Konvexität + Ableiten < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei μ ein Wahrscheinlichkeitsmaß auf [mm] $(\IR,B)$. [/mm] Zeigen Sie, dass [mm] $\varphi: \IR \to \IR$, [/mm] definiert durch
[mm] $\varphi(\lambda)=\log\int_{\IR}e^{\lambda x}\mu(dx)$
[/mm]
eine konvexe Funktion ist, falls das Integral für alle [mm] $\lambda\in \IR$ [/mm] endlich ist.
Zeigen Sie weiterhin, dass für [mm] $\alpha >\int [/mm] x [mm] d\mu(x)$ [/mm] gilt:
[mm] $\log\mu([\alpha,\infty[)\leq \{\inf_{\lambda>0}(\varphi(\lambda)-\alpha \lambda)\}$
[/mm]
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Idee:
[mm] $\varphi'(\lambda)=\lambda [/mm] => [mm] \varphi''(\lambda)=1>0$
[/mm]
Also ist [mm] $\varphi$ [/mm] konvex. Das Problem hierbei ist, dass ich keine integrierbare Funktion $h(x)$ finde mit
[mm] $|x|e^{\lambda x}\leq [/mm] h(x)$ (Majorante für die Ableitung)
für alle [mm] $x,\lambda\in \IR$. [/mm] Denn erst, wenn dies erfüllt ist, darf ich die Ableitung ins Integral ziehen. Hat jemand noch eine andere Idee?
Zum zweiten Teil fällt mir zur zeit auch nichts ein. Hat jemand einen Tipp?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:20 Do 05.06.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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