkel aufeinander stehen. Das ist genau dann der Fall, wenn ihr Produkt v*w=0 ist.
Einen Vektor z, der orthogonal auf zwei Vektoren v=(a,b,c),w=(d,e,f) steht, findet man durch das Kreuzprodukt, z.B.
(a,b,c)x(d,e,f) = (bf-ce,cd-af,ae-bd).
Letzterer Vektor ist dann z, der senkrecht auf v und w steht.
Man benutzt die Orthogonalität oft zur Darstellung von Ebenen durch die Normalenform, wo der sogenannte Normalenvektor, der orthogonal auf der darzustellenden Ebene steht, diese eindeutig repräsentiert (falls ein Stützvektor angegeben ist).
Zum Thema Schnittwinkel:
Für zwei Vektoren v,w berechnest Du den Schnittwinkel [mm] \alpha [/mm] durch
cos [mm] \alpha [/mm] = [mm] \bruch{|v*w|}{|v|*|w|}, [/mm] d.h. [mm] \alpha [/mm] kann man aus dieser Gleichung durch Anwendung von [mm] cos^{-1} [/mm] auf beiden Seiten bekommen.
Was hast Du ansonsten für konkrete Fragen? Wäre nett, wenn Du etwas präzisieren könntest... 
Beste Grüße,
djmatey.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 07:45 Fr 19.08.2005 | | Autor: | Loddar |
Guten Morgen kelias,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !!
Oder meintest Du hier den Winkel zwischen zwei Geraden in der Ebene?
Dann gilt folgende Formel: [mm] $\tan \varphi [/mm] \ = \ [mm] \bruch{m_2-m_1}{1+m_1*m_2}$
[/mm]
Dabei ist [mm] $\varphi$ [/mm] der (Schnitt-)Winkel zwischen zwei Geraden mit den jeweiligen Steigungen [mm] $m_1$ [/mm] und [mm] $m_2$ [/mm] .
Sollen diese beiden nun orthogonal (sprich: senkrecht) aufeinander stehen, ergibt sich folgender Zusammenhang: [mm] $\varphi [/mm] \ = \ 90°$
[mm] $\tan \varphi [/mm] \ = \ [mm] \tan [/mm] 90° \ = \ [mm] \bruch{1}{0} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{m_2-m_1}{1+m_1*m_2}$
[/mm]
Der Ausdruck " [mm] $\bruch{1}{0}$ [/mm] " ist natürlich nur anschaulich anzusehen, da der tan an der Stelle [mm] $\alpha [/mm] \ = \ 90°$ nicht definiert ist, weil er dort gegen Unendlich strebt.
[mm] $\Rightarrow$ [/mm] $0 \ = \ [mm] 1+m_1*m_2$ $\gdw$ $m_1*m_2 [/mm] \ = \ -1$
Wenn also das Produkt zweier Geradensteigungen gerade -1 ergibt, stehen diese beiden Geraden senkrecht aufeinander.
War es das, was Du wissen wolltest?
Gruß
Loddar
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