Konvergenzprüfung < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:45 Mi 15.02.2012 | | Autor: | meely |
| Aufgabe | ist die Reihe
[mm] \summe_{n=1}^{\infty}(\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n+1})
[/mm]
konvergent oder divergent? Begründen sie ihr Ergebnis mittels eines geeigneten Arguments. |
Hallo ihr Lieben,
Habe nun das Bsp. auf diesen Weg gelöst:
[mm] \summe_{n=1}^{\infty}(\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n+1})=\summe_{n=1}^{\infty}(\frac{2}{n^2-1})
[/mm]
Nun das Quotientenkriterium:
[mm] |\frac{\frac{2}{n^2-1}}{\frac{2}{(n+1)^2-1}}|=|\frac{n^2-1}{n^2+2n}| [/mm] .. schon mal eine ganz nette Form, wo ich allerdings nicht weiter kürzen kann, deshalb nun die Limes-betrachtung:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}|\frac{n^2-1}{n^2+2n}|=\limes_{n\rightarrow\infty}|\frac{1-\frac{1}{n^2}}{1+\frac{2}{n}}|=1
[/mm]
Nach dem Quotientenkriterium ist diese Reihe divergent.
Lieg ich mit meiner Annahme und mit meinem Rechenweg richtig?
Hoffe ihr könnt mir wieder helfen :)
Liebe Grüße, eure Meely
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> ist die Reihe
>
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty}(\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n+1})[/mm]
>
> konvergent oder divergent? Begründen sie ihr Ergebnis
> mittels eines geeigneten Arguments.
> Hallo ihr Lieben,
>
> Habe nun das Bsp. auf diesen Weg gelöst:
>
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty}(\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n+1})=\summe_{n=1}^{\infty}(\frac{2}{n^2-1})[/mm]
>
> Nun das Quotientenkriterium:
>
> [mm]|\frac{\frac{2}{n^2-1}}{\frac{2}{(n+1)^2-1}}|=|\frac{n^2-1}{n^2+2n}|[/mm]
> .. schon mal eine ganz nette Form, wo ich allerdings nicht
> weiter kürzen kann, deshalb nun die Limes-betrachtung:
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}|\frac{n^2-1}{n^2+2n}|=\limes_{n\rightarrow\infty}|\frac{1-\frac{1}{n^2}}{1+\frac{2}{n}}|=1[/mm]
>
> Nach dem Quotientenkriterium ist diese Reihe divergent.
hallo,
das QK sagt bei dem ergebnis 1 nichts aus. du musst da also was anderes machen.
und das ist in diesem fall einfach mal unter
http://de.wikipedia.org/wiki/Teleskopsumme nachschauen und danach einfach mal die ersten werte aufschreiben und schauen was passiert
>
>
> Lieg ich mit meiner Annahme und mit meinem Rechenweg
> richtig?
>
> Hoffe ihr könnt mir wieder helfen :)
>
> Liebe Grüße, eure Meely
gruß tee
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:55 Mi 15.02.2012 | | Autor: | meely |
Danke für deine schnelle Antwort. :)
Meinst du dass ich einfach den Wert der Teleskopsumme errechnen soll?
Sprich: $ [mm] \summe_{n=1}^{\infty}(\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n+1}) $=\frac{3}{2} [/mm] demnach konvergent ?!
Liebe Grüße, Meely
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> Danke für deine schnelle Antwort. :)
>
> Meinst du dass ich einfach den Wert der Teleskopsumme
> errechnen soll?
>
> Sprich: [mm]\summe_{n=1}^{\infty}(\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n+1})[/mm][mm] =\frac{3}{2}[/mm]
> < 1 demnach konvergent ?!
Das musst du schon noch begründen, indem du die Summe [mm] \sum_{n=2}^N... [/mm] hinschreibst und feststellst, dass sich dann ein Großteil der Summanden weghebt. Dann erkennt man, dass der Grenzwert für [mm] N\to\infty [/mm] existiert und somit ist die Reihe konvergent.
Mit deinem ersten Ansatz klappt es aber auch, wenn du das Majoranten- statt dem Quotientenkriterium benutzt.
PS: Die Summe sollte sinnvollerweise bei n=2 anfangen.
>
> Liebe Grüße, Meely
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:28 Mi 15.02.2012 | | Autor: | meely |
Danke für die Antwort :)
> Das musst du schon noch begründen, indem du die Summe
> [mm]\sum_{n=2}^N...[/mm] hinschreibst und feststellst, dass sich
> dann ein Großteil der Summanden weghebt. Dann erkennt man,
> dass der Grenzwert für [mm]N\to\infty[/mm] existiert und somit ist
> die Reihe konvergent.
Sprich die ganz normale Teleskopsummenberechnung nach Schema "F" :) Wollte jetzt nicht jeden Schritt hinschreiben, da ich falls die Annahme falsch gewesen wäre, sehr viel Zeit vertan hätte.
>
> Mit deinem ersten Ansatz klappt es aber auch, wenn du das
> Majoranten- statt dem Quotientenkriterium benutzt.
So habe ich es auch gerade Probiert.
Habe dafür meine Reihe durch die bekanntlich konvergente Reihe [mm] \frac{2}{n^2} [/mm] abgeschätzt (ich hoffe dass das auch richtig ist), was mir natürlich die Reihenberechnung erspart. Dadurch sehe ich ja auch ABSOLUTE konvergenz wenn ich mich recht erinnere ?!
>
> PS: Die Summe sollte sinnvollerweise bei n=2 anfangen.
Sorry, du hast natürlich recht. Die Summe startet bei n=2.
Liebe Grüße und vielen Dank für die Hilfe,
Meely
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> Danke für die Antwort :)
>
> > Das musst du schon noch begründen, indem du die Summe
> > [mm]\sum_{n=2}^N...[/mm] hinschreibst und feststellst, dass sich
> > dann ein Großteil der Summanden weghebt. Dann erkennt man,
> > dass der Grenzwert für [mm]N\to\infty[/mm] existiert und somit ist
> > die Reihe konvergent.
>
> Sprich die ganz normale Teleskopsummenberechnung nach
> Schema "F" :) Wollte jetzt nicht jeden Schritt
> hinschreiben, da ich falls die Annahme falsch gewesen
> wäre, sehr viel Zeit vertan hätte.
>
> >
> > Mit deinem ersten Ansatz klappt es aber auch, wenn du das
> > Majoranten- statt dem Quotientenkriterium benutzt.
>
> So habe ich es auch gerade Probiert.
