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(Frage) überfällig  | | Datum: | 21:26 Di 06.01.2009 | | Autor: | Bebe |
| Aufgabe | Für A, B [mm] \subseteq \IR [/mm] ^{2} und [mm] \lambda \in \IR [/mm] definieren wir
A+B:= {a+b [mm] \in \IR [/mm] ^{2}: a [mm] \in [/mm] A, b [mm] \in [/mm] B} sowie [mm] \lambda [/mm] A:={ [mm] \lambda [/mm] a [mm] \in \IR^{2}: [/mm] a [mm] \in [/mm] A }.
Zeigen Sie, dass A genau dann konvex ist, wenn [mm] \lambda1A+\lambda2A [/mm] = [mm] (\lambda1 [/mm] + [mm] \lambda2)A [/mm] für alle [mm] \lambda \ge [/mm] 0. |
Hallo, vielleicht kann mir mal einer von euch bei dieser Aufgabe helfen. Ich hab keine Ahnung, wie ich damit anfangen soll. Wäre für einen Tipp sehr dankbar.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:20 Sa 10.01.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 07:08 So 11.01.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo
> Für A, B [mm]\subseteq \IR[/mm] ^{2} und [mm]\lambda \in \IR[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
definieren
> wir
> A+B:= {a+b [mm]\in \IR[/mm] ^{2}: a [mm]\in[/mm] A, b [mm]\in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
B} sowie [mm]\lambda[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> A:={ [mm]\lambda[/mm] a [mm]\in \IR^{2}:[/mm] a [mm]\in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
A }.
> Zeigen Sie, dass A genau dann konvex ist, wenn
> [mm]\lambda1A+\lambda2A[/mm] = [mm](\lambda1[/mm] + [mm]\lambda2)A[/mm] für alle
> [mm]\lambda \ge[/mm] 0.
Nun, die Inklusion [mm] $(\lambda_1 [/mm] + [mm] \lambda_2) [/mm] A [mm] \subseteq \lambda_1 [/mm] A + [mm] \lambda_2 [/mm] A$ gilt fuer alle [mm] $\lambda_1, \lambda_2 \in \IR$. [/mm] Interessant ist also die andere Inklusion.
Fangen wir mal damit an, dass $A$ konvex ist. Sei jetzt $x = [mm] \lambda_1 [/mm] a + [mm] \lambda_2 [/mm] b [mm] \in \lambda_1 [/mm] A + [mm] \lambda_2 [/mm] A$, also $a, b [mm] \in [/mm] A$. Du musst $x [mm] \in (\lambda_1 [/mm] + [mm] \lambda_2) [/mm] A$ zeigen.
Ist [mm] $\lambda_1 [/mm] + [mm] \lambda_2 [/mm] = 0$, so gilt [mm] $\lambda_1 [/mm] = [mm] \lambda_2 [/mm] = 0$ und somit $x = 0 [mm] \in [/mm] 0 [mm] \cdot [/mm] A$; der Fall ist also langweilig.
Nehmen wir also an, dass [mm] $\lambda_1 [/mm] + [mm] \lambda_2 [/mm] > 0$ ist. Betrachte doch mal [mm] $\frac{1}{\lambda_1 + \lambda_2} [/mm] x$ und zeige dass dies in [mm] $\frac{1}{\lambda_1 + \lambda_2} (\lambda_1 [/mm] + [mm] \lambda_2) [/mm] A = A$ liegt; dies ist dazu aequivalent, dass $x [mm] \in (\lambda_1 [/mm] + [mm] \lambda_2) [/mm] A$ liegt. Allerdings gilt nun $0 [mm] \le \frac{lambda_1}{\lambda_1 + \lambda_2}, \frac{lambda_2}{\lambda_1 + \lambda_2}$ [/mm] und [mm] $\frac{lambda_1}{\lambda_1 + \lambda_2} [/mm] + [mm] \frac{lambda_2}{\lambda_1 + \lambda_2} [/mm] = 1$. Verwende nun, dass $A$ konvex ist.
Wenn du verstanden hast was hier vor sich geht, sollte die Rueckrichtung auch kein Problem sein.
LG Felix
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