Konvexe Funktion < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 22:28 Di 29.04.2008 | | Autor: | jokerose |
| Aufgabe | | Sei f: [mm] \IR^n \to \IR [/mm] zweimal stetig differenzierbar, so dass Hess f(x) in jedem Punkt x [mm] \out \IR^n [/mm] positiv definit ist. Zeige, dass f eine konvexe Funktion ist. |
Mir ist nicht ganz klar, wie die Definition für konvexe Funktionen in mehreren Variabeln ist.
Für eine Variable ist es mir klar:
[mm] f(ax_1+(1-a)x_2) \le af(x_1)+(1-a)f(x_2)
[/mm]
Gilt dies auch für mehrere Variblen?
Für die Aufgabe hätte ich dann folgende Idee:
[mm] f(x+\varepsilon) [/mm] = f(x) + <grad [mm] f(x),\varepsilon> [/mm] + 0.5 [mm] <\varepsilon, A\varepsilon>
[/mm]
daraus folgt:
[mm] f(x+\varepsilon) [/mm] > f(x) + <grad f(x), [mm] \varepsilon>
[/mm]
Bin ich da auf dem richtigen Weg? Wie kann ich dann aber weiterfahren?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 02:06 Do 01.05.2008 | | Autor: | Zneques |
Hallo,
Da normalerweise [mm] \varepsilon\in\IR [/mm] ist, ist es besser [mm] x+\varepsilon*h [/mm] mit [mm] h\in\IR^n [/mm] zu schreiben.
Dann wäre also zu beweisen, dass:
[mm] \forall x,y\in\IR^n [/mm] , [mm] \varepsilon\in[0,1] [/mm] gilt [mm] f(\varepsilon*x+(1-\varepsilon)*y)\le \varepsilon*f(x)+(1-\varepsilon)*f(y)
[/mm]
bzw.
[mm] \forall x,y\in\IR^n [/mm] , [mm] \varepsilon\in[0,1] [/mm] mit h=y-x gilt [mm] f(x+\varepsilon*h)\le (1-\varepsilon)*f(x)+\varepsilon*f(x+h)
[/mm]
Ciao.
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