Konvergenz vs Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 14:21 Fr 20.04.2007 | | Autor: | sancho1980 |
Hallo Leute,
ich knabber grad an der Definition dessen, was es bedeutet, wenn eine relle Funktion stetig ist und wuerde gern von euch wissen, ob ich das richtig verstehe, wenn ich es mal mit eigenen Worten ausdruecke:
Die Konvergenz einer Funktion f in a ist nur deswegen uberhaupt von Bedeutung, wenn a nicht im Definitionsbereich D von f liegt. Laege a (noch) in D, dann waere f nicht nur konvergent sondern auch stetig in a [mm] \Rightarrow [/mm] Eine Folge die in a stetig ist, ist auch konvergent in a.
Kann man das so stehen lassen?
Gruss
Martin
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:04 Fr 20.04.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo Sancho
Es ist mir unverständlich was du mit der Konvergenz einer fkt. meinst. Eine Folge von Fkt. kann an einem Pkt gegen einen Wert konvergieren, aber EINE fkt kann nicht konvergieren. oder meinst du die Folge der Funktionswerte [mm] f(x_n) [/mm] wenn [mm] x_n [/mm] gegen einen Wert a konvergiert?
Also versuchs noch mal genauer, wenn du die Worte nicht weisst mit nem Beispiel?
Gruss leduart
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Also, die Definition, auf die ich mich beziehe ist folgende:
Es sei [mm] \emptyset \not= [/mm] D [mm] \subset \IR, [/mm] und es sei a [mm] \in \IR [/mm] ein Beruehrungspunkt von D \ {a}. Eine reelle Funktion f: D [mm] \to \IR [/mm] heisst konvergent in a, wenn fuer jede Testfolge [mm] (a_n) [/mm] in D \ {a} fuer die Bildfolge [mm] (f(a_n))_(n \in \IN) [/mm] konvergent ist.
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Hallo,
landläufig heißt das, worum es Dir geht "Grenzwert von Funktionen".
Ich habe ![[]](/images/popup.gif) hier etwas gefunden, was Dir bei der Beantwortung Deiner Frage möglicherweise hilft. Guck' Dir dort "Folgendefinition von Grenzwerten" an.
Du schriebst im Eingangspost:
"Die Konvergenz einer Funktion f in a ist nur deswegen uberhaupt von Bedeutung, wenn a nicht im Definitionsbereich D von f liegt. Laege a (noch) in D, dann waere f nicht nur konvergent sondern auch stetig in a $ [mm] \Rightarrow [/mm] $ Eine Folge die in a stetig ist, ist auch konvergent in a."
Nein, das kann so nicht stehen bleiben,
denn die Frage, ob eine Funktion an der Stelle a einen Grenzwert hat, ist durchaus auch relevant, wenn a im Definitionsbereich liegt.
Es könnte nämlich sein, daß die Funktion an dieser Stelle zwar einen Grenzwert hat, dieser aber nicht gleich dem Funktionswert ist. In diesem Falle wäre die Funktion nicht stetig.
Korrekt ist folgendes: ist die Funktion stetig in a, so ist ihr Grenzwert an der Stelle a =f(a), d.h. für jede Folge [mm] (x_n), [/mm] welche gegen a konvergiert, konvergiert die Folge ihrer Funktionswerte [mm] (f(x_n)) [/mm] gegen f(a).
Gruß v. Angela
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Ah danke,
also wenn ich dich JETZT richtig verstanden habe, heißt das, die Funktion f: [0,2] [mm] \to \IR, [/mm] x [mm] \to [/mm] f(x) mit
f(x) = x für x < 1
f(x) = 15 für x [mm] \ge [/mm] 1
konvergiert in 1 gegen 1, obwohl f(x) = 15...hab ich das richtig verstanden?
Gruß,
Martin
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> Ah danke,
> also wenn ich dich JETZT richtig verstanden habe, heißt
> das, die Funktion f: [0,2] [mm]\to \IR,[/mm] x [mm]\to[/mm] f(x) mit
>
> f(x) = x für x < 1
> f(x) = 15 für x [mm]\ge[/mm] 1
>
> konvergiert in 1 gegen 1, obwohl f(x) = 15...hab ich das
> richtig verstanden?
Du bist auf dem Weg.
Deine Funktion treibt es ziemlich schlimm:
sie hat an der Stelle 1 keinen Grenzwert.
Hätte sie einen, müßten ja für sämtliche Folgen die Folgen der Funktionswerte gegen diesen Grenzwert konvergieren.
Das ist hier nicht der Fall. Für Folgen, die von unten gegen 1 konvergieren, konvergiert die Folge der Funktionswerte gegen 1, für die, die von oben gegen 1 konvergieren, konvergiert die Folge der Funktionswerte gegen 15.
Aber wir können das modifizieren. Nehmen wir
[mm] f(x):=\begin{cases} x, & \mbox{für } x\in \IR \ \{1\} \mbox{ } \\ 15, & \mbox{für } x=1 \mbox{ ungerade} \end{cases}
[/mm]
Hier hat man [mm] \limes_{x\rightarrow 1}f(x)=1\not=f(1)=15.
[/mm]
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:26 Fr 20.04.2007 | | Autor: | sancho1980 |
Oh ja, dass man auch "von oben" kommen könnte hatte ich grad ganz ausgeblendet...aber danke :)
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