Konvexität herstellen < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:54 Mo 03.06.2019 | | Autor: | Sabine.S |
| Aufgabe | Gegeben Sei die nicht konvexe Menge $$
K [mm] :=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} | 1
$$
und die Abbildung
$$
[mm] \vec{f} [/mm] : M [mm] \rightarrow \mathbb{R}^{3}, \quad(x, [/mm] y, z) [mm] \mapsto\left(\begin{array}{c}{\ln (x+3)+e^{x^{2}}+x y^{2}} \\ {x^{2} y+y^{2}+10} \\ {\frac{1}{e^{-z}}}\end{array}\right)
[/mm]
$$
Vergrößern Sie den Definitionsbereich von [mm] $\vec{f}$ [/mm] auf eine offene konvexe Menge [mm] $\tilde{K},$ [/mm] sodass $M [mm] \subseteq \tilde{M} [/mm] .$ (Die Abbildung soll auch auf [mm] $\tilde{M}$ [/mm] stetig differenzierbar sein.) |
Guten Tag,
die Aufgabe in der Box stellt für mich im Moment eine Herausforderung dar, da ich nicht weiß wie ich sie lösen soll.
Die Menge K ist eine art hole Kugel.
Um die Konvexität herzustellen, müsste ich den Hohlraum doch eigentlich nur füllen oder?
Natürlich müsste wegen der Diffbarkeit von f gelten $x> -1$ sonst macht der Log probleme.
Ich hoffe mir kann Jemand den entscheidenden Tipp geben?
MFG
Sabine
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:46 Mo 03.06.2019 | | Autor: | fred97 |
> Gegeben Sei die nicht konvexe Menge[mm][/mm]
> K [mm]:=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} | 1
> [mm][/mm]
>
> und die Abbildung
> [mm][/mm]
> [mm]\vec{f}[/mm] : M [mm]\rightarrow \mathbb{R}^{3}, \quad(x,[/mm] y, z)
> [mm]\mapsto\left(\begin{array}{c}{\ln (x+3)+e^{x^{2}}+x y^{2}} \\ {x^{2} y+y^{2}+10} \\ {\frac{1}{e^{-z}}}\end{array}\right)[/mm]
> [mm][/mm]
Ich gehe davon aus, dass [mm] \vec{f} [/mm] auf K definiert ist (anderenfalls: was ist M ??).
>
> Vergrößern Sie den Definitionsbereich von [mm]\vec{f}[/mm] auf
> eine offene konvexe Menge [mm]\tilde{K},[/mm] sodass [mm]M \subseteq \tilde{M} .[/mm]
Du meinst sicher
$K [mm] \subseteq \tilde{K}$
[/mm]
> (Die Abbildung soll auch auf [mm]\tilde{M}[/mm] stetig
> differenzierbar sein.)
.... auf [mm]\tilde{K}[/mm]....
> Guten Tag,
> die Aufgabe in der Box stellt für mich im Moment eine
> Herausforderung dar, da ich nicht weiß wie ich sie lösen
> soll.
>
> Die Menge K ist eine art hole Kugel.
Ja , aus der offenen Kugel um (0,0,0) mit [mm] \sqrt{3} [/mm] wurde die abgeschlossene Kugel um (0,0,0) mit Radius 1 entfernt.
>
> Um die Konvexität herzustellen, müsste ich den Hohlraum
> doch eigentlich nur füllen oder?
> Natürlich müsste wegen der Diffbarkeit von f gelten [mm]x> -1[/mm]
Wieso x>-1 ?? [mm] \ln [/mm] (x+3) ist definiert für x > -3.
> sonst macht der Log probleme.
Ja, schauen wir uns doch mal den maximalen Definitionsbereich von [mm] \vec{f} [/mm] an: der ist
[mm] $D:=\{(x,y,z) \in \IR^3: x > -3\}.$
[/mm]
Zeige nun:
1. D ist offen und konvex;
2. K [mm] \subset [/mm] D;
3. [mm] \vec{f} [/mm] ist auf D stetig differenzierbar.
Dann leistet $ [mm] \tilde{K}:=D [/mm] $ das Gewünschte.
>
> Ich hoffe mir kann Jemand den entscheidenden Tipp geben?
>
> MFG
> Sabine
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>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:56 Mo 03.06.2019 | | Autor: | Sabine.S |
Ui, dass werden aber dann 2 Seiten in Latex:),
ich danke für die Hilfe
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:03 Mo 03.06.2019 | | Autor: | fred97 |
> Ui, dass werden aber dann 2 Seiten in Latex:),
Nun übertreib mal nicht. Im wesentlichen ist doch nur die Konvexität von D zu zeigen, was auch nicht viel Arbeit ist. Der Rest ist (fast ) trivial.
> ich danke für die Hilfe
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