Konvergenzradius Potenzreihe < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:02 Mi 08.09.2010 | | Autor: | bOernY |
| Aufgabe | Gegeben ist: [mm] $f(x)=\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{x^n}{(n+1)n}$
[/mm]
a) Bestimmen Sie den Konvergenzradius der Potenzreihe.
b) Nach welchen Konvergenzkriterien ist die Reihe an den Randpunkten konvergent. |
Hallöchen zusammen!
Also die Aufgabe a bereitet mir eigentlich keine Problem. Wäre aber schön, wenn mal jemand drüber schauen könnte, ob das alles so in Ordnung ist.
[mm] $f(x)=\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{x^n}{(n+1)n}=\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{1}{(n+1)n}*x^n$
[/mm]
[mm] $a_n=\bruch{1}{(n+1)n}$
[/mm]
[mm] $r=\limes_{n\rightarrow\infty}\left| \bruch{a_n}{a_{n+1}} \right|$
[/mm]
[mm] $r=\limes_{n\rightarrow\infty}\left| \bruch{(n+2)*(n+1)}{(n+1)*n} \right|$
[/mm]
[mm] $r=\limes_{n\rightarrow\infty}\left| \bruch{n+2}{n} \right|=1$
[/mm]
Somit ist der Konvergenzradius $r=1$
Die Randpunkte sind: [mm] $x_1=-1$ [/mm] und [mm] $x_2=1$
[/mm]
So und jetzt wirds problematisch.
Ich soll ja die Konvergenz bzw. Divergenz an den Randpunkten des Konvergenzradius nachweisen.
Doch wie genau mache ich das?
Würde mich über jeden Tipp freuen.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:11 Mi 08.09.2010 | | Autor: | fred97 |
> Gegeben ist: [mm]f(x)=\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{x^n}{(n+1)n}[/mm]
> a) Bestimmen Sie den Konvergenzradius der Potenzreihe.
> b) Nach welchen Konvergenzkriterien ist die Reihe an den
> Randpunkten konvergent.
> Hallöchen zusammen!
>
> Also die Aufgabe a bereitet mir eigentlich keine Problem.
> Wäre aber schön, wenn mal jemand drüber schauen könnte,
> ob das alles so in Ordnung ist.
>
> [mm]f(x)=\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{x^n}{(n+1)n}=\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{1}{(n+1)n}*x^n[/mm]
> [mm]a_n=\bruch{1}{(n+1)n}[/mm]
> [mm]r=\limes_{n\rightarrow\infty}\left| \bruch{a_n}{a_{n+1}} \right|[/mm]
>
> [mm]r=\limes_{n\rightarrow\infty}\left| \bruch{(n+2)*(n+1)}{(n+1)*n} \right|[/mm]
>
> [mm]r=\limes_{n\rightarrow\infty}\left| \bruch{n+2}{n} \right|=1[/mm]
>
> Somit ist der Konvergenzradius [mm]r=1[/mm]
O.K.
>
> Die Randpunkte sind: [mm]x_1=-1[/mm] und [mm]x_2=1[/mm]
>
> So und jetzt wirds problematisch.
> Ich soll ja die Konvergenz bzw. Divergenz an den
> Randpunkten des Konvergenzradius nachweisen.
> Doch wie genau mache ich das?
Für x=1 erhälst Du die Rehe [mm] \summe_{n=1}^{\infty}c_n, [/mm] wobei [mm] c_n [/mm] = [mm] \bruch{1}{n^2+n}
[/mm]
und für x=-1 erhälst Du die Rehe [mm] \summe_{n=1}^{\infty}d_n, [/mm] wobei [mm] d_n [/mm] = [mm] \bruch{(-1)^n}{n^2+n}
[/mm]
Nun ist [mm] $|c_n| \le 1/n^2$ [/mm] und [mm] $|d_n| \le 1/n^2$
[/mm]
Hilft das ?
FRED
> Würde mich über jeden Tipp freuen.
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:46 Mi 08.09.2010 | | Autor: | bOernY |
Ah, Stichwort Majoranten-/Minoratenkriterium!
