Konvergenzbeweis mit Def. < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:58 Fr 01.02.2008 | | Autor: | Kroni |
| Aufgabe | | Zeigen Sie mit der Def. für Konvergenz, dass [mm] a_n=\frac{n^2+n}{2n^2+1} [/mm] gegen 1/2 konvergiert. |
Hi,
die Def. für den Grenzwert ist ja [mm] \forall \epsilon>0 \exists N\in\IN [/mm] : [mm] |a_n-a|<\epsilon \forall [/mm] n>N
Wenn ich das oben einsteze komme ich auf [mm] |\frac{n^2+n}{2n^2+1}-1/2|<\epsilon [/mm] Die Betragsstriche kann ich auch weglasse, weil das ganze von Oben gegen 1/2 konvergiert.
Gibt es jetzt eine bessere Lösung, als das ganze nach n aufzulösen und dann zu zeigen, dass das für n größer so und so kleiner epsilon wird?
LG
Kroni
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:21 Fr 01.02.2008 | | Autor: | dormant |
Hi!
> Zeigen Sie mit der Def. für Konvergenz, dass
> [mm]a_n=\frac{n^2+n}{2n^2+1}[/mm] gegen 1/2 konvergiert.
> Hi,
>
> die Def. für den Grenzwert ist ja [mm]\forall \epsilon>0 \exists N\in\IN[/mm]
> : [mm]|a_n-a|<\epsilon \forall[/mm] n>N
>
> Wenn ich das oben einsteze komme ich auf
> [mm]|\frac{n^2+n}{2n^2+1}-1/2|<\epsilon[/mm] Die Betragsstriche kann
> ich auch weglasse, weil das ganze von Oben gegen 1/2
> konvergiert.
Das musst du dann gesondert zeigen.
> Gibt es jetzt eine bessere Lösung, als das ganze nach n
> aufzulösen und dann zu zeigen, dass das für n größer so und
> so kleiner epsilon wird?
Ja. Durch grobe Abschätzungen:
[mm] |a_{n}-1/2|=
[/mm]
(die -1/2 in den Bruch reinziehen)
[mm] =|\bruch{2n-1}{4n^{2}+2}|=
[/mm]
(für n>1 ist 2n-1>0)
[mm] =\bruch{2n-1}{4n^{2}+2}<
[/mm]
(an dieser Stelle könnte man eine genaue Abschätzung bzgl. [mm] \epsilon [/mm] liefern; stattdessen nehmen wir eine großzügige, indem wir den Nenner verkleinern: [mm] 4n^{2}-2n<4n^{2}+2 [/mm] für alle [mm] n\in\IN)
[/mm]
[mm] <\bruch{2n-1}{2n(2n-1)}=\bruch{1}{2n}<1/n<\epsilon [/mm] für [mm] n>\bruch{1}{\epsilon}.
[/mm]
An sich hat man hier auch nach n aufgelöst, nur nicht so genau.
Gurß,
dormant
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:31 Fr 01.02.2008 | | Autor: | Kroni |
Hi,
vielen Dank für deine Antwort. So gehts natürlich schon deutlich einfacher, aber ist ansich schon etwas trickreich...Aber gut, werde mir das dann auch mal merken =)
LG
Kroni
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