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(Frage) überfällig  | | Datum: | 11:26 So 30.06.2013 | | Autor: | f12 |
Hallo zusammen
Ich studiere gerade ein wenig konvexe Analysis und beschäftige mich mit sogenannten dual Probelmene. In einem Beweis verstehe ich folgende Argumentation nicht (welche nichts mit Konvexer Analysis zu tun hat).
Ich habe eine Funktion $U$, die strikt konkave, [mm] $C^1$ [/mm] und strikt wachsend ist. Dann wird folgende Funktion betrachtet:
[mm] $J(y)=\sup_{x>0}(U(x)-xy)$
[/mm]
Das ist die Legendretransformierte von $-U(-x)$. Es gilt, dass $J$ ebenfalls [mm] $C^1$ [/mm] ist, fallend und konvex. Ebenso kann man zeigen, dass
$J(y)=U(I(y))-yI(y)$
gilt für [mm] $I=-J'=(U')^{-1}$. [/mm] Nun betrachtet man [mm] $J_n(y)=\sup_{n\ge x>0}(U(x)-xy)$ [/mm] und es wird behauptet, dass für [mm] $y\ge [/mm] I(n)$ [mm] $J_n(y)=J(y)$. [/mm] Ich hätte aber gedacht, dass dies für [mm] $y\le [/mm] I(n)$ gilt, da:
[mm] $J_n(y)=\sup_{n\ge x>0}(U(x)-xy)$ [/mm] und $J(y)=U(I(y))-yI(y)$ ja ergeben, dass wenn [mm] $I(y)\le [/mm] n$ beide übereinstimmen. Oder wo steckt mein Denkfehler?
Danke für die Hilfe
f12
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:20 Mi 31.07.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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