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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:10 Do 09.12.2010 | | Autor: | SolRakt |
| Aufgabe | a) [mm] \summe_{n=0}^{\infty}(1 [/mm] + [mm] \bruch{1}{n})^{n^{2}} x^{n}
[/mm]
b) [mm] $\summe_{n=0}^{\infty} \vektor{n+k \\k} x^{n}$ [/mm] |
Hallo.
Es sollen die Konvergenzradien der oben genannten Potenzreihen bestimmt werden.
Ich hab das bei der a mithilfe von Cauchy-Hadamard gemacht:
Also folgende Regel( für n gegen [mm] \infty)
[/mm]
[mm] \bruch{1}{limsup \wurzel[n]{|a_{n}|}}
[/mm]
Ähm, dann müsste 1/e rauskommen oder?
Muss man den Rand des Konvergenzkreises auch noch untersuchen? Also bei einer solchen Aufgabenstellung? Wenn ja, wie würde man sowas machen?
Bei der b würde ich auch wieder das Kriterium anwenden, aber finde da irgendwie keinen Ansatz. Kann mir da jemand helfen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:19 Do 09.12.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
a) ist richtig. wenn nur nach den radius gefragt ist und nicht für welche x konv .. dan musst du den Rand nicht untersuchen.
b) Quotientenkriterium, das Wurzelkr. ist hier denk ich ungeeignet.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:25 Do 09.12.2010 | | Autor: | SolRakt |
Gut. Dann bin schonmal froh dass die a stimmt ;)
Wegen der b. Also, Quotientenkriterium würde so aussehen:
[mm] \bruch{\vektor{n+k+1 \\ k+1}}{\vektor{n+k\\k}} [/mm] Und wie kann das jetzt vereinfachen? Ich habs nicht so mit diesen Binomialkoeffizienten xD Es gab doch diese Regel von Pascal. Würde das gehn?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:32 Do 09.12.2010 | | Autor: | fred97 |
> Gut. Dann bin schonmal froh dass die a stimmt ;)
>
> Wegen der b. Also, Quotientenkriterium würde so aussehen:
>
> [mm]\bruch{\vektor{n+k+1 \\ k+1}}{\vektor{n+k\\k}}[/mm] Und wie kann
> das jetzt vereinfachen?
Mit [mm] \vektor{n \\ k}= \bruch{n!}{k!*(n-k)!}. [/mm] Dann kannst Du oben ganz doll kürzen
FRED
> Ich habs nicht so mit diesen
> Binomialkoeffizienten xD Es gab doch diese Regel von
> Pascal. Würde das gehn?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:40 Do 09.12.2010 | | Autor: | SolRakt |
Steht da dann erstmal
[mm] \bruch{\bruch{(n+k+1)!}{ (k+1)!(n-k+1)!}}{\bruch{(n+k)!}{(k!(n-k)!}}
[/mm]
Ich frag nur zur Sichrheit, um zu sehen, ob ich diese Umformung richtig mache. Stimmt das so?
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Hallo SolRakt,
> Steht da dann erstmal
>
> [mm]\bruch{\bruch{(n+k+1)!}{ (k+1)!(n-k+1)!}}{\bruch{(n+k)!}{(k!(n-k)!}}[/mm]
Fast richtig, aber wieso steht im Nenner des oberen Bruchs [mm](k+1)![/mm] ?
>
> Ich frag nur zur Sichrheit, um zu sehen, ob ich diese
> Umformung richtig mache. Stimmt das so?
Weitgehend, aber was ist mit den "x'en" ?
Wenn du das "normale" QK benutzt, solltest du das [mm]x^n[/mm] mit einbeziehen.
Ansonsten verwende die bekannten Kriterien für Potenzreihen, denn dies sind ja welche.
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:56 Do 09.12.2010 | | Autor: | SolRakt |
Worauf möchtest du hinaus? Gibt es nicht dieses Kriterium:
[mm] |\bruch{a_{n}}{a_{n+1}}| [/mm] für Potenzreihen?
