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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:23 Fr 12.04.2013 | | Autor: | Xotac |
| Aufgabe | | Bestimmen sie den Konvergenzradius [mm] \summe_{k=0}^{\infty} n!(x+1)^{n}. [/mm] |
Hallo Forum :),
ich habe ein Problem mit der folgenden Frage :
Ich soll den Konvergenzradius dieser Folge bestimmen.
[mm] \summe_{k=0}^{\infty} n!(x+1)^{n}.
[/mm]
Um davon den KR zu bestimmen, muss ich doch zuerst ak bestimmen, dafür muss ich das x "isolieren". Doch genau das ist mein Problem, wie bekomme ich das x aus diesem Term ?
mfg Xotac
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Hallo Xotac,
> Bestimmen sie den Konvergenzradius [mm]\summe_{k=0}^{\infty} n!(x+1)^{n}.[/mm]
>
> Hallo Forum :),
>
> ich habe ein Problem mit der folgenden Frage :
>
> Ich soll den Konvergenzradius dieser Folge bestimmen.
>
> [mm]\summe_{k=0}^{\infty} n!(x+1)^{n}.[/mm]
>
> Um davon den KR zu bestimmen, muss ich doch zuerst ak
> bestimmen, dafür muss ich das x "isolieren". Doch genau
> das ist mein Problem, wie bekomme ich das x aus diesem Term
> ?
>
Das "x" musst Du gar nicht isolieren.
Du hast Koeffizienten der Form
[mm]a_{n}=n![/mm]
Mit Hilfe dieser Koeffizienten berechnest Du den Konvergenzradius.
Ist der Konvergenzradius r, dann konvergiert die Reihe für
[mm]\vmat{x+1}
> mfg Xotac
Gruss
MathePower
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:02 Fr 12.04.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Bestimmen sie den Konvergenzradius [mm]\summe_{k=0}^{\infty} n!(x+1)^{n}.[/mm]
>
> Hallo Forum :),
>
> ich habe ein Problem mit der folgenden Frage :
>
> Ich soll den Konvergenzradius dieser Folge
Du meinst: Reihe - besser: Potenzreihe!
> bestimmen.
>
> [mm]\summe_{\red{k}=0}^{\infty} n!(x+1)^{n}.[/mm]
Das wäre langweilig für $k [mm] \not=n\,.$ [/mm] Achte bitte auf den Laufindex!
> Um davon den KR zu bestimmen, muss ich doch zuerst ak
> bestimmen, dafür muss ich das x "isolieren".
??
Potenzreihen sehen so aus:
[mm] $$\sum_{n=0} a_n *(x-x_0)^n\,.$$
[/mm]
Ist [mm] $R\,$ [/mm] ihr Konvergenzradius, berechnet durch [mm] $R=\frac{1}{\limsup_{n \to \infty}\sqrt[n]{|a_n|}}\,,$ [/mm]
(hier Konvention: [mm] $1/0:=\infty$ [/mm] und [mm] $1/\infty:=0$) [/mm] so konvergiert diese Reihe für alle
[mm] $x\,$ [/mm] mit [mm] $|x-x_0| [/mm] < R$ und divergiert für alle [mm] $x\,$ [/mm] mit [mm] $|x-x_0| [/mm] > [mm] R\,.$
[/mm]
Warnung: Im Falle, dass [mm] $x\,$ [/mm] die Gleichung [mm] $|x-x_0|=R$ [/mm] erfüllt, ist so i.a. KEINE
Konvergenzaussage möglich (jedenfalls nicht ohne weitere Überlegungen!)!
Mach' Dir mal klar, dass man somit sagen kann: "Die Potenzreihe konvergiert
für alle [mm] $x\,,$ [/mm] die im offenen Ball mit Mittelpunkt [mm] $x_0$ [/mm] und Radius [mm] $R\,$ [/mm] liegen,
und sie divergiert für alle [mm] $x\,,$ [/mm] die außerhalb des abgeschlossenen Balls
mit Mittelpunkt [mm] $x_0$ [/mm] und Radius [mm] $R\,$ [/mm] liegen.
(Warnung: Liegt [mm] $x\,$ [/mm] auf dem Rand des Balls mit Mittelpunkt [mm] $x_0$ [/mm] und Radius [mm] $R\,,$ [/mm] so ist
i.a. so keine Aussage über das Konvergenzverhalten der Reihe möglich!)
> Doch genau
> das ist mein Problem, wie bekomme ich das x aus diesem Term
Na, das brauchst Du nicht. Aber hilfreich ist hier folgender Hinweis: Unter
gewissen Voraussetzungen kannst Du auch
[mm] $$R=\frac{1}{\lim_{n \to \infty} |a_{n+1}/a_n|}$$
[/mm]
berechnen! (Genaueres: Lies etwa ![[]](/images/popup.gif) hier (klick!).)
Und nochmal generell zu Potenzreihen: Kapitel 16 (klick!)
P.S. Bei Dir oben ist der Mittelpunkt [mm] $x_0=-1$; [/mm] beachte: [mm] $(x+1)=(x-(-1))\,.$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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