Konvergenzradius < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:47 Fr 18.06.2010 | | Autor: | Mimuu |
| Aufgabe | Für welche x [mm] \in\IR [/mm] konvergiert die Potenzreihe?
[mm] \summe_{k=1}^{\infty}\bruch{3^{k}+(-2)^{k}}{k}(x-1)^{k} [/mm] |
Ich habe versucht das Quotientenkriterium anzuwenden. Aber das klappt nicht ganz weil ich dann sowohl im Nenner als auch im Zähler Summen habe, welche ich ja nicht kürzen kann.
Kann mir vielleicht sagen, wie es einfacher geht? Danke.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:57 Fr 18.06.2010 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Für welche x [mm]\in\IR[/mm] konvergiert die Potenzreihe?
>
> [mm]\summe_{k=1}^{\infty}\bruch{3^{k}+(-2)^{k}}{k}(x-1)^{k}[/mm]
> Ich habe versucht das Quotientenkriterium anzuwenden. Aber
> das klappt nicht ganz weil ich dann sowohl im Nenner als
> auch im Zähler Summen habe, welche ich ja nicht kürzen
> kann.
>
> Kann mir vielleicht sagen, wie es einfacher geht? Danke.
mit [mm] $a_0:=0=:b_0$ [/mm] und [mm] $a_k:=\bruch{3^{k}}{k},\;b_k:=\bruch{(-2)^{k}}{k}$ [/mm] ($k [mm] \in \IN=\IN_{\ge 1}$) [/mm] gilt
[mm] $$\summe_{k=1}^{\infty}\bruch{3^{k}+(-2)^{k}}{k}(x-1)^{k}=\sum_{k=0}^\infty (a_k+b_k)(x-1)^k\,.$$
[/mm]
Nun betrachte die (Potenz-)Reihen [mm] $\sum_{k=0}^\infty a_k (x-1)^k$ [/mm] und [mm] $\sum_{k=0}^\infty b_k (x-1)^k$:
[/mm]
Entweder verwende das Wurzelkriterium, oder aber direkt Cauchy-Hadamard (was eigentlich auch nur das W-Kriterium angewendet auf eine Potenzreihe ist), um den jeweiligen Konvergenzradius dieser Potenzreihen (sei [mm] $R_t$ [/mm] der Konvergenzradius von [mm] $\sum_{k=0}^\infty t_k (x-1)^k$ [/mm] mit $t [mm] \in \{a,b\}$) [/mm] zu
[mm] $$R_a=\frac{1}{\limsup_{k \to \infty}\sqrt[k]{|a_k|}}\underset{hier}{=}\frac{1}{\lim_{k \to \infty}\sqrt[k]{a_k}}$$
[/mm]
und
[mm] $$R_b=\frac{1}{\limsup_{k \to \infty}\sqrt[k]{|b_k|}}\underset{hier}{=}\frac{1}{\lim_{k \to \infty}\sqrt[k]{|b_k|}}$$
[/mm]
zu berechnen.
Beachte dabei, dass oben jeweils [mm] $\lim=\limsup$ [/mm] wegen der Existenz des [mm] $\lim$ [/mm] geschrieben werden kann.
Wenn Du nun hier weiterliest und das analog auf Deine Aufgabe überträgst, hast Du sicher eine Idee, wie es weitergeht.
P.S.:
Ergebnisse zur Kontrolle:
Wegen [mm] $R_a=1/3$ [/mm] und [mm] $R_b=1/2 \not= [/mm] 1/3$
konvergiert Deine Ausgangsreihe jedenfalls für alle [mm] $x\,$ [/mm] mit $|x-1| < [mm] 1/3=\text{min}\{1/3,\;1/2\}\,,$ [/mm]
und
sie divergiert für alle [mm] $x\,$ [/mm] mit $|x-1| > [mm] 1/3\,.$ [/mm] Für [mm] $|x-1|=1/3\,$ [/mm] muss nochmal gesondert auf Konvergenz oder Divergenz untersucht werden, und weil hier $x [mm] \in \IR$ [/mm] ist, sind das nur zwei Sonderfälle, die Du nochmal getrennt untersuchen musst.
Alternativ:
Es gilt für jedes $k [mm] \in \IN,$ [/mm] dass
[mm] $$3^k+(-2)^k \le 3^k+3^k=2*3^k\,,$$
[/mm]
so dass wegen [mm] $\sqrt[k]{2} \to [/mm] 1$ nun [mm] $\limsup_{k \to \infty}\sqrt[k]{3^k+(-2)^k} \le [/mm] 3$ ist.
Ferner gilt aber auch, dass
[mm] $$\limsup_{k \to \infty}\sqrt[k]{3^k+(-2)^k} \ge \limsup_{n \to \infty}\sqrt[2n]{3^{2n}+(-2)^{2n}} \ge \limsup_{n \to \infty} \sqrt[2n]{3^{2n}}=3$$
[/mm]
ist, also insgesamt
$$3 [mm] \le \limsup_{k \to \infty} \sqrt[k]{3^k+(-2)^k}\le [/mm] 3$$
bzw.