Ging das damit? Und das mit dem (k+1)!. Muss das nicht da stehn?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:11 Do 09.12.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
zur ersten Frage sieh nach unter Konvergenzradius
zu 2. ja da muss (k+1)! stehen aber auch (n-(k+1))!
Gruss leduart
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Hallo,
> Hallo
> zur ersten Frage sieh nach unter Konvergenzradius
> zu 2. ja da muss (k+1)! stehen aber auch (n-(k+1))!
> Gruss leduart
Ich sehe das nicht ...
Es ist mit [mm]a_n=\vektor{n+k\\
k}=\frac{(n+k)!}{k!(n+k-k)!}=\frac{(n+k)!}{k!n!}[/mm] doch dann
[mm]a_{n+1}=\frac{(n+1+k)!}{k!(n+1)!}[/mm], oder nicht?
Gruß
schachuzipus
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:19 Do 09.12.2010 | | Autor: | SolRakt |
Ok verstehe. Das einzige was ich noch kannte und auch nochmal nachgesclagen habe, ist dieses Cauchy Hadamard Kriteriumg, also
[mm] \bruch{1}{limsup \wurzel[n]{a_{n}}} [/mm] Aber was hilft mir das?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:25 Do 09.12.2010 | | Autor: | fred97 |
> Ok verstehe. Das einzige was ich noch kannte und auch
> nochmal nachgesclagen habe, ist dieses Cauchy Hadamard
> Kriteriumg, also
>
> [mm]\bruch{1}{limsup \wurzel[n]{a_{n}}}[/mm] Aber was hilft mir das?
Nicht viel. Du hast doch vorhin selbst vorgeschlagen:
lim $ [mm] |\bruch{a_{n}}{a_{n+1}}| [/mm] $
Mach das mal.
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:46 Do 09.12.2010 | | Autor: | SolRakt |
Ok, hab ich gemacht (ich lass den Betrag mal weg)
[mm] \bruch{a_{k}}{a_{k+1}}
[/mm]
= [mm] \bruch{\bruch{(n+k)!}{k!n!}}{\bruch{n+k+1)!}{k!(n+1)!}}
[/mm]
= [mm] \bruch{(n+k)! k! (n+1)!}{k! n! (n+k+1)!}
[/mm]
Da kürzt sich jetzt vieles raus:
Dann steht da:
[mm] \bruch{n+k}{n+k+1}
[/mm]
Stimmt das? und was jetzt?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:53 Do 09.12.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
Dein Zähler ist falsch, das ändert aber nicht viel- jetz lim
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:59 Do 09.12.2010 | | Autor: | SolRakt |
Hab nochmal nachgeschaut und gesehn, dass ich mich verrechnet habe. Im Zähler muss n+1 stehn oder?
Ähm, was genau meinst du jetzt mit limes? Also, mir ist natürlich klar, was der limes ist, aber wie wende ich das hier an?
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Hallo nochmal,
> Hab nochmal nachgeschaut und gesehn, dass ich mich
> verrechnet habe. Im Zähler muss n+1 stehn oder?
ja
>
> Ähm, was genau meinst du jetzt mit limes? Also, mir ist
> natürlich klar, was der limes ist, aber wie wende ich das
> hier an?
Zu berechnen ist [mm] $\lim\limits_{n\to\infty}\left|\frac{a_n}{a_{n+1}}\right|$
[/mm]
Das steht oben schon ...
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:19 Do 09.12.2010 | | Autor: | SolRakt |
Hä??? Sry xD
Ich versteh nicht, wie man darauf kommt?
n+1 ist der limes oder was?
Kannst du das mal zeigen oder zumindest erklären, wie man jetzt vorangeht?
Danke sehr.
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Hallo nochmal,
![[]](/images/popup.gif) http://www.mathematik.net/quotientenkriterium/qk1s10.htm
> Hä??? Sry xD
>
> Ich versteh nicht, wie man darauf kommt?
>
> n+1 ist der limes oder was?
