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| Aufgabe | Welche der folgenden Reihen sind konvergent? Berechnen Sie gegebenenfalls den Wert der Reihe.
a) [mm] \summe_{n=1}^{\infty} 1/\wurzel{n}
[/mm]
b) [mm] \summe_{n=1}^{\infty} 1/(4n^{2}-1) [/mm] |
Hallo!
Allgemein zur Konvergenz von Reihen wissen wir:
Sei [mm] (a_{k})_{k \in \IN} [/mm] eine Folge reeller Zahlen. Die Reihe [mm] \summe_{k=0}^{\infty} (a_{k}) [/mm] heißt konvergent, falls die Folge der Partialsummen [mm] S_{n} [/mm] = [mm] \summe_{k=0}^{n} (a_{k}) [/mm] für n -> [mm] \infty [/mm] konvergiert.
und einen Satz über die Beschränktheit haben wir auch:
Ist die Folge der Partialsummen [mm] S_{n} [/mm] = [mm] \summe_{k=0}^{n} (a_{k}) [/mm] beschränkt und [mm] a_{k} \ge [/mm] 0 [mm] \forall [/mm] k, dann konvergiert die Reihe [mm] \summe_{k=0}^{\infty} (a_{k}).
[/mm]
Also muss ich ja sowohl für a) als auch für b) eigentlich nur zeigen, dass [mm] a_{k} \ge [/mm] 0 und dass dann jeweils [mm] S_{n} [/mm] nach oben beschränkt ist.
Oder?
Könnte man das dann bei a) mit der Beschränktheit so machen?:
IA: k=1 -> [mm] a_{1}=1 [/mm] < 10 (10 nehme ich einfach mal so zum Beispiel)
IV: [mm] a_{n} \le [/mm] 10 gilt für n=k
IS: zz: [mm] a_{n} \le [/mm] 10 gilt für n=k+1
Bew.: Annahme: [mm] a_{k+1} \le [/mm] 10
Dann gilt: [mm] \summe_{n=1}^{k+1} 1/\wurzel{n} [/mm] = [mm] \summe_{n=1}^{k} 1/\wurzel{n} [/mm] + [mm] 1/\wurzel{k+1} \le [/mm] 10 [mm] +1/\wurzel{k+1} [/mm]
Das ist aber nicht [mm] \le [/mm] 10, oder?
Also dürfte diese Reihe nicht konvergieren?!
Aber dann kommt mit dem gleichen Vorgehen bei b) alles analog heraus und sie konvergiert nicht. Kann das sein?
Ich habe das Gefühl, dass ich da einen Denkfehler drin habe, aber ich komm nicht drauf!
Kann mir jemand weiterhelfen?
Danke schonmal 
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:15 Mi 30.11.2011 | | Autor: | abakus |
> Welche der folgenden Reihen sind konvergent? Berechnen Sie
> gegebenenfalls den Wert der Reihe.
> a) [mm]\summe_{n=1}^{\infty} 1/\wurzel{n}[/mm]
>
> b) [mm]\summe_{n=1}^{\infty} 1/(4n^{2}-1)[/mm]
> Hallo!
> Allgemein zur Konvergenz von Reihen wissen wir:
> Sei [mm](a_{k})_{k \in \IN}[/mm] eine Folge reeller Zahlen. Die
> Reihe [mm]\summe_{k=0}^{\infty} (a_{k})[/mm] heißt konvergent,
> falls die Folge der Partialsummen [mm]S_{n}[/mm] = [mm]\summe_{k=0}^{n} (a_{k})[/mm]
> für n -> [mm]\infty[/mm] konvergiert.
> und einen Satz über die Beschränktheit haben wir auch:
> Ist die Folge der Partialsummen [mm]S_{n}[/mm] = [mm]\summe_{k=0}^{n} (a_{k})[/mm]
> beschränkt und [mm]a_{k} \ge[/mm] 0 [mm]\forall[/mm] k, dann konvergiert
> die Reihe [mm]\summe_{k=0}^{\infty} (a_{k}).[/mm]
>
> Also muss ich ja sowohl für a) als auch für b) eigentlich
> nur zeigen, dass [mm]a_{k} \ge[/mm] 0 und dass dann jeweils [mm]S_{n}[/mm]
> nach oben beschränkt ist.
> Oder?
>
> Könnte man das dann bei a) mit der Beschränktheit so
> machen?:
> IA: k=1 -> [mm]a_{1}=1[/mm] < 10 (10 nehme ich einfach mal so
> zum Beispiel)
> IV: [mm]a_{n} \le[/mm] 10 gilt für n=k
> IS: zz: [mm]a_{n} \le[/mm] 10 gilt für n=k+1
> Bew.: Annahme: [mm]a_{k+1} \le[/mm] 10
> Dann gilt: [mm]\summe_{n=1}^{k+1} 1/\wurzel{n}[/mm] =
> [mm]\summe_{n=1}^{k} 1/\wurzel{n}[/mm] + [mm]1/\wurzel{k+1} \le[/mm] 10
> [mm]+1/\wurzel{k+1}[/mm]
> Das ist aber nicht [mm]\le[/mm] 10, oder?
> Also dürfte diese Reihe nicht konvergieren?!
> Aber dann kommt mit dem gleichen Vorgehen bei b) alles
> analog heraus und sie konvergiert nicht. Kann das sein?
> Ich habe das Gefühl, dass ich da einen Denkfehler drin
> habe, aber ich komm nicht drauf!
> Kann mir jemand weiterhelfen?
>
> Danke schonmal
Hallo Lily,
vergleiche die erste Reihe mit der harmonischen Reihe (Stichwort divergente Minorante) und finde zur zweiten Reihe eine konvergente Majorante (oder zerlege in eine Teleskopsumme).
Gruß Abakus
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Danke! Das ist ja super
Aber ich hab noch eine Frage:
bei der Konvergenz von b): die Reihe konvergiert doch gegen 1, oder?
Aber wie beweise ich das?
Kann man das machen wie bei einer Folge:
[mm] |a_{n}-a| [/mm] -> 0 mit a als Grenzwert
?
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Hallo Mathe-Lily,
> Danke! Das ist ja super
>
> Aber ich hab noch eine Frage:
> bei der Konvergenz von b): die Reihe konvergiert doch
> gegen 1, oder?
Wieso meinst du das? Ich komme auf einen anderen Reihenwert!
> Aber wie beweise ich das?
> Kann man das machen wie bei einer Folge:
> [mm]|a_{n}-a|[/mm] -> 0 mit a als Grenzwert
> ?
Hat Abakus doch schon geschrieben:
Schaue dir die Partialsummenfolge an.
Es ist [mm]\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{4n^2-1}=\lim\limits_{M\to\infty}\sum\limits_{n=1}^{M}\frac{1}{4n^2-1}[/mm]
Um dies zu berechnen, mache eine Partialbruchzerlegung für [mm]\frac{1}{4n^2-1}[/mm]
Ansatz dafür: [mm]\frac{1}{4n^2-1}=\frac{A}{2n+1}+\frac{B}{2n-1}[/mm]
Berechne [mm]A,B[/mm], stelle eine solche obige M-te Partialsumme auf, das wird eine nette Teleskopsumme werden, in der sich die meisten Summanden wegheben.
Dann [mm]M\to\infty[/mm]
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:11 So 04.12.2011 | | Autor: | Mathe-Lily |
Danke!! Jetzt hab ich das endlich auch mal gerafft ^^
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