Konvergenzbereich einer Reihe < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
Hallo ich habe noch eine weitere Frage.
Und zwar habe ich die folgende Reihe gegeben [mm] \summe_{n\in\IN}\bruch{n(x-1)^n}{2^n(3n-1)}
[/mm]
Gesucht ist das Supremum des Konvergenzbereiches.
Ich habe das Quotientenkriterium versucht um die gleichung an+1<an aufzustellen die dann folgendermaßen aussieht
[mm] \bruch{n_{+1}(x-1)^{n+1}}{2^{n+1}(3n)}<\bruch{n(x-1)^n}{2^n(3n-1)}
[/mm]
Doch ab hier komme ich nicht mehr weiter und weiß leider nicht mal ob ich hiermit auf der richtigen spur bin. Könnt ihr mir helfen?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Danke
|
|
| |
|
> Hallo ich habe noch eine weitere Frage.
> Und zwar habe ich die folgende Reihe gegeben
> [mm]\summe_{n\in\IN}\bruch{n(x-1)^n}{2^n(3n-1)}[/mm]
> Gesucht ist das Supremum des Konvergenzbereiches.
> Ich habe das Quotientenkriterium versucht um die gleichung
> an+1<an aufzustellen
Für die Bestimmung des Konvergenzradius [mm] $\rho$ [/mm] einer Potenzreihe der Form [mm] $\sum_{n\in\IN} a_n (x-1)^n$ [/mm] hast Du doch die Formel
[mm]\rho = \frac{1}{\limsup_{n\in\IN}\sqrt[n]{a_n}}[/mm]
Hier ist [mm] $a_n= \frac{n}{2^n (3n-1)}$ [/mm] und daher [mm] $\limsup_{n\in \IN}\sqrt[n]{a_n}=\cdots [/mm] = [mm] \frac{1}{2}$. [/mm] Somit ist der Konvergenzradius [mm] $\rho=2$.
[/mm]
Das heisst: die Potenzreihe konvergiert für $|x-1|<2$, bzw. äquivalent dazu $-1<x<3$, absolut.
|
|
|
| |
|
Danke für deine Antwort
Aber ich verstehe leider nicht wie du [mm] \bruch{1}{2} [/mm] herausgefunden hast und auch nicht wie du dann auf 2 kommst
|
|
|
| |
|
Hallo olivercan,
na, betrachte doch mal [mm] $\sqrt[n]{|a_n|}=\sqrt[n]{\left|\frac{n}{2^n\cdot{}(3n-1)}\right|}=\frac{\sqrt[n]{n}}{\sqrt[n]{2^n}\cdot{}\sqrt[n]{3n-1}}$
[/mm]
Wogegen strebt das für [mm] $n\to\infty$?
[/mm]
Doch genau gegen [mm] $\frac{1}{2}$
[/mm]
Also ist der Konvergenzradius mit der obigen Formel [mm] $\rho=\frac{1}{\frac{1}{2}}=2$
[/mm]
Alternativ, wenn du das Rechnen mit der n-ten Wurzel nicht so magst, kannst du anstatt dieses Kriterium von Cauchy-Hadamard zu benutzen, das Kriterium von Euler (ähnlich dem Quotientenkriterium) benutzen.
Berechne dazu [mm] $R=\lim\limits_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|$
[/mm]
Dann ist der Konvergenzradius [mm] $\rho=\frac{1}{R}$ [/mm] - wie oben
Es kommt natürlich ebenfalls 2 heraus - kannste ja mal nachrechnen...
LG
schachuzipus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:11 So 30.03.2008 | | Autor: | olivercan |
Vielen vielen dank schachuzipus damit hast du meinen sonntag zu 2.mal gerettet.
|
|
|
|
