Konvexe Hülle < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei A eine beliebige Teilmenge von [mm] \IC [/mm] ; sei K die konvexe Hülle von A
Sei H = [mm] \{z \in \IC | \forall \alpha \in \IC : \| exp( \alpha z) \| \le \ sup_{w \in A} \| exp( \alpha w) \| \}
[/mm]
z.Z.: H = K |
Hallo,
Irgendwie bekomm ich das überhaupt nicht hin, obwohl diese Eigenschaft "leicht zu sehen" sein sollte.
Danke für alle Rückmeldungen!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:51 Mo 30.08.2010 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Sei A eine beliebige Teilmenge von [mm]\IC[/mm] ; sei K die konvexe
> Hülle von A
> Sei H = [mm]\{z \in \IC | \forall \alpha \in \IC : \| exp( \alpha z) \| \le \ sup_{w \in A} \| exp( \alpha w) \| \}[/mm]
>
> z.Z.: H = K
> Hallo,
>
> Irgendwie bekomm ich das überhaupt nicht hin, obwohl diese
> Eigenschaft "leicht zu sehen" sein sollte.
>
> Danke für alle Rückmeldungen!
ohne irgendwas durchgerechnet zu haben und daher auch ohne zu wissen, ob es vielleicht eleganter geht:
Du kannst hier jedenfalls so vorgehen, dass Du zeigst:
1.) Es gilt $A [mm] \subseteq H\,,$und $H\,$ [/mm] ist konvex.
2.) Ist $K [mm] \supseteq [/mm] A$ eine irgendeine konvexe Obermenge von [mm] $A\,,$ [/mm] so gilt $H [mm] \subseteq K\,.$
[/mm]
Beste Grüße,
Marcel
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Ja, das wär auch mein Plan gewesen, hab's aber leider nicht hinbekommen :(
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:52 Di 31.08.2010 | | Autor: | pelzig |
Also, dass [mm]A\subset H[/mm] gilt, sollte klar sein. Um zu zeigen, dass [mm]H[/mm] konvex ist, benutze die Identität [mm]|e^{\alpha t}|=|e^\alpha|^t[/mm] für alle, [mm]\alpha\in\IC[/mm], [mm]t\in\IR[/mm].
Gruß, Robert
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:09 Di 31.08.2010 | | Autor: | felixf |
Moin Robert,
> Um zu zeigen, dass [mm]H[/mm] konvex ist, benutze die Identität [mm]|e^{\alpha t}|=|e^\alpha|^t[/mm]
> für alle, [mm]\alpha\in\IC[/mm], [mm]t\in\IR[/mm].
ich denke man kann auch einfach die Konvexitaet von [mm] $\exp [/mm] : [mm] \IR \to \IR$ [/mm] benutzen, zusammen mit [mm] $|\exp(z)| [/mm] = [mm] \exp(\Re [/mm] z)$.
LG Felix
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Ah, vielen Dank, jetzt hab ich's!
K [mm] \subset [/mm] H, da A [mm] \subset [/mm] H, und H konvex ist:
Seien x,y [mm] \in [/mm] H; und [mm] \lambda \in [/mm] [0,1], sei [mm] \alpha \in \IC
[/mm]
Dann ist |exp( [mm] \alpha (\lambda [/mm] x + [mm] (1-\lambda [/mm] )y)) | = [mm] |exp(\alpha x)|^{\lambda} [/mm] |exp( [mm] \alpha y)|^{1-\lambda} \le [/mm]
[mm] sup_{w \in A} [/mm] |exp [mm] (\alpha [/mm] w)|
Somit liegt [mm] \lambda [/mm] x + [mm] (1-\lambda [/mm] )y wieder in H, also ist H konvex.
Angenommen [mm] \exists [/mm] w [mm] \in H\setminus(K)
[/mm]
Da K konvex ist, existiert ein [mm] \IR [/mm] - lineares Funktional f: [mm] \IC \to \IR, [/mm] sodass
[mm] sup_{z \in K} [/mm] f(z) < c = f(w)
Sei E der Raum der [mm] \IC [/mm] - linearen Funktionale auf [mm] \IC
[/mm]
Sei F der Raum [mm] \IR [/mm] - linearen Funktionale auf [mm] \IC
[/mm]
Mittles [mm] \phi [/mm] : E [mm] \to [/mm] F , [mm] \phi [/mm] : g [mm] \mapsto \Re [/mm] (g) ; sind E und F isometrisch-isomorph zueinander.
Insbesonderes existiert [mm] \alpha \in \IC, [/mm] sodass [mm] \forall [/mm] z [mm] \in \IC [/mm] gilt:
[mm] \Re [/mm] ( [mm] \alpha [/mm] z) = f(z)
Da, A [mm] \subset [/mm] K; folgt
[mm] sup_{z \in A} [/mm] |exp( [mm] \alpha [/mm] z ) | = [mm] sup_{z \in A} [/mm] exp( [mm] \Re [/mm] ( [mm] \alpha [/mm] z ) ) = [mm] sup_{z \in A} [/mm] exp(f(z)) < exp(c) = |exp( [mm] \alpha [/mm] w )|; ein Widerspruch zu [mm] w\in [/mm] H; d.h. H [mm] \setminus [/mm] K = [mm] \emptyset
[/mm]
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