>
> Habe dafür meine Reihe durch die bekanntlich konvergente
> Reihe [mm]\frac{2}{n^2}[/mm] abgeschätzt (ich hoffe dass das auch
> richtig ist), was mir natürlich die Reihenberechnung
> erspart.
fast richtig, allerdings hast du jetzt die -1 im Nenner unterschlagen. Wenn du das mitberücksichtigst, kommst du auf [mm] a_n\le\frac{C}{n^2} [/mm] mit C=3 oder 4, je nachdem, wie du genau abschätzt.
> Dadurch sehe ich ja auch ABSOLUTE konvergenz wenn
> ich mich recht erinnere ?!
korrekt
>
> >
> > PS: Die Summe sollte sinnvollerweise bei n=2 anfangen.
>
> Sorry, du hast natürlich recht. Die Summe startet bei
> n=2.
>
> Liebe Grüße und vielen Dank für die Hilfe,
>
> Meely
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:38 Mi 15.02.2012 | | Autor: | meely |
> >
> > So habe ich es auch gerade Probiert.
> >
> > Habe dafür meine Reihe durch die bekanntlich konvergente
> > Reihe [mm]\frac{2}{n^2}[/mm] abgeschätzt (ich hoffe dass das auch
> > richtig ist), was mir natürlich die Reihenberechnung
> > erspart.
>
> fast richtig, allerdings hast du jetzt die -1 im Nenner
> unterschlagen. Wenn du das mitberücksichtigst, kommst du
> auf [mm]a_n\le\frac{C}{n^2}[/mm] mit C=3 oder 4, je nachdem, wie du
> genau abschätzt.
[mm] \frac{1}{n-1}-\frac{1}{n+1}=\frac{2}{n^2-1}\le\frac{2}{n^2}
[/mm]
so hätte ich mir das gedacht. da n bei n=2 startet gilt dass doch auch immer ?! Oder ist diese Abschätzung falsch?
Kann leider deine Abschätzung nicht ganz nachvollziehen.
Vielen Dank für deine Geduld :)
Liebe Grüße, Meely
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>
> [mm]\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n+1}=\frac{2}{n^2-1}\le\frac{2}{n^2}[/mm]
aus [mm] n^2-1\frac{2}{n^2} [/mm] für alle n.
Es gibt tausend Möglichkeiten, das "geradezubiegen", z.B.
[mm] 2n^2\ge n^2+2\Rightarrow n^2-1\ge\frac{1}{2}n^2 [/mm] für alle [mm] n\ge [/mm] 2 und somit
[mm] \frac{2}{n^2-1}\le\frac{4}{n^2}
[/mm]
>
> so hätte ich mir das gedacht. da n bei n=2 startet gilt
> dass doch auch immer ?! Oder ist diese Abschätzung
> falsch?
>
Alternativ ginge das auch mit einer Indexverschiebung mit [mm] n^2-1\ge(n-1)^2 [/mm] ...
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:00 Do 16.02.2012 | | Autor: | meely |
> >
> >
> [mm]\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n+1}=\frac{2}{n^2-1}\le\frac{2}{n^2}[/mm]
>
> aus [mm]n^2-1\frac{2}{n^2}[/mm] für alle
> n.
Danke, du hast mir gerade die Augen geöffnet :) Natürlich muss [mm] n^2-1
> Es gibt tausend Möglichkeiten, das "geradezubiegen",
> z.B.
> [mm] 2n^2\ge n^2+2
[/mm]
müsste nicht eigentlich [mm] 2n^2\ge n^2-2 [/mm] stehen ?
> [mm] \Rightarrow n^2-1\ge\frac{1}{2}n^2[/mm] [/mm] für alle
> [mm]n\ge[/mm] 2 und somit
> [mm]\frac{2}{n^2-1}\le\frac{4}{n^2}[/mm]
wenn ich dich richtig verstanden habe, vergleichst du bei dieser Abschätzung [mm] n^2-1 [/mm] genauso wie ich mit [mm] n^2. [/mm] Nur das du offensichtlich wesentlich schlauer bist als ich und weißt dass [mm] n^2 [/mm] > [mm] n^2-1 [/mm] ist und deshalb nimmst du einfach [mm] \frac{n^2}{2} [/mm] :)
Dann ist mir alles klar :D
Liebe Grüße und danke,
Meely
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:09 Do 16.02.2012 | | Autor: | meely |
| Aufgabe | | [mm] \summe_{n=2}^{\infty}(ln(\frac{n}{n+1})) [/mm] konvergent oder divergent? |
Ich habe leider doch noch eine Kleine Frage :/
Betrachte ich nun dieses Beispiel würde mir zur Konvergenz-Prüfung eigentlich nur das Cauchy'sche Verdichtungskriterium einfallen. Dieses dürfen wir allerdings nicht verwenden .. Ich bräuchte nur einen Tipp, wie man dieses Bsp auch auf eine andere Art lösen könnte.
Hoffe du kennst einen Weg. Danke und liebe Grüße :)
Meely
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:28 Do 16.02.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> [mm]\summe_{n=2}^{\infty}(ln(\frac{n}{n+1}))[/mm] konvergent oder
> divergent?
>
> Ich habe leider doch noch eine Kleine Frage :/
>
> Betrachte ich nun dieses Beispiel würde mir zur
> Konvergenz-Prüfung eigentlich nur das Cauchy'sche
> Verdichtungskriterium einfallen. Dieses dürfen wir
> allerdings nicht verwenden .. Ich bräuchte nur einen Tipp,
> wie man dieses Bsp auch auf eine andere Art lösen
> könnte.
benutze [mm] $\ln(\;n/(n+1)\;)=\ln(n)-\ln(n+1)\,.$ [/mm] Dann kannst Du für jedes $N [mm] \ge [/mm] 2$ schreiben
[mm] $$\sum_{n=2}^N \ln(\;n/(n+1)\;)=\Big(\sum_{n=2}^N \ln(n)\Big)-\Big(\sum_{n=2}^N \ln(n+1)\Big)\,.$$
[/mm]
Setzt Du nun etwa [mm] $a_n:=\ln(n)\,,$ [/mm] so ist also
[mm] $$\sum_{n=2}^N \ln(\;n/(n+1)\;)=\Big(\sum_{n=2}^N a_n\Big)-\Big(\sum_{n=2}^N a_{n+1}\Big)=\Big(\sum_{n=2}^N a_n\Big)-\Big(\sum_{\ell=3}^{N+1}a_\ell\Big)=a_2-a_{N+1}\,.$$
[/mm]
Also?
(Bedenke: [mm] $a_2=\ln(2)\,,$ $a_{N+1}=\ln(N+1)$ [/mm] und was passiert nun bei $N [mm] \to \infty$?)