Eieiei. Wie kann denn n im Grenzwert für [mm]n\to\infty[/mm] stehen??
Das muss dir doch weh tun, sowas zu schreiben! Kribbelt die Hand nicht? 
Hier musst du statt [mm]\lim\limits_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|[/mm] wie beim "normalen" QK (siehe link oben) doch berechnen [mm]\lim\limits_{n\to\infty}\left|\frac{a_n}{a_{n+1}}\right|[/mm]
Und [mm]\left|\frac{a_n}{a_{n+1}}\right|=\frac{n+1}{n+k+1}[/mm] hast du doch schon berechnet.
Und der Limes für [mm]n\to\infty[/mm] dieses Ausdrucks ist doch nicht schwierig zu berechnen?!
Den kannst du doch ablesen!
> Kannst du das mal zeigen oder zumindest erklären, wie man
> jetzt vorangeht?
Jetzt muss es aber klappen!
>
> Danke sehr.
Gerne
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:47 Do 09.12.2010 | | Autor: | SolRakt |
Sry aber wie kann man den ablesen, ich seh das einfach nicht? Ich würde 1 sagen aber da bin ich mir ziemlich unsicher.
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Hallo nochmal,
> Sry aber wie kann man den ablesen, ich seh das einfach
> nicht? Ich würde 1 sagen aber da bin ich mir ziemlich
> unsicher.
Ja, natürlich 1.
Wie kommst du denn zu deiner Vermutung?
Üblicherweise klammert man die höchste Potenz von n aus, kürzt sie weg und lässt dann [mm] $n\to\infty$ [/mm] laufen.
Ich vermute, du lässt dich zu sehr von dem k beeindrucken.
Das ist ne feste Zahl!
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:15 Do 09.12.2010 | | Autor: | SolRakt |
Ich habs verstanden, aber kannst du mal zeigen, wie man den Grenzwert "Mathematisch" ermittelt hätte, also mal mit den Umformungen aufschreiben. Ich muss das mal sehn.
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Hallo nochmal,
ausnahmsweise, weil du's bist.
Eigentlich solltest du das hinbekommen.
Das habt ihr sicher schon gemacht! (sogar in der Schule)
Gesucht ist [mm]\lim\limits_{n\to\infty}\left|\frac{a_n}{a_{n+1}}\right|=\ldots=\lim\limits_{n\to\infty}\frac{n+1}{n+k+1}[/mm]
Nun schauen wir uns den Bruch an und klammern n aus:
[mm]\frac{n+1}{n+k+1}=\frac{n\cdot{}\left(1+\frac{1}{n}\right)}{n\cdot{}\left(1+\frac{k}{n}+\frac{1}{n}\right)}[/mm]
Nun n kürzen
[mm]=\frac{1+\frac{1}{n}}{1+\frac{k}{n}+\frac{1}{n}}[/mm]
Nun [mm]n\to\infty[/mm], dann ist mit den Grenzwertsätzen:
[mm]\frac{1+\frac{1}{n}}{1+\frac{k}{n}+\frac{1}{n}}\longrightarrow \frac{1+\frac{1}{\infty}}{1+\frac{k}{\infty}+\frac{1}{\infty}}=\frac{1+0}{1+0+0}=1[/mm]
Alternativ kannst du in [mm]\frac{n+1}{n+k+1}[/mm] eine "nahrhafte Null" addieren:
[mm]\frac{n+1}{n+k+1}=\frac{n\red{+k-k}+1}{n+k+1}=\frac{(n+k+1)-k}{n+k+1}=1-\frac{k}{n+k+1}[/mm]
Und das strebt für [mm]n\to\infty[/mm] gegen [mm]1-\frac{k}{\infty+k+1}=1-\frac{k}{\infty}=1-0=1[/mm]
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:30 Do 09.12.2010 | | Autor: | SolRakt |
Vielen Dank dafür. Ja, kann sein, dass ich das können sollte, aber war schon gut, dass ich das nochmal gesehn habe. Habs jetzt auch verstanden. Nochmal danke. Gruß
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