[mm] $$\limsup_{k \to \infty} \sqrt[k]{3^k+(-2)^k}=3\,.$$
[/mm]
Nach dem W-Kriterium gilt somit, dass man für
[mm] $$\summe_{k=1}^{\infty}\bruch{3^{k}+(-2)^{k}}{k}(x-1)^{k}$$
[/mm]
im Falle, dass
[mm] $$\limsup_{k \to \infty} \sqrt[k]{\left|\frac{(3^k+(-2)^k)*(x-1)^k}{k}\right|}=\limsup_{k \to \infty} \sqrt[k]{\left|3^k+(-2)^k\right|}*\lim_{k \to \infty}\sqrt[k]{\frac{|x-1|^k}{k}}=3*|x-1| [/mm] < 1$$
ist, die Konvergenz, und im Falle, dass
[mm] $$\limsup_{k \to \infty} \sqrt[k]{\left|\frac{(3^k+(-2)^k)*(x-1)^k}{k}\right|}=\limsup_{k \to \infty} \sqrt[k]{\left|3^k+(-2)^k\right|}*\lim_{k \to \infty}\sqrt[k]{\frac{|x-1|^k}{k}}=3*|x-1| [/mm] > 1$$
ist, die Divergenz der Reihe ersehen kann.
Fazit:
Für $|x-1| < [mm] 1/3\,$ [/mm] Konvergenz, für $|x-1| [mm] \,> [/mm] 1/3$ Divergenz.
Gesondert zu prüfen bleiben noch die Fälle [mm] $|x-1|=1/3\,,$ [/mm] also $x [mm] \in \{2/3,\;4/3\}\,.$ [/mm]
Zu beachten ist hierbei, dass gilt
[mm] $$|x-1|=\frac{|x-1|}{1}=\frac{\lim\limits_{k \to \infty}\sqrt[k]{|x-1|^k}}{\lim\limits_{k \to \infty}\sqrt[k]{k}}=\frac{\lim\limits_{k \to \infty}\sqrt[k]{|(x-1)^k|}}{\lim\limits_{k \to \infty}\sqrt[k]{k}}=\lim_{k \to \infty}\frac{\sqrt[k]{|(x-1)^k|}}{\sqrt[k]{k}}=\lim_{k \to \infty}\sqrt[k]{\left|\frac{(x-1)^k}{k}\right|}\,.$$
[/mm]
Beste Grüße,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:25 Fr 18.06.2010 | | Autor: | Mimuu |
Wow. Vielen dank für die ausführliche Lösung. Ist echt super:) habe die Aufgabe jetzt voll verstanden.
ich habe sich auch nocheinmal komplett nachgerechnet. und komme zu den ergebnissen an den grenzen:
bei x=2/3 und bei x=4/3 divergiert die reihe da jeweils keine nullfolge gegeben ist.
stimmt dies so?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:02 Fr 18.06.2010 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Wow. Vielen dank für die ausführliche Lösung. Ist echt
> super:) habe die Aufgabe jetzt voll verstanden.
>
> ich habe sich auch nocheinmal komplett nachgerechnet. und
> komme zu den ergebnissen an den grenzen:
>
> bei x=2/3 und bei x=4/3 divergiert die reihe da jeweils
> keine nullfolge gegeben ist.
> stimmt dies so?
schauen wir es uns nochmal an:
Für [mm] $x=4/3\,$ [/mm] gilt
$$0 [mm] \le \bruch{3^{k}+(-2)^{k}}{k}\left(\frac{4}{3}-1\right)^{k}=\underbrace{\left(\underbrace{\frac{3^k}{3^k}}_{=1}+\left(\frac{-2}{3}\right)^k\right)}_{\le 2}*\frac{1}{k} \to 0\,.$$
[/mm]
Für [mm] $x=2/3\,$ [/mm] nun
$$0 [mm] \le \bruch{3^{k}+(-2)^{k}}{k}\left(\frac{2}{3}-1\right)^{k}=\bruch{3^{k}+(-2)^{k}}{k}*\left(-\frac{1}{3}\right)^k=(-1)^k*\bruch{3^{k}+(-2)^{k}}{k}\left(\frac{1}{3}\right)^{k}\,.$$
[/mm]
Weil wir schon [mm] $\bruch{3^{k}+(-2)^{k}}{k}\left(\frac{1}{3}\right)^{k} \to [/mm] 0$ oben gesehen haben, hilft uns bei [mm] $x=2/3\,$ [/mm] vielleicht Leibniz, wenn wir noch zeigen können, dass
[mm] $$\left(\bruch{3^{k}+(-2)^{k}}{k}\left(\frac{1}{3}\right)^{k}\right)_{k}$$
[/mm]
monoton fällt.
Dass
[mm] $$\sum_{k=1}^\infty \bruch{3^{k}+(-2)^{k}}{k}\left(\frac{4}{3}-1\right)^{k}$$
[/mm]
jedoch in der Tat divergiert, erkennt man z.B. analog zu hier [mm] ($\leftarrow$ klick it!).
Denn es gilt
$$\frac{\blue{\overbrace{\bruch{3^{k}+(-2)^{k}}{k}\left(\frac{1}{3}\right)^{k}}^{> 0 }}}{\green{\underbrace{1/k}_{> 0}}}=\frac{3^k}{3^k}+\frac{(-2)^k}{3^k}=1+\left(\frac{-2}{3}\right)^k \to 1+0=1 > 0,$$
so dass (nach dem dort zitierten Satz aus dem Heuser) die Reihe
$$\sum_{k=1}^\infty \bruch{3^{k}+(-2)^{k}}{k}\left(\frac{4}{3}-1\right)^{k}$$
das gleiche Konvergenzverhalten wie die Reihe
$$\sum_{k=1}^\infty 1/k$$
hat.
Beste Grüße,
Marcel
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:06 Fr 18.06.2010 | | Autor: | Mimuu |
Vielen Dank. Jetzt habe ich meinen Fehler gesehen.
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