[/mm]
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:37 Do 16.02.2012 | | Autor: | meely |
Hallo und danke nochmal für die Antwort :)
>
> benutze [mm]\ln(\;n/(n+1)\;)=\ln(n)-\ln(n+1)\,.[/mm] Dann kannst Du
> für jedes [mm]n \ge 2[/mm] schreiben
> [mm]\sum_{n=2}^N \ln(\;n/(n+1)\;)=\Big(\sum_{n=2}^N \ln(n)\Big)-\Big(\sum_{n=2}^N \ln(n+1)\Big)\,.[/mm]
>
> Setzt Du nun etwa [mm]a_n:=\ln(n)\,,[/mm] so ist also
> [mm]\sum_{n=2}^N \ln(\;n/(n+1)\;)=\Big(\sum_{n=2}^N a_n\Big)-\Big(\sum_{n=2}^N a_{n+1}\Big)=\Big(\sum_{n=2}^N a_n\Big)-\Big(\sum_{\ell=3}^{N+1}a_\ell\Big)=a_2-a_{N+1}\,.[/mm]
>
> Also?
Wow danke :D so einfach hab ich mir das gar nicht vorgestellt. Hätte bei dem Bsp nie an eine Teleskopsumme gedacht.
also wenn mich nicht alles täuscht gilt für ln(2)- ln(N+1) wenn [mm] N\rightarrow \infty [/mm] dass diese Reihe divergiert, da ja ln(2) ca 0,69 und [mm] ln(\infty [/mm] +1)= [mm] \infty [/mm] folgt dass die Reihe den Wert [mm] -\infty [/mm] hat.. (keine Ahnung ob man das so sagen darf)
>
> (Bedenke: [mm]a_2=\ln(2)\,,[/mm] [mm]a_{N+1}=\ln(N+1)[/mm] und was passiert
> nun bei [mm]N \to \infty[/mm]?)
>
> Gruß,
> Marcel
Liebe Grüße, Meely
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:57 Do 16.02.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo und danke nochmal für die Antwort :)
>
> >
> > benutze [mm]\ln(\;n/(n+1)\;)=\ln(n)-\ln(n+1)\,.[/mm] Dann kannst Du
> > für jedes [mm]n \ge 2[/mm] schreiben
> > [mm]\sum_{n=2}^N \ln(\;n/(n+1)\;)=\Big(\sum_{n=2}^N \ln(n)\Big)-\Big(\sum_{n=2}^N \ln(n+1)\Big)\,.[/mm]
>
> >
> > Setzt Du nun etwa [mm]a_n:=\ln(n)\,,[/mm] so ist also
> > [mm]\sum_{n=2}^N \ln(\;n/(n+1)\;)=\Big(\sum_{n=2}^N a_n\Big)-\Big(\sum_{n=2}^N a_{n+1}\Big)=\Big(\sum_{n=2}^N a_n\Big)-\Big(\sum_{\ell=3}^{N+1}a_\ell\Big)=a_2-a_{N+1}\,.[/mm]
>
> >
> > Also?
>
> Wow danke :D so einfach hab ich mir das gar nicht
> vorgestellt. Hätte bei dem Bsp nie an eine Teleskopsumme
> gedacht.
>
> also wenn mich nicht alles täuscht gilt für ln(2)-
> ln(N+1) wenn [mm]N\rightarrow \infty[/mm] dass diese Reihe
> divergiert, da ja ln(2) ca 0,69 und [mm]ln(\infty[/mm] +1)= [mm]\infty[/mm]
> folgt dass die Reihe den Wert [mm]-\infty[/mm] hat.. (keine Ahnung
> ob man das so sagen darf)
jein. Welchen Wert [mm] $\ln(2)$ [/mm] hat, ist wurscht, Hauptsache, der ist aus [mm] $\IR\,.$ [/mm] Mehr wollen und brauchen wir mal gar nicht wissen. Und das, was Du nun meinst, ist folgendes (sauber aufgeschrieben):
Die Reihe
[mm] $$\sum_{n=2}^\infty \ln(\;n/(n+1)\;)$$
[/mm]
steht zunächst mal nur für die Folge der Teilsummen [mm] ${(s_N)_{N=2}}^\infty$ [/mm] mit
[mm] $$s_N:=\sum_{n=2}^N \ln(\;n/(n+1)\;)=\ldots=\ln(2)-\ln(N+1)\,.$$
[/mm]
Weil [mm] $\ln(p) \to \infty$ [/mm] für $p [mm] \to \infty\,,$ [/mm] ist also auch
[mm] $$\lim_{N \to \infty}S_N=-\infty\,,$$
[/mm]
also
[mm] $$\sum_{n=2}^\infty \ln(\;n/(n+1)\;)=-\infty\,.$$
[/mm]
Anders gesagt:
Die Reihe [mm] $\sum_{n=2}^\infty \ln(\;n/(n+1)\;)\,,$ [/mm] also die Folge [mm] ${(s_N)_{N=2}}^\infty\,,$ [/mm] divergiert bestimmt gegen [mm] $-\infty\,.$
[/mm]
Gruß,
Marcel
> >
> > (Bedenke: [mm]a_2=\ln(2)\,,[/mm] [mm]a_{N+1}=\ln(N+1)[/mm] und was passiert
> > nun bei [mm]N \to \infty[/mm]?)
> >
> > Gruß,
> > Marcel
>
> Liebe Grüße, Meely
>
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:17 Do 16.02.2012 | | Autor: | meely |
Danke :D du bist ein Schatz :D
Liebe Grüße Meely
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Hi!
> [mm]\summe_{n=2}^{\infty}(ln(\frac{n}{n+1}))[/mm] konvergent oder
> divergent?
>
> Ich habe leider doch noch eine Kleine Frage :/
>
> Betrachte ich nun dieses Beispiel würde mir zur
> Konvergenz-Prüfung eigentlich nur das Cauchy'sche
> Verdichtungskriterium einfallen. Dieses dürfen wir
> allerdings nicht verwenden .. Ich bräuchte nur einen Tipp,
> wie man dieses Bsp auch auf eine andere Art lösen
> könnte.
>
> Hoffe du kennst einen Weg. Danke und liebe Grüße :)
>
> Meely
Mir ist gerade was recht simples eingefallen, bin mir jedoch nicht sicher ob man es so machen kann.
[mm]\summe_{n=2}^{\infty}(ln(\frac{n}{n+1}))[/mm][mm]=\summe_{n=2}^{\infty}(ln((\frac{n+1}{n})^{-1}))[/mm][mm]=\summe_{n=2}^{\infty}(-ln(\frac{n+1}{n}))[/mm][mm]=-\summe_{n=2}^{\infty}(ln(1+\frac{1}{n}))[/mm]
Da [mm] $\bruch{1}{n}$ [/mm] divergent ist, divergiert nun die ganze Summe.
