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| Aufgabe | Man bestimme den Konvergenzbereich und das Verhalten am Rande für folgende Potenzreihe:
(x + 1) + [mm] \bruch{ 1! }{ 2^{2} } [/mm] * (x + [mm] 1)^{2} [/mm] + [mm] \bruch{2!}{ 3^{3} } [/mm] * (x + [mm] 1)^{3} [/mm] + [mm] \bruch{3!}{4^{4}} *(x+1)^{4}+..... [/mm] |
Hi, kann mir da vielleicht jemand weiterhelfen
also das ist doch:
[mm] \summe_{i=1}^{n} \bruch{(n-1)!}{n^{n}} *(x+1)^{n}
[/mm]
und (n-1)!= n!/n
somit folgt:
[mm] \summe_{i=1}^{n} \bruch{(n)!}{n^{n+1}} *(x+1)^{n}
[/mm]
ist das so richtig?
Wenn ich jetzt den Konvergenzradius berechnen will komm ich aber auf kein Ergebnis:
[mm] r=\limes_{n\rightarrow\infty} |\bruch{ a_{n} }{ a_{n+1} }| [/mm] =.....= [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} |\bruch{ (n+1)^{n} }{ n^{n+1} }|
[/mm]
Meine Frage ist jetzt ob das bisher soweit alles richtig ist und wie ich jetzt auf eine Lösung kommen kann.
Vielen Dank im voraus!!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo Christoph,
das passt nicht ganz, du hast irgendwo ein n+1 vergessen einzubauen 
Also [mm] \left|\frac{a_n}{a_{n+1}}\right|=\frac{(n-1)!}{n^n}\frac{(n+1)^{\red{n+1}}}{n!}=\frac{(n-1)!}{n^n}\frac{(n+1)^{n+1}}{n(n-1)!}=\frac{(n+1)^{n+1}}{n^n\cdot{}n}=\left(\frac{n+1}{n}\right)^{n+1}=\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n+1}
[/mm]
Und das strebt für [mm] n\to\infty [/mm] gegen....
LG
schachuzipus
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Jetzt ists einfacher,
Danke für die schnelle Antwort!
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