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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:29 Fr 18.11.2011 | | Autor: | quasimo |
| Aufgabe | Man entscheide jeweils (Beweis oder Gegenbeispiel), ob [mm] (a_n) [/mm] gegen
Null konvergiert, falls es für jedes [mm] \varepsilon [/mm] > 0 ein [mm] N(\varepsilon) [/mm] gibt, sodass für alle n [mm] \ge N(\varepsilon)
[/mm]
a)
[mm] |a_n^2 [/mm] + [mm] 2a_{n+1}| [/mm] < [mm] \varepsilon
[/mm]
b) [mm] |a_n| [/mm] < [mm] \varepsilon^2 [/mm] + [mm] \varepsilon [/mm] + 3 [mm] \wurzel{\varepsilon} [/mm] |
wie funktioniert das?
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Hallo quasimo,
was sind deine Ansätze?
Du bist lange genug im Forum, um zu wissen, dass diese hier erwünscht sind!
> Man entscheide jeweils (Beweis oder Gegenbeispiel), ob
> [mm](a_n)[/mm] gegen
> Null konvergiert, falls es für jedes [mm]\varepsilon[/mm] > 0 ein
> [mm]N(\varepsilon)[/mm] gibt, sodass für alle n [mm]\ge N(\varepsilon)[/mm]
>
> a) [mm]|a_n^2[/mm] + [mm]2a_{n+1}|[/mm] < [mm]\varepsilon[/mm]
Dreiecksungleichung anwenden.
> b) [mm]|a_n|[/mm] < [mm]\varepsilon^2[/mm] + [mm]\varepsilon[/mm] + 3 [mm]\wurzel{\varepsilon}[/mm]
Was passiert mit der rechten Seite der Ungleichung, wenn [mm] \varepsilon [/mm] klein wird?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:32 Fr 18.11.2011 | | Autor: | fred97 |
Hinweis zu a):
Es gibt eine konstante Folge [mm] (a_n) [/mm] , die keine Nullfolge ist und für die gilt:
für jedes $ [mm] \varepsilon [/mm] $ > 0 gibt es ein $ [mm] N(\varepsilon) [/mm] $ sodass für alle n $ [mm] \ge N(\varepsilon) [/mm] $ gilt:
$ [mm] |a_n^2 [/mm] $ + $ [mm] 2a_{n+1}| [/mm] $ < $ [mm] \varepsilon [/mm] $
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:37 Fr 18.11.2011 | | Autor: | quasimo |
Dreiecksungleichung?
[mm] |a_n^2 [/mm] + [mm] 2a_{n+1}| \le |a_n^2| [/mm] + [mm] |2a_{n+1}|
[/mm]
?
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Hallo quasimo,
> Dreiecksungleichung?
> [mm]|a_n^2[/mm] + [mm]2a_{n+1}| \le |a_n^2|[/mm] + [mm]|2a_{n+1}|[/mm]
> ?
Ja.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:50 Fr 18.11.2011 | | Autor: | quasimo |
danke für die schnelle antwort. Aber was mache ich nun mit den ausdruck?
[mm] |a_n^2| [/mm] + [mm] |2a_{n+1}| [/mm] = [mm] a_n^2 [/mm] + 2 [mm] |a_{n+1}|
[/mm]
[mm] a_n^2 [/mm] ist ja sicher positiv.
2 kann man ja rausziehen .
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Hallo,
Die Dreiecksungleichung wird dir hier sicherlich nicht weiterhelfen (das war kein guter Tipp): Freds Beitrag hingegen schon, wenn du ihn einmal liest.
LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:01 Fr 18.11.2011 | | Autor: | quasimo |
Also komme ich mit der Dreiecksungleichung nicht weiter? War der Tipp nicht von dir????
Ja mit Freds beitrag kann ich nichts anfangen
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> Ja mit Freds beitrag kann ich nichts anfangen
Betrachte die konstante Folge [mm] a_n=-2.
