Konvexität < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 19:07 Sa 24.10.2015 | | Autor: | Laura22 |
| Aufgabe | Zeige, dass die Funktion [mm] g:\IR^n \to \IR\cup\{\infty\}
[/mm]
[mm] g(x_1,...,x_n)=-\wurzel[n]{x_1x_2\cdot...\cdot x_n} [/mm] für [mm] x_1, x_2,...,x_n \ge [/mm] und [mm] \infty [/mm] sonst
konvex ist. |
Hallo zusammen!
Ich hänge schon etwas länger an dieser Aufgabe und komme einfach nicht weiter. Und zwar habe ich bisher die Hessematrix dieses Ausdrucks berechnet und wollte zeigen, dass diese pos. semidefinit ist (über [mm] y^{T}Hy [/mm] mit y [mm] \in R_{+}^{n}, [/mm] aber das habe ich bisher nur für den Fall n=2 geschafft. Weiter kenne ich für Konvexität nur noch die Bedingung, dass die Jensen-Ungl. erfüllt ist, also g(tx + [mm] (1-t)y)\le [/mm] tg(x) + (1-t)g(y) gilt, aber was soll ich damit nun anfangen?
Hat jemand einen Tipp über welchen Weg es zu zeigen wäre?
Vielen Dank,
Laura
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Suche dir 2 von den [mm] x_i [/mm] aus und nenne eines x, das andere y.
Halte alle anderen [mm] x_i [/mm] konstant und nenne ihr Produkt a.
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:57 So 25.10.2015 | | Autor: | Laura22 |
Hallo! :) Vielen Dank für ihren Tipp, doch ich weiß leider nichts damit anzufangen.
Ich habe hier jetzt also lediglich den Ausdruck [mm] \wurzel[n]{x_1...x_n} [/mm] durch
[mm] \wurzel[n]{x*y*a} [/mm] mit a wie erklärt ersetzt. Was soll ich nun daran sehen? :)
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Jetzt kannst du versuchen, ob
g(tx + $ [mm] (1-t)y)\le [/mm] $ tg(x) + (1-t)g(y)
gilt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 03:53 Mo 26.10.2015 | | Autor: | tobit09 |
Hallo HJKweseleit!
Ich kenne mich mit Konvexität von Abbildungen $ [mm] g:\IR^n \to \IR\cup\{\infty\} [/mm] $ leider nicht aus.
> Jetzt kannst du versuchen, ob
> g(tx + [mm](1-t)y)\le[/mm] tg(x) + (1-t)g(y)
> gilt.
Das wird jedoch schon deshalb nicht richtig sein, weil x und y bei dir reelle Zahlen und nicht Elemente des [mm] $\IR^n$ [/mm] zu sein scheinen und somit Ausdrücke wie g(x) gar nicht definiert sind.
Viele Grüße
Tobias
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:20 Mo 26.10.2015 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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