Valerie
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| Status: |
(Korrektur) fundamentaler Fehler  | | Datum: | 00:49 Do 16.02.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hi!
>
> > [mm]\summe_{n=2}^{\infty}(ln(\frac{n}{n+1}))[/mm] konvergent oder
> > divergent?
> >
> > Ich habe leider doch noch eine Kleine Frage :/
> >
> > Betrachte ich nun dieses Beispiel würde mir zur
> > Konvergenz-Prüfung eigentlich nur das Cauchy'sche
> > Verdichtungskriterium einfallen. Dieses dürfen wir
> > allerdings nicht verwenden .. Ich bräuchte nur einen Tipp,
> > wie man dieses Bsp auch auf eine andere Art lösen
> > könnte.
> >
> > Hoffe du kennst einen Weg. Danke und liebe Grüße :)
> >
> > Meely
>
> Mir ist gerade was recht simples eingefallen, bin mir
> jedoch nicht sicher ob man es so machen kann.
>
> [mm]\summe_{n=2}^{\infty}(ln(\frac{n}{n+1}))[/mm][mm]=\summe_{n=2}^{\infty}(ln((\frac{n+1}{n})^{-1}))[/mm][mm]=\summe_{n=2}^{\infty}(-ln(\frac{n+1}{n}))[/mm][mm]=-\summe_{n=2}^{\infty}(ln(1+\frac{1}{n}))[/mm]
>
> Da [mm]\bruch{1}{n}[/mm] divergent ist, divergiert nun die ganze
> Summe.
die Umformungen darfst Du machen. Aber weder ist [mm] $(1/n)_n$ [/mm] divergent: Es gilt doch banalerweise
$$1/n [mm] \to 0\,,$$ [/mm]
noch zeigen die Umformungen (ohne weitere Überlegungen), dass die Reihe divergiert.
Was Du versuchen könntest, wäre etwa zu beweisen:
[mm] $$\ln(1+x) \ge x^{1/3}$$
[/mm]
für alle $x > [mm] 4\,.$ [/mm] Dann würde Dir Deine Umformung was bringen! (Was die Fragestellerin aber nicht verwenden darf! Darf sie doch verwenden, da sie das Majorantenkriterium anwenden darf und mit der harmonischen Reihe abschätzen kann!)
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:28 Do 16.02.2012 | | Autor: | Valerie20 |
> Hi!
>
> > [mm]\summe_{n=2}^{\infty}(ln(\frac{n}{n+1}))[/mm] konvergent oder
> > divergent?
> >
> > Ich habe leider doch noch eine Kleine Frage :/
> >
> > Betrachte ich nun dieses Beispiel würde mir zur
> > Konvergenz-Prüfung eigentlich nur das Cauchy'sche
> > Verdichtungskriterium einfallen. Dieses dürfen wir
> > allerdings nicht verwenden .. Ich bräuchte nur einen Tipp,
> > wie man dieses Bsp auch auf eine andere Art lösen
> > könnte.
> >
> > Hoffe du kennst einen Weg. Danke und liebe Grüße :)
> >
> > Meely
>
> Mir ist gerade was recht simples eingefallen, bin mir
> jedoch nicht sicher ob man es so machen kann.
>
> [mm]\summe_{n=2}^{\infty}(ln(\frac{n}{n+1}))[/mm][mm]=\summe_{n=2}^{\infty}(ln((\frac{n+1}{n})^{-1}))[/mm][mm]=\summe_{n=2}^{\infty}(-ln(\frac{n+1}{n}))[/mm][mm]=-\summe_{n=2}^{\infty}(ln(1+\frac{1}{n}))[/mm]
>
> Da [mm]\bruch{1}{n}[/mm] divergent ist, divergiert nun die ganze
> Summe.
Hi!
Ich dachte dabei an die Harmonische-Reihe. Der Gedanke war wohl falsch.
Danke für die Korrektur.
Valerie
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Hi!
> Danke für deine schnelle Antwort. :)
>
> Meinst du dass ich einfach den Wert der Teleskopsumme
> errechnen soll?
>
> Sprich: [mm]\summe_{n=2}^{\infty}(\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n+1})[/mm][mm] =\frac{3}{2}[/mm]
> < 1 demnach konvergent ?!
>
> Liebe Grüße, Meely
Du könntest außerdem die Summe in zwei Teile aufspalten und eine Indexverschiebung machen (wobei deine Summe aber bei n=2 losgehen sollte):
[mm]\summe_{n=2}^{\infty}(\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n+1})[/mm][mm]=\summe_{n=2}^{\infty}(\frac{1}{n-1})-\summe_{n=2}^{\infty}(\frac{1}{n+1})[/mm][mm]=\summe_{n=1}^{\infty}(\frac{1}{n})-\summe_{n=3}^{\infty}(\frac{1}{n})[/mm]
Daran wird ganz klar, dass sich alle Summanden ab n=3 (ersterer Summe) wegheben müssen.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:40 Mi 15.02.2012 | | Autor: | meely |
Vielen Dank für deine Antwort :)
>
> Du könntest außerdem die Summe in zwei Teile aufspalten
> und eine Indexverschiebung machen (wobei deine Summe aber
> bei n=2 losgehen sollte):
>
> [mm]\summe_{n=2}^{\infty}(\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n+1})[/mm][mm]=\summe_{n=2}^{\infty}(\frac{1}{n-1})-\summe_{n=2}^{\infty}(\frac{1}{n+1})[/mm][mm]=\summe_{n=1}^{\infty}(\frac{1}{n})-\summe_{n=3}^{\infty}(\frac{1}{n})[/mm]
Genau das habe ich getan um den Wert meiner Summe zu berechnen :)
>
> Daran wird ganz klar, dass sich alle Summanden ab n=3
> (ersterer Summe) wegheben müssen.
>
>
>
Liebe Grüße und danke, Meely
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:14 Do 16.02.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> ist die Reihe
>
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty}(\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n+1})[/mm]
>
> konvergent oder divergent? Begründen sie ihr Ergebnis
> mittels eines geeigneten Arguments.