Also bezogen auf den Randpunkt [mm] $x_1=1$ [/mm] betrachte ich die Reihe $ [mm] \summe_{n=1}^{\infty}c_n, [/mm] $ wobei $ [mm] c_n [/mm] $ = $ [mm] \bruch{1}{n^2+n} [/mm] $
Als Vergleichsreihe nehme ich die konvergente Reihe $ [mm] \summe_{n=1}^{\infty}z_n, [/mm] $ wobei $ [mm] z_n [/mm] $ = $ [mm] \bruch{1}{n^2} [/mm] $
Nun vergleiche ich die einzelnen Glieder der beiden Reihen.
Man stellt fest, dass [mm] $c_n\le z_n$ [/mm] für alle $ [mm] n\in\IN [/mm] $
Das gleiche mache ich jetzt mit dem zweiten Randpunkt [mm] $x_2=-1$.
[/mm]
$ [mm] \summe_{n=1}^{\infty}d_n, [/mm] $ wobei $ [mm] d_n [/mm] $ = $ [mm] \bruch{(-1)^n}{n^2+n} [/mm] $
Es handelt sich hier um fast die gleiche Reihe, wie beim Randpunkt [mm] $x_1=1$, [/mm] nur dass in diesem Fall die Reihe alterniert.
Somit kann ich wieder die gleiche Vergleichsreihe [mm] $z_n$ [/mm] verwenden und komme auf:
[mm] $d_n\le z_n$ [/mm] für alle $ [mm] n\in\IN [/mm] $
Es ist also in beiden Randpunkten [mm] $x_1$ [/mm] und [mm] $x_2$ [/mm] eine Konvergenz vorhanden.
Somit konvergiert die Potenzreihe $ [mm] f(x)=\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{x^n}{(n+1)n} [/mm] $ im Intervall von $-1 [mm] \le [/mm] x [mm] \le [/mm] 1$
Ist das so richtig?
Danke und liebe Grüße
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:39 Mi 08.09.2010 | | Autor: | fred97 |
> Ah, Stichwort Majoranten-/Minoratenkriterium!
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> Also bezogen auf den Randpunkt [mm]x_1=1[/mm] betrachte ich die
> Reihe [mm]\summe_{n=1}^{\infty}c_n,[/mm] wobei [mm]c_n[/mm] =
> [mm]\bruch{1}{n^2+n}[/mm]
>
> Als Vergleichsreihe nehme ich die konvergente Reihe
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty}z_n,[/mm] wobei [mm]z_n[/mm] = [mm]\bruch{1}{n^2}[/mm]
>
> Nun vergleiche ich die einzelnen Glieder der beiden
> Reihen.
> Man stellt fest, dass [mm]c_n\le z_n[/mm] für alle [mm]n\in\IN[/mm]
>
> Das gleiche mache ich jetzt mit dem zweiten Randpunkt
> [mm]x_2=-1[/mm].
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty}d_n,[/mm] wobei [mm]d_n[/mm] =
> [mm]\bruch{(-1)^n}{n^2+n}[/mm]
> Es handelt sich hier um fast die gleiche Reihe, wie beim
> Randpunkt [mm]x_1=1[/mm], nur dass in diesem Fall die Reihe
> alterniert.
> Somit kann ich wieder die gleiche Vergleichsreihe [mm]z_n[/mm]
> verwenden und komme auf:
>
> [mm]d_n\le z_n[/mm] für alle [mm]n\in\IN[/mm]
So stimmt das nicht.
Es ist [mm] $|d_n| \le z_n$, [/mm] also ist $ [mm] \summe_{n=1}^{\infty}d_n, [/mm] $ absolut konvergent und somit auch konvergent.
Beispiel: Es ist -2 [mm] \le z_n [/mm] für jedes n, aber $ [mm] \summe_{n=1}^{\infty}(-2), [/mm] $ ist divergent
FRED
>
> Es ist also in beiden Randpunkten [mm]x_1[/mm] und [mm]x_2[/mm] eine
> Konvergenz vorhanden.
>
> Somit konvergiert die Potenzreihe
> [mm]f(x)=\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{x^n}{(n+1)n}[/mm] im Intervall
> von [mm]-1 \le x \le 1[/mm]
>
> Ist das so richtig?
> Danke und liebe Grüße
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