[/mm]
Stimmt dann Aussage a ?
LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:11 Fr 18.11.2011 | | Autor: | quasimo |
wie kommst af [mm] a_n [/mm] = -2
Häh?
Jetzt verstehe ich nichts mehr.
Kannst du mir nicht sagen wie ich vorgehen muss?ein rechenweg?
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> wie kommst af [mm]a_n[/mm] = -2
Diese Folge ist offenbar keine Nullfolge, aber
> Häh?
>
> Jetzt verstehe ich nichts mehr.
> Kannst du mir nicht sagen wie ich vorgehen muss?ein
> rechenweg?
es ist für beliebiges [mm] \varepsilon>0:
[/mm]
[mm] |a_n^2+2a_{n+1}|=|(-2)^2+2(-2)|=0<\varepsilon,
[/mm]
dies gilt sogar für alle [mm] n\in\IN.
[/mm]
Das ist ein Widerspruch zu a).
LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:25 Fr 18.11.2011 | | Autor: | quasimo |
du setzt für [mm] a_n [/mm] und [mm] a_{n+1} [/mm] dass selbe ein?
also muss ich immer schau dass [mm] \varepsilon [/mm] <0 wird als gegenbeweiß?
[mm] |a_n| [/mm] < n * [mm] \varepsilon
[/mm]
[mm] \frac{|a_n|}{n} [/mm] < [mm] \varepsilon
[/mm]
[mm] a_n [/mm] =0
[mm] \frac{0}{n} [/mm] < [mm] \varepsilon
[/mm]
0 < [mm] \varepsilon [/mm]
???
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> du setzt für [mm]a_n[/mm] und [mm]a_{n+1}[/mm] dass selbe ein?
Ja, die Folge ist definiert als konstant -2 !
> also muss ich immer schau dass [mm]\varepsilon[/mm] 0 wird als
> gegenbeweißs?
?
>
> [mm]|a_n|[/mm] < n * [mm]\varepsilon[/mm]
> [mm]\frac{|a_n|}{n}[/mm] < [mm]\varepsilon[/mm]
>
> [mm]a_n[/mm] =0
> [mm]\frac{0}{n}[/mm] < [mm]\varepsilon[/mm] 0 < [mm]\varepsilon[/mm]
> ???
Das ergibt keinen Sinn.
Du hast doch ein Gegenbeispiel, die Folge [mm] a_n=-2 [/mm] ist keine Nullfolge und gemäß a) lässt sich für beliebiges [mm] \varepsilon>0 [/mm] ein [mm] N(\varepsilon)\in\IN [/mm] finden, so das $ [mm] |a_n^2 [/mm] $ + $ [mm] 2a_{n+1}|< \varepsilon [/mm] $ für [mm] n\geq N(\varepsilon). [/mm] Also folgt aus a) keineswegs, dass [mm] a_n [/mm] Nullfolge ist.
Denk mal drüber nach.
LG
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 14:39 Fr 18.11.2011 | | Autor: | quasimo |
und wie würdest du dann dan bsp
[mm] |a_n| [/mm] < n [mm] \varepsilon
[/mm]
lösen, wenn für dich mein ansatz kein sinn ergibt?
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion | | Datum: | 15:18 Fr 18.11.2011 | | Autor: | quasimo |
beim zweiten Beispiel
[mm] |a_n| [/mm] < n [mm] \varepsilon
[/mm]
z.B für [mm] |a_n| [/mm] = 2
2 < n [mm] \varepsilon
[/mm]
und für n kann ich ja jede natürliche zahl einsetzen.So mache ich [mm] \varepsilon [/mm] einfach kleiner bei höheren n. So ost es auch ein Widerspruch oder?
Da [mm] a_n [/mm] = 2 keine nullfolge ist
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:45 Fr 18.11.2011 | | Autor: | quasimo |
EGAL!
Hackerl
Hab es glaub ich
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