Du hattest ja bereits
[mm] $$\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n+1}=\frac{2}{n^2-1}$$
[/mm]
geschrieben. Die folgende Argumentation zeigt nur, dass die Reihe konvergiert (mit der "Teleskopsummenmethode" erhält man auch den Grenzwert, daher ist diese hier besser - aber nun gut!):
Nach Satz 33.6, Heuser, Analysis I hat die Reihe wegen
[mm] $$\frac{2}{n^2-1}/\frac{1}{n^2} \to [/mm] 2 > 0$$
bei $n [mm] \to \infty$ [/mm] das gleiche Konvergenzverhalten wie [mm] $\sum_{n=1}^\infty 1/n^2\,.$
[/mm]
Nach dem Cauchyschen Verdichtungssatz konvergiert aber [mm] $\sum_{n=1}^\infty 1/n^\alpha$ [/mm] für jedes [mm] $\alpha [/mm] > [mm] 1\,,$ [/mm] also konvergiert die eingangs betrachtete Reihe!
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:20 Do 16.02.2012 | | Autor: | meely |
> Hallo,
>
> > ist die Reihe
> >
> > [mm]\summe_{n=1}^{\infty}(\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n+1})[/mm]
> >
> > konvergent oder divergent? Begründen sie ihr Ergebnis
> > mittels eines geeigneten Arguments.
>
> Du hattest ja bereits
> [mm]\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n+1}=\frac{2}{n^2-1}[/mm]
> geschrieben. Die folgende Argumentation zeigt nur, dass
> die Reihe konvergiert (mit der "Teleskopsummenmethode"
> erhält man auch den Grenzwert, daher ist diese hier besser
> - aber nun gut!):
> Nach Satz 33.6, Heuser, Analysis I hat die Reihe wegen
> [mm]\frac{2}{n^2-1}/\frac{1}{n^2} \to 2 > 0[/mm]
> bei [mm]n \to \infty[/mm]
> das gleiche Konvergenzverhalten wie [mm]\sum_{n=1}^\infty 1/n^2\,.[/mm]
>
> Nach dem Cauchyschen Verdichtungssatz konvergiert aber
> [mm]\sum_{n=1}^\infty 1/n^\alpha[/mm] für jedes [mm]\alpha > 1\,,[/mm] also
> konvergiert die eingangs betrachtete Reihe!
>
Danke für die ausführliche Antwort :)
Das Cauchy'sche Verdichtungskriterium wurde zwar in der Vorlesung bezüglich [mm] \alpha [/mm] > 1 erwähnt, ist jedoch nicht Teil der Vorlesung (darf nicht angewendet werden). Sprich: ich nehme Konvergenz für [mm] \alpha [/mm] > 1 als gegeben an - deshalb keine begründung dabei :)
> Gruß,
> Marcel
Liebe Grüße, Meely
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:33 Do 16.02.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> > Hallo,
> >
> > > ist die Reihe
> > >
> > > [mm]\summe_{n=1}^{\infty}(\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n+1})[/mm]
> > >
> > > konvergent oder divergent? Begründen sie ihr Ergebnis
> > > mittels eines geeigneten Arguments.
> >
> > Du hattest ja bereits
> > [mm]\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n+1}=\frac{2}{n^2-1}[/mm]
> > geschrieben. Die folgende Argumentation zeigt nur, dass
> > die Reihe konvergiert (mit der "Teleskopsummenmethode"
> > erhält man auch den Grenzwert, daher ist diese hier besser
> > - aber nun gut!):
> > Nach Satz 33.6, Heuser, Analysis I hat die Reihe wegen
> > [mm]\frac{2}{n^2-1}/\frac{1}{n^2} \to 2 > 0[/mm]
> > bei [mm]n \to \infty[/mm]
> > das gleiche Konvergenzverhalten wie [mm]\sum_{n=1}^\infty 1/n^2\,.[/mm]
>
> >
> > Nach dem Cauchyschen Verdichtungssatz konvergiert aber
> > [mm]\sum_{n=1}^\infty 1/n^\alpha[/mm] für jedes [mm]\alpha > 1\,,[/mm] also
> > konvergiert die eingangs betrachtete Reihe!
> >
>
> Danke für die ausführliche Antwort :)
> Das Cauchy'sche Verdichtungskriterium wurde zwar in der
> Vorlesung bezüglich [mm]\alpha[/mm] > 1 erwähnt, ist jedoch nicht
> Teil der Vorlesung (darf nicht angewendet werden). Sprich:
> ich nehme Konvergenz für [mm]\alpha[/mm] > 1 als gegeben an -
> deshalb keine begründung dabei :)
die Begründung bleibt natürlich schon korrekt - nur darfst Du halt das Cauchysche Verdichtungskriterium nicht benutzen. Aber ganz ehrlich: Dann nimmt man halt den Teil des Beweises da raus und schreibt ihn speziell angewendet auf diese Reihe hin, wenn die meinen, dass man das nicht verwenden DARF  ( So hatte ich öfters Korrekteure geärgert bei Aufgaben, wo man "irgendwas nicht benutzen soll" - denn bemängeln konnten die dann natürlich nix!  )
P.S.:
Übe Dich mal an Teleskopsummen bzw. Teleskopreihen - anscheinend ist das nämlich gerade Euer Thema!
P.P.S.:
Ob Du Satz 33.6 vom Heuser (also insbesondere das Majorantenkriterium) anwenden darfst, wäre zudem noch eine weitere zu klärende Frage gewesen!
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:42 Do 16.02.2012 | | Autor: | meely |
Hallo :)
>
> die Begründung bleibt natürlich schon korrekt - nur
> darfst Du halt das Cauchysche Verdichtungskriterium nicht
> benutzen. Aber ganz ehrlich: Dann nimmt man halt den Teil
> des Beweises da raus und schreibt ihn speziell angewendet
> auf diese Reihe hin, wenn die meinen, dass man das nicht
> verwenden DARF ( So hatte ich öfters Korrekteure
> geärgert bei Aufgaben, wo man "irgendwas nicht benutzen
> soll" - denn bemängeln konnten die dann natürlich nix!
> )
Habe gerade in meinem Skriptum entdeckt dass bei der harmonischen reihe für [mm] \alpha [/mm] > 1 dabei steht, dass dies aus dem Cauchy'schen Verdichtungskriterium folgt und wir müssen es nicht beweisen, sondern dürfen die Tatsache als von Gott gegeben annehmen :D Problem gelöst :D
>
> P.S.:
> Übe Dich mal an Teleskopsummen bzw. Teleskopreihen -
> anscheinend ist das nämlich gerade Euer Thema!
Bin ich gerade dabei :) Thema ist es nicht mehr, aber das ist ein Kapitel worauf besonderer Wert gelegt wird. Habe bald meine Analysis Prüfung
>
> P.P.S.:
> Ob Du Satz 33.6 vom Heuser (also insbesondere das
> Majorantenkriterium) anwenden darfst, wäre zudem noch eine
> weitere zu klärende Frage gewesen!
