Konvergenzradius allgemein < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:42 Mi 06.01.2010 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Ich wollte nur mal fragen, ob es immer legitim ist, statt der Cauchy-Hadamard-Formel das Wurzel- bzw. Quotientenkriterium zu verwenden.
z.B. bei [mm] \summe_{k=1}^{\infty}\bruch{3^k}{k}x^{3k}.
[/mm]
Da hier kein "reines" [mm] x^k [/mm] vorkommt, müsste ich erst damit rumargumentieren, dass die Folge vor dem x in dieser Reihe mal 0 und mal [mm] \bruch{3^k}{k} [/mm] ist.
Das wollte ich mir aber sparen und stattdessen sagen: Die Reihe kann höchstens konvergieren, falls [mm] \wurzel[k]{|\bruch{3^k}{k}x^{3k}|}=\bruch{3}{\wurzel[k]{k}}*|x^3|<1 [/mm] für k [mm] \to \infty.
[/mm]
Also [mm] |x|<\bruch{1}{\wurzel[3]3}. [/mm] Daher wäre hier [mm] \bruch{1}{\wurzel[3]3} [/mm] der Konvergenzradius.
Aber ist das auch mathematisch korrekt so? Oder sollte ich lieber den Weg mit der Cauchy-Hadamard-Formel gehen? Diese ist ja eigentlich auch nichts anderes als das Wurzelkriterium in grün, aber vielleicht übersehe ich ja etwas wichtiges.
Das einzige, was mich wirklich stören würde, ist das "Die Reihe kann höchstens konvergieren, falls...". Das ist noch etwas schwammig. Kann man das noch besser sagen?
![[anon]](/images/smileys/anon.png "[anon]") Teufel
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> Hi!
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> Ich wollte nur mal fragen, ob es immer legitim ist, statt
> der Cauchy-Hadamard-Formel das Wurzel- bzw.
> Quotientenkriterium zu verwenden.
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> z.B. bei [mm]\summe_{k=1}^{\infty}\bruch{3^k}{k}x^{3k}.[/mm]
mit [mm] z=x^3 [/mm] kannst du doch den radius nach cauchy-hadamard berechnen, am ende rücksubstitution und das schwammige entfällt. oder versteh ich dich falsch?
[mm] r_z=\frac{1}{\limsup\limits_{k\rightarrow\infty}\left(\sqrt[k]{|a_k|}\right)}
[/mm]
[mm] r_x=\sqrt[3]{r_z}...
[/mm]
>
> Da hier kein "reines" [mm]x^k[/mm] vorkommt, müsste ich erst damit
> rumargumentieren, dass die Folge vor dem x in dieser Reihe
> mal 0 und mal [mm]\bruch{3^k}{k}[/mm] ist.
> Das wollte ich mir aber sparen und stattdessen sagen: Die
> Reihe kann höchstens konvergieren, falls
> [mm]\wurzel[k]{|\bruch{3^k}{k}x^{3k}|}=\bruch{3}{\wurzel[k]{k}}*|x^3|<1[/mm]
> für k [mm]\to \infty.[/mm]
>
> Also [mm]|x|<\bruch{1}{\wurzel[3]3}.[/mm] Daher wäre hier
> [mm]\bruch{1}{\wurzel[3]3}[/mm] der Konvergenzradius.
>
> Aber ist das auch mathematisch korrekt so? Oder sollte ich
> lieber den Weg mit der Cauchy-Hadamard-Formel gehen? Diese
> ist ja eigentlich auch nichts anderes als das
> Wurzelkriterium in grün, aber vielleicht übersehe ich ja
> etwas wichtiges.
>
> Das einzige, was mich wirklich stören würde, ist das "Die
> Reihe kann höchstens konvergieren, falls...". Das ist noch
> etwas schwammig. Kann man das noch besser sagen?
>
> Teufel
gruß tee
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:35 Mi 06.01.2010 | | Autor: | fred97 |
> Hi!
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> Ich wollte nur mal fragen, ob es immer legitim ist, statt
> der Cauchy-Hadamard-Formel das Wurzel- bzw.
> Quotientenkriterium zu verwenden.
>
> z.B. bei [mm]\summe_{k=1}^{\infty}\bruch{3^k}{k}x^{3k}.[/mm]
>
> Da hier kein "reines" [mm]x^k[/mm] vorkommt, müsste ich erst damit
> rumargumentieren, dass die Folge vor dem x in dieser Reihe
> mal 0 und mal [mm]\bruch{3^k}{k}[/mm] ist.
> Das wollte ich mir aber sparen und stattdessen sagen: Die
> Reihe kann höchstens konvergieren, falls
> [mm]\wurzel[k]{|\bruch{3^k}{k}x^{3k}|}=\bruch{3}{\wurzel[k]{k}}*|x^3|<1[/mm]
> für k [mm]\to \infty.[/mm]
>
> Also [mm]|x|<\bruch{1}{\wurzel[3]3}.[/mm] Daher wäre hier
> [mm]\bruch{1}{\wurzel[3]3}[/mm] der Konvergenzradius.
>
> Aber ist das auch mathematisch korrekt so?
Das ist es
> Oder sollte ich
> lieber den Weg mit der Cauchy-Hadamard-Formel gehen? Diese
> ist ja eigentlich auch nichts anderes als das
> Wurzelkriterium in grün, aber vielleicht übersehe ich ja
> etwas wichtiges.
>
> Das einzige, was mich wirklich stören würde, ist das "Die
> Reihe kann höchstens konvergieren, falls...". Das ist noch
> etwas schwammig.
Da hast Du recht. Falls obiger Limes =1 ausfällt, kann die Reihe , muß aber nicht, konvergieren
FRED
> Kann man das noch besser sagen?
>
> Teufel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:13 Mi 06.01.2010 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Danke euch beiden. Das mit der Substitution wäre auch ganz gut.
Aber falls ich das nun mit dem Wurzelkriterium mache: Fällt euch da eine bessere Formulierung ein?
Also bevor ich anfange mit [mm] \overline{\limes_{k\rightarrow\infty}}\wurzel[k]{|\bruch{3^k}{k}x^{3k}|}<1 [/mm] muss ich ja noch irgendwie schreiben, wieso ich das tue, zumindest nehme ich das an.
Teufel
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:57 Mi 06.01.2010 | | Autor: | fred97 |
> Hi!
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> Danke euch beiden. Das mit der Substitution wäre auch ganz
> gut.
> Aber falls ich das nun mit dem Wurzelkriterium mache:
> Fällt euch da eine bessere Formulierung ein?
>
> Also bevor ich anfange mit
> [mm]\overline{\limes_{k\rightarrow\infty}}\wurzel[k]{|\bruch{3^k}{k}x^{3k}|}<1[/mm]
> muss ich ja noch irgendwie schreiben, wieso ich das tue,
Anwendung des Wurzelkriteriums
FRED
> zumindest nehme ich das an.
>
> Teufel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:47 Mi 06.01.2010 | | Autor: | Teufel |
Ok, danke!
Teufel
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