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| Aufgabe | Gegeben sind folgende Potenzreihen. Untersuche das Konvergenzverhalten am Rand ihres Konvergenzkreises:
z [mm] \in \IC
[/mm]
a) [mm] \summe_{i=1}^{\infty}z^{n}
[/mm]
b) [mm] \summe_{i=1}^{\infty} \bruch{z^{n}}{n}
[/mm]
c) [mm] \summe_{i=1}^{\infty}\bruch{z^{n}}{n^{2}} [/mm] |
Hallo,
a) Hier handelt es sich doch um die geometrische Reihe:
[mm] \summe_{i=1}^{\infty}z^{n} [/mm] = [mm] \summe_{i=0}^{\infty}z^{n}-z^{0}= \bruch{1}{1-z}-1 [/mm] = [mm] \bruch{z}{1-z}
[/mm]
Was muss ich jetzt genau untersuchen, um das Konvergenzverhalten am Rand des Konvergenzkreises zu bestimmen? Ich versteh nicht ganz, wie ich jetzt weitermachen soll. Ich denke, wenn z [mm] \in \IC [/mm] ist, dann muss doch |z| <1 sein für die geom. Reihe.
b) b) [mm] \summe_{i=1}^{\infty} \bruch{z^{n}}{n} [/mm] = ...(nach a))...= [mm] \bruch{1}{n}( \bruch{z}{1-z}) [/mm] = [mm] \bruch{z}{n(1-z)} [/mm] Stimmt das so?
c) Analog zu b) ergibt sich: [mm] \bruch{z}{n^{2}(1-z)}
[/mm]
Muss ich hier das Majoranten-oder Quotientenkriterium anwenden? Ich komm aber nicht auf eine geeignete Majorante. Kann mir da jemand helfen?
Danke!
milka
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:09 Fr 07.07.2006 | | Autor: | PeterB |
Hi milka,
Zunächst eine Bemerkung zum Sinn dieser Aufgabe:
Jede komplexe Potenzreihe um [mm] z_0 [/mm] hat einen eindeutigen Konvergenzradius, d.h. einen Radius r, s.d. die Potenzreihe für alle [mm] z [/mm] mit [mm] |z-z_0|r [/mm] nicht konvergiert. Um diesen Radius auszurechnen gibt es viele Kriterien, die man stur anwenden kann. Was die Konvergenz für [mm] |z-z_0|=r [/mm] betrifft, darüber hat man erst mal keine Aussage. Die Aufgabe soll zeigen, dass hier vieles möglich ist.
Nun zu deinen Aufgaben:
1) Du hast die holmorphe Funktion richtig bestimmt, und auch richtig geschlossen, dass der Konvergenzradius 1 ist. Dass heißt, du musst untersuchen, für welche z mit |z|=1 die Reihe [mm] \sum_n z^n [/mm] konvergiert. (Hinweis hierzu: Die Reihen zu welchen Folgen haben überhaupt nur eine Chance zu konvergieren?)
2),3)Hier hast du beim Bestimmen der holomorphen Funktionen leider übersehen, dass sich auch das [mm] \frac 1 n [/mm] bzw. das [mm] \frac 1 {n^2} [/mm] in jedem Summanden ändert. Aber Aufgabe ist es auch nicht die holomorphen Funktionen explizieter zu bestimmen, es reicht wenn du zunächst den Konvergenzradius ausrechnest (jeweils 1 warum?) und dann die Konvergenz auf dem Rand betrachtest.
Das sollte für 3) nicht so schwierig sein, für 2) muss man noch ein wenig arbeiten (kennst du spezielle Werte, für die dir das Konvergenzverhalten bekannt ist?).
Ich hoffe es ist Ok, dass ich nicht die ganze Lösung geschrieben habe, sondern in einigen Fällen nur Hinweise. Wenn du mit einigen Teilen Probleme hast, stell einfach Rückfragen.
Grüße
Peter
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Hallo Peter,
erstmal danke für deine ausführliche Antwort. Leider hab ich da und dort noch ein paar Fragen, weil mir noch einiges unklar ist.