Majorantenkriterium dürfen wir genauso wie das Minoranten-, Quotienten-, und Wurzelkriterium verwenden. :)
>
> Gruß,
> Marcel
Liebe Grüße
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:21 Do 16.02.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo :)
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> >
> > die Begründung bleibt natürlich schon korrekt - nur
> > darfst Du halt das Cauchysche Verdichtungskriterium nicht
> > benutzen. Aber ganz ehrlich: Dann nimmt man halt den Teil
> > des Beweises da raus und schreibt ihn speziell angewendet
> > auf diese Reihe hin, wenn die meinen, dass man das nicht
> > verwenden DARF ( So hatte ich öfters Korrekteure
> > geärgert bei Aufgaben, wo man "irgendwas nicht benutzen
> > soll" - denn bemängeln konnten die dann natürlich nix!
> > )
>
> Habe gerade in meinem Skriptum entdeckt dass bei der
> harmonischen reihe für [mm]\alpha[/mm] > 1 dabei steht, dass dies
> aus dem Cauchy'schen Verdichtungskriterium folgt und wir
> müssen es nicht beweisen, sondern dürfen die Tatsache als
> von Gott gegeben annehmen :D Problem gelöst :D
soviel Gott brauchen wir auch ohne den Cauchyschen Verdichtungssatz gar nicht. Denn [mm] ($\IN \ni [/mm] N [mm] \ge [/mm] 2$):
[mm] $$\sum_{n=2}^N \frac{1}{n^2} \le \sum_{n=2}^N \frac{1}{n(n-1)}$$
[/mm]
und es gilt
[mm] $$\frac{1}{n(n-1)}=\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}\,.$$
[/mm]
Damit erkennt man (Teleskopsumme/Teleskopreihe), dass die Reihe [mm] $\sum_{n=2}^N \frac{1}{n(n-1)}$ [/mm] (gegen [mm] $1\,$) [/mm] konvergiert - somit ist die Reihe [mm] $\sum_{n=1}^N \frac{1}{n^2}=1+\sum_{n=2}^\infty \frac{1}{n^2}$ [/mm] nach dem Majorantenkriterium konvergent (der Grenzwert ist dann [mm] $\le [/mm] 2$).
Für jedes reelle [mm] $\alpha \ge [/mm] 2$ und alle natürlichen $n [mm] \ge [/mm] 1$ gilt
[mm] $$\frac{1}{n^\alpha} \le \frac{1}{n^2}\,.$$
[/mm]
(Das folgt wegen [mm] $n^{\alpha-2} \ge 1\,.$)
[/mm]
Also konvergiert [mm] $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^\alpha}$ [/mm] schonmal für alle reellen [mm] $\alpha \ge 2\,.$ [/mm] Und das, ohne dass Gott uns das geschenkt hat! Und dass [mm] $\sum_{n=1}^\infty 1/n^\alpha$ [/mm] für [mm] $\alpha \le [/mm] 1$ divergiert, bekommt man schnell mit dem Minorantenkriterium und der harmonischen Reihe gezeigt. Nur für $1 < [mm] \alpha [/mm] < 2$ brauchen wir also Gottes Hilfe, wenn wir Cauchys Verdichtungssatz nicht benutzen sollen! (Vielleicht gibt's da auch eine Alternative, aber auf die Schnelle sehe ich die gerade nicht!)
Gruß,
Marcel
> >
> > P.S.:
> > Übe Dich mal an Teleskopsummen bzw. Teleskopreihen -
> > anscheinend ist das nämlich gerade Euer Thema!
>
> Bin ich gerade dabei :) Thema ist es nicht mehr, aber das
> ist ein Kapitel worauf besonderer Wert gelegt wird. Habe
> bald meine Analysis Prüfung
>
> >
> > P.P.S.:
> > Ob Du Satz 33.6 vom Heuser (also insbesondere das
> > Majorantenkriterium) anwenden darfst, wäre zudem noch eine
> > weitere zu klärende Frage gewesen!
>
> Majorantenkriterium dürfen wir genauso wie das
> Minoranten-, Quotienten-, und Wurzelkriterium verwenden.
> :)
>
> >
> > Gruß,
> > Marcel
>
> Liebe Grüße
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:11 Do 16.02.2012 | | Autor: | meely |
Danke für die nette Erklärung :)
Liebe Grüße, Meely
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hallo meely,
bei diesem Beispiel berechne am besten den wert der Teleskopsumme und anschließen prüfe auf jeden fall (!!!!!) auf absolute konvergenz --> majorantenkriterium.
würdest du die prüfung der absoluten konvergenz auslassen, könnte dir dein professor einige punkte abziehen.
ich gehe davon aus dass du, nachdem du 1 jahr nach mir zu studieren begonnen hast, den selben berüchtigten professor wie ich hatte, hast ;) - also auf jeden fall die abs. konv. prüfen - er liebt sie !
alle seine beispiele mit teleskopsummen sind so gestaltet dass du um die wert berechnung nicht herum kommst und immer die absolute konvergenz gefragt ist.
LG Scherzkrapferl
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:32 Do 16.02.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> hallo meely,
>
> bei diesem Beispiel berechne am besten den wert der
> Teleskopsumme und anschließen prüfe auf jeden fall
> (!!!!!) auf absolute konvergenz --> majorantenkriterium.
die Prüfung auf absolute Konvergenz ist unnötig. Wenn die Konvergenz der Reihe mit der Teleskopsumme bewiesen ist, ist sie auch absolut konvergent, da alle Summanden in der Reihe [mm] $\ge [/mm] 0$ sind! (Fast alle Summanden würde auch reichen, also: Wenn [mm] $\sum a_k$ [/mm] existiert und alle bis auf endlich viele [mm] $a_n$ [/mm] erfüllen [mm] $a_n \ge 0\,,$ [/mm] dann konvergiert die Reihe auch absolut!)
Insbesondere darf man keine Punkte für eine Aufgabe abziehen, wenn die Aufgabe nicht explizit gestellt worden ist. Ich kann nicht verlangen, dass ein Student errät, dass er, wenn ich die Frage nach der Konvergenz einer Reihe [mm] $\sum a_k$ [/mm] stelle, auch wissen will, ob sie absolut konvergiert. Es sei denn, ich stelle explizit die Frage (nochmal) nach der absoluten Konvergenz. Sollte der Prof. das dennoch tun -> beschweren gehen!!
> würdest du die prüfung der absoluten konvergenz
> auslassen, könnte dir dein professor einige punkte
> abziehen.
Dann ist er fehl am Platz!
> ich gehe davon aus dass du, nachdem du 1 jahr nach mir zu
> studieren begonnen hast, den selben berüchtigten professor
> wie ich hatte, hast ;) - also auf jeden fall die abs. konv.
