Konvergenzintervall bestimmen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:02 Mi 29.07.2009 | | Autor: | ms2008de |
| Aufgabe | Bestimmen Sie das genaue Konvergenzintervall folgender Potenzreihe:
[mm] \summe_{n=0}^{\infty}\bruch{n^{n}}{n!}x^{n} [/mm] |
Hallo,
Also bisher bin ich soweit gekommen, dass ich den Konvergenzradius [mm] :=\bruch{1}{e} [/mm] mithilfe des Quotientenkriteriums bestimmt hab.
Nun hab ich aber ein Problem, dass ich nicht weiß, wie ich bei den beiden Randpunkten eine Aussage treffe: [mm] \summe_{n=0}^{\infty}\bruch{n^{n}}{n!}(\bruch{-1}{e})^{n} [/mm] könnt eventuell über das Leibnizkriterium konvergieren, wobei ich nicht weiß wie man zeigen könnte (falls das der Fall ist), dass [mm] \bruch{n^{n}}{n!*e^{n}} [/mm] eine monoton fallende Nullfolge ist, und für den positiven Teil fehlt mir noch komplett ein Ansatz.
Hoffe jmd. von euch könnte mir weiterhelfen, vielen Dank schon mal im voraus.
Viele Grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:38 Mi 29.07.2009 | | Autor: | wauwau |
Schau dir mal die Stirlingsche Formel an, dann wird alles klar...
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:08 Mi 29.07.2009 | | Autor: | ms2008de |
Danke,
aber gehts auch ohne Stirling, da wir den noch nich hatten?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 07:55 Fr 31.07.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Danke,
> aber gehts auch ohne Stirling, da wir den noch nich
> hatten?
Setze [mm] $a_n [/mm] := [mm] \frac{n^n}{n! \cdot \exp(n)} [/mm] > 0$, $n [mm] \in \IN$. [/mm] Dass [mm] $(a_n)_{n\in\IN}$ [/mm] streng monoton fallend ist, ist aequivalent zu [mm] $\frac{a_{n+1}}{a_n} [/mm] < 1$ fuer alle $n [mm] \in \IN$.
[/mm]
Nun ist [mm] $\frac{a_{n+1}}{a_n} [/mm] = [mm] \frac{(1 + 1/n)^n}{\exp(1)}$ [/mm] (warum?). Weisst du zufaellig, dass $(1 + [mm] 1/n)^n [/mm] < [mm] \exp(1)$ [/mm] gilt?
LG Felix
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