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| Aufgabe | Bestimmen Sie jeweils den Konvergenzradius der Potenzreihe [mm] $\summe_{k=0}^{\infty}a_{k}x^{k}$ [/mm] im Fall
(c) [mm] $a_{k}:=k^{k}$ [/mm] |
Hallo.
Diese Aufgabe wurde mit dem Quotientenkriterium und mit dem Wurzelkriterium gelöst. Ich habe eine Frage nur zum Quotientenkriterium.
In der Formelsammlung steht:
[mm] $\limes_{v\rightarrow\infty}\left( 1+\bruch{1}{v} \right)^{v}=e=2,71828...$
[/mm]
Ich sehe das so, dass unten diese Situation gegeben ist und würde deshalb so argumentieren:
(...) [mm] $e*(k+1)\xrightarrow[k\to\infty]{}\infty\$ [/mm] (...)
Meine Frage:
Ist mein Weg korrekt, oder gilt tatsächlich nur der Weg, wie er in der Musterlösung steht?
Vielen Dank.
Quotientenkriterium:
[mm] $\left| \bruch{a_{k+1}}{a_{k}} \right|=\bruch{(k+1)^{k+1}}{k^{k}}=\bruch{(k+1)^{k}}{k^{k}}*(k+1)=\left( \bruch{k+1}{k} \right)^{k}*(k+1)=\left( 1+\bruch{1}{k} \right)^{k}*(k+1)\ge2*(k+1)\xrightarrow[k\to\infty]{}\infty$ [/mm] (da [mm] $3>\left( 1+\bruch{1}{k} \right)^{k}\ge2$)
[/mm]
[mm] $\Rightarrow \left| \bruch{a_{k+1}}{a_{k}} \right|\xrightarrow[k\to\infty]{}\infty\Rightarrow [/mm] R=0$
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Danke Loddar.
Nur damit ich mir wirklich sicher bin, ob ich es verstanden habe:
Weil $(k+1)$ keinen Grenzwert besitzt ist der genannte Grenzwertsatz nicht anwendbar?
Gruß
el_grecco
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Hallo el_grecco,
> Danke Loddar.
>
> Nur damit ich mir wirklich sicher bin, ob ich es verstanden
> habe:
> Weil [mm](k+1)[/mm] keinen Grenzwert besitzt ist der genannte
> Grenzwertsatz nicht anwendbar?
Das hast Du richtig verstanden.
>
> Gruß
> el_grecco
>
Gruss
MathePower
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Grenzwertsatz