> prüfen - er liebt sie !
Aber nur, wenn sie Sinn macht. Wenn man auf einem Wege die absolute Konvergenz bewiesen hat, muss man das nicht noch auf anderen Wegen. Hier zeigt die Betrachtung mittels Teleskopsummen/Teleskopreihe sofort, dass die Reihe konvergiert und auch absolut konvergiert!
> alle seine beispiele mit teleskopsummen sind so gestaltet
> dass du um die wert berechnung nicht herum kommst und immer
> die absolute konvergenz gefragt ist.
???
Diese Aufgabe hier wäre jedenfalls kein passendes Beispiel für das, was Du da sagst!!
(Und auch die [mm] $\sum \ln(\;n/(n+1)\;)$-Aufgabe [/mm] nicht: denn diese Reihe erfüllt halt, dass fast alle Summanden [mm] $\le [/mm] 0$ sind...)
Gruß,
Marcel
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Hallo,
> Hallo,
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> > hallo meely,
> >
> > bei diesem Beispiel berechne am besten den wert der
> > Teleskopsumme und anschließen prüfe auf jeden fall
> > (!!!!!) auf absolute konvergenz --> majorantenkriterium.
>
> die Prüfung auf absolute Konvergenz ist unnötig. Wenn die
> Konvergenz der Reihe mit der Teleskopsumme bewiesen ist,
> ist sie auch absolut konvergent, da alle Summanden in der
> Reihe [mm]\ge 0[/mm] sind! (Fast alle Summanden würde auch reichen,
> also: Wenn [mm]\sum a_k[/mm] existiert und alle bis auf endlich
> viele [mm]a_n[/mm] erfüllen [mm]a_n \ge 0\,,[/mm] dann konvergiert die Reihe
> auch absolut!)
> Insbesondere darf man keine Punkte für eine Aufgabe
> abziehen, wenn die Aufgabe nicht explizit gestellt worden
> ist. Ich kann nicht verlangen, dass ein Student errät,
> dass er, wenn ich die Frage nach der Konvergenz einer Reihe
> [mm]\sum a_k[/mm] stelle, auch wissen will, ob sie absolut
> konvergiert. Es sei denn, ich stelle explizit die Frage
> (nochmal) nach der absoluten Konvergenz. Sollte der Prof.
> das dennoch tun -> beschweren gehen!!
Bei der schriftlichen Prüfung wird in der Aufgabenstellung immer nach absoluter konvergenz gefragt.
meistens lautet diese so: "prüfe folgende Reihe auf Konvergenz. Anschließend prüfe auf anderem Wege, ob diese Reihe absolut konvergiert....."
(ich glaube, dass er mit so einer Angabe prüfen will, ob der Student das Thema verstanden hat. Wohlmöglich akzeptiert er es, wenn man ihm einfach angibt, dass die konvergente Teleskopreihe automatisch absolut konvergiert.)
Dass die Teleskopreihe abs. konvergiert wenn sie konvergiert ist natürlich nachvollziehbar. Ändert leider aber nichts an der Tatsache, dass er sie 2 mal geprüft haben will. Deshalb wollte ich meely diesen Tipp geben ;)
Leider verlangt dieser Professor immer die Prüfung der absoluten Konvergenz, auch wenn er zB. angibt: "Prüfen sie folgende reihe auf Konvergenz..."
Für uns Physik-Studenten ist das schon zum Reflex geworden ;) (auch wenn rein formal nicht explizit danach gefragt wurde)
>
> > würdest du die prüfung der absoluten konvergenz
> > auslassen, könnte dir dein professor einige punkte
> > abziehen.
>
> Dann ist er fehl am Platz!
Diese Meinung teilen viele Leute haha ;)
>
> > ich gehe davon aus dass du, nachdem du 1 jahr nach mir zu
> > studieren begonnen hast, den selben berüchtigten professor
> > wie ich hatte, hast ;) - also auf jeden fall die abs. konv.
> > prüfen - er liebt sie !
>
> Aber nur, wenn sie Sinn macht. Wenn man auf einem Wege die
> absolute Konvergenz bewiesen hat, muss man das nicht noch
> auf anderen Wegen. Hier zeigt die Betrachtung mittels
> Teleskopsummen/Teleskopreihe sofort, dass die Reihe
> konvergiert und auch absolut konvergiert!
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") ganz deiner Meinung. Habe mich nicht genau genug ausgedrückt.
>
> > alle seine beispiele mit teleskopsummen sind so gestaltet
> > dass du um die wert berechnung nicht herum kommst und immer
> > die absolute konvergenz gefragt ist.
>
> ???
> Diese Aufgabe hier wäre ist jedenfalls kein passendes
> Beispiel für das, was Du da sagst!!
Vollkommen richtig erkannt. Jedoch ist solch eine Reihe ein typisches Prüfungsbeispiel. Die Angabe dazu ist allerding etwas länger. "Prüfen sie blablablabla.." siehe oben ;)
>
> Gruß,
> Marcel
Grüße aus Wien und schönen Abend,
Scherzkrapferl
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 07:53 Do 16.02.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
kurz ein paar Bemerkungen dazu:
> Hallo,
>
> > Hallo,
> >
> > > hallo meely,
> > >
> > > bei diesem Beispiel berechne am besten den wert der
> > > Teleskopsumme und anschließen prüfe auf jeden fall
> > > (!!!!!) auf absolute konvergenz --> majorantenkriterium.
> >
> > die Prüfung auf absolute Konvergenz ist unnötig. Wenn die
> > Konvergenz der Reihe mit der Teleskopsumme bewiesen ist,
> > ist sie auch absolut konvergent, da alle Summanden in der
> > Reihe [mm]\ge 0[/mm] sind! (Fast alle Summanden würde auch reichen,
> > also: Wenn [mm]\sum a_k[/mm] existiert und alle bis auf endlich
> > viele [mm]a_n[/mm] erfüllen [mm]a_n \ge 0\,,[/mm] dann konvergiert die Reihe
> > auch absolut!)
> > Insbesondere darf man keine Punkte für eine Aufgabe
> > abziehen, wenn die Aufgabe nicht explizit gestellt worden
> > ist. Ich kann nicht verlangen, dass ein Student errät,
> > dass er, wenn ich die Frage nach der Konvergenz einer Reihe
> > [mm]\sum a_k[/mm] stelle, auch wissen will, ob sie absolut
> > konvergiert. Es sei denn, ich stelle explizit die Frage
> > (nochmal) nach der absoluten Konvergenz. Sollte der Prof.
> > das dennoch tun -> beschweren gehen!!