Du hast geschrieben zur a):
"Du hast die holmorphe Funktion richtig bestimmt, und auch richtig geschlossen, dass der Konvergenzradius 1 ist. Dass heißt, du musst untersuchen, für welche z mit |z|=1 die Reihe konvergiert. (Hinweis hierzu: Die Reihen zu welchen Folgen haben überhaupt nur eine Chance zu konvergieren?) "
Ich kann mit deinem Hinweis nichts anfangen...  Wenn der Kovergenzradius 1 ist, muss z also Werte innerhalb der Einheitskreisscheibe annehmen. Handelt es sich dann für z um Brüche? Zum Beispiel wäre für alle Werte z < [mm] \bruch{1}{2} [/mm] dies erfüllt. Stimmt meine Vermutung? Oder lieg ich da falsch? Kannst du mir nochmal helfen?
Zu b) und c):
Bei [mm] \bruch{1}{n} [/mm] handelt es sich doch um die harmonische Reihe, die doch gegen [mm] \infty [/mm] konvergiert. Warum ist dann insgesamt der Konv.radius 1?
Dasselbe für c). Kann es sein, dass die Folgen monoton fallend sind? Denn wenn n immer größer wird, wird das z ja immer kleiner.
Danke für deine Hilfe!
milka
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:09 Sa 08.07.2006 | | Autor: | DocBorn |
Hi Milka,
ich kann dir erstmal den Wiki-Artikel http://de.wikipedia.org/wiki/Konvergenzradius ans Herz legen und vielleicht solltest du zusätzlich mal unter Konvergenzradius in deinem Buch nachsehen.
Alle deine Reihen haben wie schon gesagt Konvergenzradius 1 (genau diese Beispiele sind auch im wiki-Artikel angegeben :)). Das heißt für |z| < 1 konvergieren sie absolut und für |z| > 1 divergieren sie. Das einzige was noch nachzuprüfen ist, ist der Fall |z| = 1.
Naja und da würde ich sagen
a) da steht ja dann Summe über etwas mit Betrag 1, naja ist ja nichtmal ne Nullfolge, sollte also divergieren
b) im Zähler steht wieder was vom Betrag 1, die genaue Begründung müsste man sich jetzt noch überlegen aber der rest der da steht ist halt harmonische Reihe und die ist divergent
c) gleiche Argumentation nur bleibt halt jetzt [mm] 1/n^2 [/mm] in der Summe (abgesehen von der Zahl mit Betrag 1 im Zähler) und das konvergiert...
Lg Lars
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:16 Sa 08.07.2006 | | Autor: | PeterB |
Hallo milka,
ich möchte noch mal auf ein Paar Punkte aufmerksam machen:
1. Der Konvergenzradius bedeutet, dass du die z innerhalb einsetzen kannst, dann konvergiert die Reihe, wenn du die z außerhalb einsetzt, divergiert die Reihe und mehr sagt er nicht!
insbesondere sagt er
a) nichts über die Werte der Funktion aus und
b) nichts darüber aus ob die Reihe konvergiert, wenn du Werte auf dem Kreisrand einsetzt. (Genau das sollst du hier überprüfen!)
2.) Zu den Beispielen
a) Mein Hinweis war so gemeint wie DocBorn das geschrieben hat.
c) Die Reihe konvergiert absolut, das die Beträge jeweils [mm]\frac 1 {n^2} [/mm] sind.
b) Die Reihe divergiert für z=1 (harmonische Reihe) und konvergiert zum Beispiel für z=-1. (alternierende harmonische Reihe. Hier muss man für den allgemeinerren Fall wie bereits erwähnt etwas mehr arbeiten: Für alle z mit |z|=1 und [mm] z\neq 1 [/mm] divergiert die Reihe.
Den Beweis bekomme ich gerade nicht auf Anhieb hin, aber wenn du ihn brauchst stell noch mal eine Rückfrage, dann denke ich mal drüber nach.
Grüße
Peter
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:28 Sa 08.07.2006 | | Autor: | Milka_Kuh |
Hallo,
danke für eure Hilfe. Ich denk, ich komm jetzt allein zurecht. Den Beweis, dass es nicht für z=1 gilt, brauch ich -denke ich mal- nicht, da ich ja nur das Verhalten auf dem Rand untersuchen soll.
Gruß, milka
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:43 Sa 08.07.2006 | | Autor: | DocBorn |
z=1 ist der Rand. So hab ichs jetzt zumindest verstanden.
Lg Lars
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