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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:53 Mi 14.05.2008 | | Autor: | Surfer |
Hallo und zwar habe ich eine Aufgabe bei der entschieden werden soll welche der angegebenen Reihen konvergiert oder divergiert und mit welchem Kriterium also entweder Wurzel-/Quotienten- /Leibniz- oder keines mit dessen die Konvergenz bzw.Divergenz am besten Nachgewisen werden kann, es darf aber nur eines angekreuzt werden:
a) [mm] \summe_{k=1}^{\infty} (-1)^{k} [/mm] * [mm] \bruch{1}{(-2)^{k}}
[/mm]
b) [mm] \summe_{k=1}^{\infty} \bruch{2+(-1)^{k}}{2^{k}}
[/mm]
c) [mm] \summe_{k=1}^{\infty} \bruch{1}{3k-2}
[/mm]
das sind die drei Reihen, die angegeben sind und bei denen soll man angeben ob sie konvergieren oder nicht und mit welchem Kritrium dies am besten nachzuweisen ist!
Ich verstehe jedoch nicht ganz woran ich erkenne, welches Kriterium ich am ehesten anwenden soll! Hab schon in meinem Schulbuch gelesen und bei Wikipedia, jedoch wird dort kein Beispiel genannt! Also wäre dankbar um eine Erklärung vielleicht sogar direkt am Beispiel auf was hier zu schauen ist!!
lg Surfer
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Hallo Surfer,
> Hallo und zwar habe ich eine Aufgabe bei der entschieden
> werden soll welche der angegebenen Reihen konvergiert oder
> divergiert und mit welchem Kriterium also entweder
> Wurzel-/Quotienten- /Leibniz- oder keines mit dessen die
> Konvergenz bzw.Divergenz am besten Nachgewisen werden kann,
> es darf aber nur eines angekreuzt werden:
>
> a) [mm]\summe_{k=1}^{\infty} (-1)^{k}[/mm] * [mm]\bruch{1}{(-2)^{k}}[/mm]
> b) [mm]\summe_{k=1}^{\infty} \bruch{2+(-1)^{k}}{2^{k}}[/mm]
> c)
> [mm]\summe_{k=1}^{\infty} \bruch{1}{3k-2}[/mm]
>
> das sind die drei Reihen, die angegeben sind und bei denen
> soll man angeben ob sie konvergieren oder nicht und mit
> welchem Kritrium dies am besten nachzuweisen ist!
Tja, was heißt "am besten", das ist oft Sache des Probierens, das Wurzelkriterium ist etwas schärfer als das Quotientenkriterium.
Bei der (a) hast du ja im Zäher und Nenner "irgendwas hoch k" stehen, da würde ich das Wurzelkriterium ansetzen, es geht aber genauso gut das QK, das ist hier beliebig.
bei der (b) hast du im Zähler der Folge der Reihenglieder wegen der [mm] (-1)^k [/mm] eine alternierende Folge
Es ist dort [mm] $a_k=\frac{2+(-1)^k}{2^k}=\begin{cases} \frac{3}{2^k}, & \mbox{für } k \mbox{ gerade} \\ \frac{1}{2^k}, & \mbox{für } k \mbox{ ungerade} \end{cases}$
[/mm]
Hier bietet sich unbedingt das Wurzelkriterium an, berechne [mm] $\limsup\limits_{k\to\infty}\sqrt[k]{|a_k|}$, [/mm] also den größten Häufungswert der Folge [mm] $\left(\sqrt[k]{|a_k|}\right)_{k\in\IN}$
[/mm]
bei der (c) ist die Reihe ja von der "Größenordnung" der harmonischen Reihe (oder eines Vielfachen derselben), also ist der erste Gedanke: "Das Biest ist divergent!"
Hier würde ich also das Vergleichs- oder Majorantenkriterium ansetzen und versuchen, mit der harmonischen Reihe eine divergente Minorante zu finden.
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> Ich verstehe jedoch nicht ganz woran ich erkenne, welches
> Kriterium ich am ehesten anwenden soll! Hab schon in meinem
> Schulbuch gelesen und bei Wikipedia, jedoch wird dort kein
> Beispiel genannt! Also wäre dankbar um eine Erklärung
> vielleicht sogar direkt am Beispiel auf was hier zu schauen
> ist!!
>
> lg Surfer
Ich hoffe, du kommst mit den Tipps weiter
Lieben Gruß
schachuzipus
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