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| Aufgabe | Bestimmen Sie für die Potenzreihe
[mm] \summe_{}^{}2^{2n}(n+2)x^{n}
[/mm]
den Konvergenzradius, das Konvergenzverhalten (absolute, bedingte Konvergenz,divergent) in den Randpunkten des Konvergenzintervalls |
Sehr geehrte Damen und Herren,
also als Konvergenzintervall krieg ich rauß: [mm] (-\bruch{1}{2}, \bruch{1}{2})
[/mm]
Ist das Korrekt oder lieg da schon im Irrtum?
Angewandt habe ich das Quotientenkriterium.
Konvergiert die Reihe nun an den Randpunkten oder nicht?
Und der Was ist der genau Unterschied von absouluter und bedingter Konvergenz?
Ich hoffe ihr Könnt mir helfen
Mfg
Mbstudent
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Hallo Mbstudent,
> Bestimmen Sie für die Potenzreihe
>
> [mm]\summe_{}^{}2^{2n}(n+2)x^{n}[/mm]
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> den Konvergenzradius, das Konvergenzverhalten (absolute,
> bedingte Konvergenz,divergent) in den Randpunkten des
> Konvergenzintervalls
> Sehr geehrte Damen und Herren,
>
> also als Konvergenzintervall krieg ich rauß:
raus
> [mm](-\bruch{1}{2}, \bruch{1}{2})[/mm]
>
> Ist das Korrekt oder lieg da schon im Irrtum?
Ich denke, das stimmt nicht
> Angewandt habe ich das Quotientenkriterium.
Kann man machen, da kommt aber doch raus: Konvergenz für [mm]|x|<\frac{1}{4}[/mm] und nicht [mm]\frac{1}{2}[/mm]
Rechne das mal vor ...
>
> Konvergiert die Reihe nun an den Randpunkten oder nicht?
Dazu setze die Randpunkte [mm]x=\pm\frac{1}{4}[/mm] in die Reihe ein und schaue, ob sie konvergiert oder nicht ...
> Und der Was ist der genau Unterschied von absouluter und
> bedingter Konvergenz?
Eine Reihe [mm]\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_n[/mm] heißt absolut konvergent, wenn die Reihe der Beträge, also [mm]\sum\limits_{n=0}^{\infty}\red{|}a_n\red{|}[/mm] konvergent ist.
Bedingt konvergent heißt konvergent, aber nicht absolut konvergent.
> Ich hoffe ihr Könnt mir helfen
>
> Mfg
> Mbstudent
>
>
Gruß
schachuzipus
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Hi schachuzipus,
danke dir für deine Korrektur.
Also nach Anwendung des Quotientenkriteriums erhalte ich:
[mm] \left| \bruch{a_{k+1}}{a_{k}} \right| [/mm] = [mm] \bruch{2^{2(n+1)}(n+3)}{2^{2n}(n+2)}= \bruch{2^{2}(n+3)}{(n+2)}.......=2^{2}= [/mm] 4
Hier habe ich mich vertan. Du hast recht und danke nochmal.
Demzufolge ist der Konvergenzradius [mm] \pm \bruch{1}{4}.
[/mm]
hmm ja wenn ich die werte einsetze, kann ich damit nichts anfangen. Also :
[mm] \summe_{n=0}^{\infty}2^{2n}(n+2)\bruch{1}{4}^{n}=> \infty [/mm] ??
[mm] \summe_{n=0}^{\infty}2^{2n}(n+2)\bruch{-1}{4}^{n}
[/mm]
hmm und wie erkenn ich nun daran ob sie konvergiert oder nicht?
Mfg
Mbstudent
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Hallo nochmal,
bitte Fragen als Fragen stellen und nicht als Mitteilungen!
> Hi schachuzipus,
>
> danke dir für deine Korrektur.
