Konvexität < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Aufgabe 1:
Rechne direkt die (strikte) Konvexitätsungleichung nach für f(x) = [mm] x^2 [/mm] auf [mm] \IR [/mm] und für f(x) = 1/x auf [mm] \IR [/mm] >0 (mit Hilfe der binomischen Ungleichung 2ab [mm] \le a^2 [/mm] + [mm] b^2 [/mm] ).
Aufgabe 2:
Rechne nach, dass die Verkettung h(f(x)) einer wachsenden konvexen Funktion h(y) mit einer streng konvexen Funktion f(x) wieder eine streng konvexe Funktion ist.
Folgere, dass die reziproke Funktion 1/g zu einer positiven streng konkaven Funktion streng konvex ist und dass die reziproken Potenzfunktionen x^−s für alle s > 0 streng
konvex sind auf [mm] \IR [/mm] >0. |
Bitte, bitte helfen und lösen. Danke!!!!
Gruß Jenni
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:28 Mi 25.04.2007 | | Autor: | wauwau |
Konvexitätsungleichung
[mm] f(\bruch{x+y}{2}) \le \bruch{f(x)+f(y)}{2}
[/mm]
[mm] (\bruch{x+y}{2})^2 \le \bruch{x^2+y^2}{2}
[/mm]
0 [mm] \le (\bruch{x-y}{2})^2
[/mm]
[mm] \bruch{2}{x+y} \le \bruch{\bruch{1}{x}+\bruch{1}{y}}{2}
[/mm]
umformen bringt
0 [mm] \le (x-y)^2
[/mm]
[mm] h(f(\bruch{x+y}{2})) [/mm] < [mm] h(\bruch{f(x)+f(y)}{2}) \le \bruch{h(f(x))+h(f(y))}{2}
[/mm]
den Rest überlasse ich Dir
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