>
> Bei der schriftlichen Prüfung wird in der Aufgabenstellung
> immer nach absoluter konvergenz gefragt.
>
> meistens lautet diese so: "prüfe folgende Reihe auf
> Konvergenz. Anschließend prüfe auf anderem Wege, ob diese
> Reihe absolut konvergiert....."
das ist meines Erachtens nach eine unsinnige Aufgabenformulierung. Zum einen frage ich mich, warum man zwingend so etwas auf anderem Wege machen soll? Wenn ich gezeigt habe, dass eine Reihe absolut konvergiert, dann konvergiert sie insbesondere. Und wenn ich noch 1000 andere Wege finde: Warum soll ich mir die Mühe machen? Etwas anderes ist es natürlich, wenn ich rausfinde, dass eine Reihe NICHT absolut konvergiert. Dann sollte ich mir schon Gedanken machen, ob sie denn konvergiert oder nicht (d.h. ob sie bedingt konvergiert oder eben nicht). In diesem Zusammenhang: Der große Umordnungssatz ist übrigens eines der wichtigsten Ergebnisse, der im Zusammenhang mit absoluter Kgz. steht!
> (ich glaube, dass er mit so einer Angabe prüfen will, ob
> der Student das Thema verstanden hat. Wohlmöglich
> akzeptiert er es, wenn man ihm einfach angibt, dass die
> konvergente Teleskopreihe automatisch absolut
> konvergiert.)
Das muss er eigentlich - andernfalls kann er höchstens wirklich verlangen, dass man ihm auch mit einer "offensichtlichen Majorante" nochmal schnell auf anderem Wege die absolute Kgz. begründet. In dieser Art und Weise wäre das okay (auch, wenn ich es nach wie vor für unsinnig halte - aber dann zielt es wirklich auf "Verständnis" ab).
> Dass die Teleskopreihe abs. konvergiert wenn sie
> konvergiert ist natürlich nachvollziehbar.
Diese speziellen Teleskopreihen hier. Ich sehe momentan keinen Grund, warum das i.a. auch sein sollte (und m.E. nach ist eine Teleskopreihe nicht zwingend absolut konvergent)!
> Ändert leider
> aber nichts an der Tatsache, dass er sie 2 mal geprüft
> haben will. Deshalb wollte ich meely diesen Tipp geben ;)
Dann muss er es auch explizit so formulieren!!
> Leider verlangt dieser Professor immer die Prüfung der
> absoluten Konvergenz, auch wenn er zB. angibt: "Prüfen sie
> folgende reihe auf Konvergenz..."
Darf er eigentlich nicht!!
> Für uns Physik-Studenten ist das schon zum Reflex
> geworden ;) (auch wenn rein formal nicht explizit danach
> gefragt wurde)
Nach wie vor: So lange er nicht explizit danach fragt, oder er nach einer Anwendung eines Satzes fragt, wo man sie braucht, darf er das dann nicht bewerten!
> > > würdest du die prüfung der absoluten konvergenz
> > > auslassen, könnte dir dein professor einige punkte
> > > abziehen.
> >
> > Dann ist er fehl am Platz!
>
> Diese Meinung teilen viele Leute haha ;)
Ich bin Mathematiker - und sofern das wirklich so ist, wie Du es sagst, ist er es definitiv: Denn das ist nicht nur link und ungerecht, sondern vor allem auch "mathematisch unpassend"!
> > > ich gehe davon aus dass du, nachdem du 1 jahr nach mir zu
> > > studieren begonnen hast, den selben berüchtigten professor
> > > wie ich hatte, hast ;) - also auf jeden fall die abs. konv.
> > > prüfen - er liebt sie !
> >
> > Aber nur, wenn sie Sinn macht. Wenn man auf einem Wege die
> > absolute Konvergenz bewiesen hat, muss man das nicht noch
> > auf anderen Wegen. Hier zeigt die Betrachtung mittels
> > Teleskopsummen/Teleskopreihe sofort, dass die Reihe
> > konvergiert und auch absolut konvergiert!
>
> ganz deiner Meinung. Habe mich nicht genau genug
> ausgedrückt.
>
> >
> > > alle seine beispiele mit teleskopsummen sind so gestaltet
> > > dass du um die wert berechnung nicht herum kommst und immer
> > > die absolute konvergenz gefragt ist.
> >
> > ???
> > Diese Aufgabe hier wäre ist jedenfalls kein passendes
> > Beispiel für das, was Du da sagst!!
>
> Vollkommen richtig erkannt. Jedoch ist solch eine Reihe ein
> typisches Prüfungsbeispiel. Die Angabe dazu ist allerding
> etwas länger. "Prüfen sie blablablabla.." siehe oben ;)
>
> >
> > Gruß,
> > Marcel
>
> Grüße aus Wien und schönen Abend,
Naja, ich habe schon öfters gehört, dass in der Physik manchmal "Mathematik 'komisch' gelehrt wird". Aber wenn der Prof. wirklich so vorgeht, wie Du es beschreibst: Das schlägt dem Fass den Boden aus!
Ich meine, wenn ich sage:
"Prüfe, ob die auf [mm] $\IR$ [/mm] definierte Funktion mit Werten in [mm] $\IR\,,$ [/mm] gegeben durch [mm] $f(x):=x*\sin(1/x)$ [/mm] ($x [mm] \not=0$) [/mm] und $f(0):=0$ stetig in [mm] $0\,$ [/mm] ist!", dafür dann die richtige Antwort mit (korrektem) Beweis erhalte, dann kann ich nicht sagen: "Okay, Sie haben nicht geprüft, ob die Funktion überall stetig ist, von Differenzierbarkeit haben Sie auch nix gesagt, von stetiger Diff'barkeit auch nichts, nichts von Wendestellen, Nullstellen,..." und dann sagen: "Leider durchgefallen. Sie haben zwar genau das richtig behandelt, was ich verlangt habe, aber mehr auch nicht..."
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:15 Do 16.02.2012 | | Autor: | meely |
Hallo :)
Ich habe gehört dass mein Professor nur auf Verständnis prüft. In der Übung hat er uns schon Testbeispiele gelöst wo Angaben gegeben waren, wo die Lösung zB. war "bei gegeben Angaben ist das Beispiel nicht lösbar" oder ähnliches.
Ich glaube es ist ihm wirklich nur wichtig, dass wir verstehen was wir tun und unsinnige Aufgaben erkennen :)
Ihr 2 habt mir gerade sehr schön gezeigt wie so was sein könnte, bzw. wie es sein wirklich sein sollte :)
Am besten stelle ich mich auf das Schlimmste ein :)
Liebe Grüße, Meely
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