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Hallo zusammen
Möchte den Konvergenzradius folgender Reihe berechnen:
[mm] \summe_{k=0}^{\infty} \bruch{(-\bruch{1}{x^2})^k}{k!}
[/mm]
Nun möchte ich wissen, ob ich es so lösen kann:
Setze [mm] t=\bruch{1}{x^2} \gdw x=\pm \wurzel{\bruch{1}{t}}
[/mm]
So dann erhalte ich ja:
[mm] \summe_{k=0}^{\infty} \bruch{(-t)^k}{k!} [/mm] = [mm] \summe_{k=0}^{\infty} \bruch{(-1)^kt^k}{k!}
[/mm]
Also [mm] a_k=\bruch{(-1)^k}{k!}
[/mm]
[mm] \limes_{k\rightarrow\infty} |\bruch{(-1)^k}{k!} [/mm] * [mm] \bruch{(k+1)!}{(-1)^{k+1}}| [/mm] = [mm] \limes_{k\rightarrow\infty} \bruch{(k+1)*k!}{k!} [/mm] = [mm] \limes_{k\rightarrow\infty} [/mm] k+1 = [mm] \infty
[/mm]
Nun muss ich die Substitution wieder rückgängig machen:
[mm] x=\pm \wurzel{\bruch{1}{t}} [/mm] = [mm] \pm \wurzel{\bruch{1}{\infty}} [/mm] = 0
Somit divergiert die Reihe für alle x [mm] \in \IR.
[/mm]
Stimmt das so?
Vielen Dank für eure Hilfe!
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Hallo,
> Hallo zusammen
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> Möchte den Konvergenzradius folgender Reihe berechnen:
> [mm]\summe_{k=0}^{\infty} \bruch{(-\bruch{1}{x^2})^k}{k!}[/mm]
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> Nun möchte ich wissen, ob ich es so lösen kann:
> Setze [mm]t=\bruch{1}{x^2} \gdw x=\pm \wurzel{\bruch{1}{t}}[/mm]
>
> So dann erhalte ich ja:
> [mm]\summe_{k=0}^{\infty} \bruch{(-t)^k}{k!}[/mm] =
> [mm]\summe_{k=0}^{\infty} \bruch{(-1)^kt^k}{k!}[/mm]
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> Also [mm]a_k=\bruch{(-1)^k}{k!}[/mm]
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> [mm]\limes_{k\rightarrow\infty} |\bruch{(-1)^k}{k!}[/mm] *
> [mm]\bruch{(k+1)!}{(-1)^{k+1}}|[/mm] = [mm]\limes_{k\rightarrow\infty} \bruch{(k+1)*k!}{k!}[/mm]
> = [mm]\limes_{k\rightarrow\infty}[/mm] k+1 = [mm]\infty[/mm]
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> Nun muss ich die Substitution wieder rückgängig machen:
> [mm]x=\pm \wurzel{\bruch{1}{t}}[/mm] = [mm]\pm \wurzel{\bruch{1}{\infty}}[/mm]
> = 0
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> Somit divergiert die Reihe für alle x [mm]\in \IR.[/mm]
>
> Stimmt das so?
Das kann ja nun ganz offensichtlich nicht sein, denn nach Leibniz konvergiert die obige Reihe für jedes [mm] x\ne{0} [/mm] (man kann sogar direkt den Grenzert [mm] e^{-1/x^2} [/mm] angeben!). Dein Fehler liegt m.A. nach hier schon in der Substitution, denn du entwickelst um [mm] t_0=0 [/mm] und für diesen Wert ist die Reihe überhaupt nicht definiert.
Ganz sicher, welche Möglichkeiten man hier außer Leibniz bzw. der Potenzreihe der e-Funktion hat, bin ich nicht und stelle daher auf 'teilweise beantwortet'.
Gruß, Diophant
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:44 Mo 24.02.2014 | | Autor: | fred97 |
Setze [mm] a_k:= \bruch{(-\bruch{1}{x^2})^k}{k!} [/mm] (x [mm] \ne [/mm] 0) und lasse auf die Reihe
[mm] \summe_{k=0}^{\infty}a_k [/mm] das Quotientenkriterium los.
FRED
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