>
> Also nach Anwendung des Quotientenkriteriums erhalte ich:
>
> [mm]\left| \bruch{a_{k+1}}{a_{k}} \right|[/mm] =
> [mm]\bruch{2^{2(n+1)}(n+3)}{2^{2n}(n+2)}= \bruch{2^{2}(n+3)}{(n+2)}.......=2^{2}=[/mm] 4 ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Hier habe ich mich vertan. Du hast recht und danke
> nochmal.
> Demzufolge ist der Konvergenzradius [mm]\pm \bruch{1}{4}.[/mm]
Edit:
Nein, der Konvergenzradius ist [mm] $\rho=\frac{1}{4}$, [/mm] das Konvergenzintervall (Konvergenzbereich) also das offene Intervall [mm](-1/4,1/4)[/mm]
Danke an Al Chwarizmi!
Edit Ende
>
> hmm ja wenn ich die werte einsetze, kann ich damit nichts
> anfangen. Also :
>
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty}2^{2n}(n+2)\bruch{1}{4}^{n}=> \infty[/mm]
Klammern setzen! [mm]...\left(\frac{1}{4}\right)^n[/mm]
Es ist [mm]2^{2n}(n+2)\left(1/4\right)^n=n+2[/mm]
Also bildet die Folge der Reihenglieder, also [mm](n+2)_{n\in\IN}[/mm] keine Nullfolge, daher kann die Reihe nicht konvergieren.
> ??
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty}2^{2n}(n+2)\bruch{-1}{4}^{n}[/mm]
Klammern!
[mm]\sum\limits_{n=0}^{\infty}2^{2n}(n+2)\left(-\frac{1}{4}\right)^n=\sum\limits_{n=0}^{\infty}(-1)^n\cdot{}(n+2)[/mm]
>
> hmm und wie erkenn ich nun daran ob sie konvergiert oder
> nicht?
Ist hier das Trivialkriterium erfüllt? Ist die Folge der Reihenglieder eine Nullfolge?
>
>
> Mfg
>
> Mbstudent
>
>
Gruß
schachuzipus
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> > Demzufolge ist der Konvergenzradius [mm]\pm \bruch{1}{4}.[/mm]
>
> Nein, der Konvergenzradius ist das offene Intervall
> [mm](-1/4,1/4)[/mm]
Hallo,
ich würde sagen:
der Konvergenzradius ist [mm] \frac{1}{4} [/mm] (positiv !)
der Konvergenzbereich ist das offene Intervall [mm]\left(-\,\frac{1}{4}\,,\,\frac{1}{4}\right)[/mm]
LG Al
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Hallo Al,
> > > Demzufolge ist der Konvergenzradius [mm]\pm \bruch{1}{4}.[/mm]
>
> >
> > Nein, der Konvergenzradius ist das offene Intervall
> > [mm](-1/4,1/4)[/mm]
>
>
> Hallo,
>
> ich würde sagen:
>
> der Konvergenzradius ist [mm]\frac{1}{4}[/mm] (positiv !)
>
> der Konvergenzbereich ist das offene Intervall
> [mm]\left(-\,\frac{1}{4}\,,\,\frac{1}{4}\right)[/mm]
Ja, genauso meinte ich das auch, habe es aber ganz ganz falsch geschrieben ...
Oh weh!
Danke für's Hingucken und Verbessern!
Ich editiere das direkt mal ...
>
> LG Al
>
Gruß zurück
schachuzipus
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> Bestimmen Sie für die Potenzreihe
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> [mm]\summe_{}^{}2^{2n}(n+2)x^{n}[/mm]
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> den Konvergenzradius, ......
Ich hätte da die Substitution $\ [mm] u:=4\,x$ [/mm] vorgeschlagen !
Dann ist $\ [mm] 2^{2\,n}*x^n\ [/mm] =\ [mm] u^n$
[/mm]
und man hat die Reihe [mm]\summe_{n=0}^{\infty}\,(n+2)*u^{n}[/mm]
Den Konvergenzradius für u muss man dann am Ende
natürlich in den Konvergenzradius für x umrechnen.
LG Al-Chw.
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