Konvergenz von Reihen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Welche der angegebenen Reihen konvergieren?
a) [mm] $\summe_{n=1}^{\infty}=\bruch{(-1)^{n}}{\wurzel[n]{n}}$
[/mm]
b) [mm] $\summe_{n=0}^{\infty}=\bruch{(n+1)^{8}}{2^{n}}$ [/mm] |
Hallo,
es wäre sehr nett, wenn jemand meine Lösungen korrigieren könnte.
a)
[mm] $\bruch{(-1)^{n}}{\wurzel[n]{n}}=(-1)^{n}*\bruch{1}{\wurzel[n]{n}}$
[/mm]
Alternierende Reihe, da für alle $n [mm] \in \IN: \bruch{1}{\wurzel[n]{n}}>0.$ [/mm] Außerdem: [mm] $\bruch{1}{n} \to [/mm] 0 [mm] \Rightarrow \wurzel[n]{\bruch{1}{n}} \xrightarrow[n \to \infty]{} \wurzel[n]{0}=0,$ [/mm] also ist die Folge [mm] $\bruch{1}{\wurzel[n]{n}}$ [/mm] eine Nullfolge.
Um das Leibnizkriterium für alternierende Reihen anwenden zu können, weise ich nach, dass die Folge [mm] $\bruch{1}{\wurzel[n]{n}}$ [/mm] monoton fällt: $n+1>n [mm] \Rightarrow [/mm] 0 < [mm] \bruch{1}{n+1} [/mm] < [mm] \bruch{1}{n}$ [/mm] und aus der Monotonie der n-ten Wurzel folgt $0 < [mm] \wurzel[n]{\bruch{1}{n+1}} [/mm] < [mm] \wurzel[n]{\bruch{1}{n}} \Rightarrow \bruch{1}{\wurzel[n]{n}}$ [/mm] streng monoton fallend.
Damit sind alle Voraussetzungen für die Anwendung des Leibnizkriteriums erfüllt und es folgt die Konvergenz der Reihe für jedes $n [mm] \in \IN.$
[/mm]
b)
Mit Quotientenkriterum:
[mm] $\left| \bruch{a_{n+1}}{a_{n}} \right|=\bruch{((n+1)+1)^{8}*2^{n}}{2^{n+1}*(n+1)^{8}}=\bruch{((n+1)+1)^{8}}{2*(n+1)^{8}}=\bruch{1}{2}*\bruch{((n+1)+1)^{8}}{(n+1)^{8}}=\bruch{1}{2}*\bruch{(n+2)^{8}}{(n+1)^{8}}=\bruch{1}{2}*\left( \bruch{n+2}{n+1} \right)^{8}=\bruch{1}{2}*\left( \bruch{n(1+\bruch{2}{n})}{n(1+\bruch{1}{n})} \right)^{8}=\bruch{1}{2}*\left( \bruch{1+\bruch{2}{n}}{1+\bruch{1}{n}} \right)^{8} \xrightarrow[n \to \infty]{} \bruch{1}{2} \Rightarrow \limsup_{n \to \infty}\left| \bruch{a_{n+1}}{a_{n}} \right|=\bruch{1}{2}<1$ [/mm] ==> die Reihe konvergiert nach dem Quotientenkriterium.
Vielen Dank für Eure Mühe.
Gruß
el_grecco
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> Welche der angegebenen Reihen konvergieren?
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> a) [mm]\summe_{n=1}^{\infty}=\bruch{(-1)^{n}}{\wurzel[n]{n}}[/mm]
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> b) [mm]\summe_{n=0}^{\infty}=\bruch{(n+1)^{8}}{2^{n}}[/mm]
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> Hallo,
>
> es wäre sehr nett, wenn jemand meine Lösungen korrigieren
> könnte.
>
>
> a)
>
> [mm]\bruch{(-1)^{n}}{\wurzel[n]{n}}=(-1)^{n}*\bruch{1}{\wurzel[n]{n}}[/mm]
>
> Alternierende Reihe, da für alle [mm]n \in \IN: \bruch{1}{\wurzel[n]{n}}>0.[/mm]
> Außerdem: [mm]\bruch{1}{n} \to 0 \Rightarrow \wurzel[n]{\bruch{1}{n}} \xrightarrow[n \to \infty]{} \wurzel[n]{0}=0,[/mm]
> also ist die Folge [mm]\bruch{1}{\wurzel[n]{n}}[/mm] eine
oha, ne [mm] \sqrt[n]{n} [/mm] mit n gegen [mm] \infty [/mm] ergibt 1... also?
> Nullfolge.
>
> Um das Leibnizkriterium für alternierende Reihen anwenden
> zu können, weise ich nach, dass die Folge
> [mm]\bruch{1}{\wurzel[n]{n}}[/mm] monoton fällt: [mm]n+1>n \Rightarrow 0 < \bruch{1}{n+1} < \bruch{1}{n}[/mm]
> und aus der Monotonie der n-ten Wurzel folgt [mm]0 < \wurzel[n]{\bruch{1}{n+1}} < \wurzel[n]{\bruch{1}{n}} \Rightarrow \bruch{1}{\wurzel[n]{n}}[/mm]
> streng monoton fallend.
>
> Damit sind alle Voraussetzungen für die Anwendung des
> Leibnizkriteriums erfüllt und es folgt die Konvergenz der
> Reihe für jedes [mm]n \in \IN.[/mm]
>
>
> b)
>
> Mit Quotientenkriterum:
>
> [mm]\left| \bruch{a_{n+1}}{a_{n}} \right|=\bruch{((n+1)+1)^{8}*2^{n}}{2^{n+1}*(n+1)^{8}}=\bruch{((n+1)+1)^{8}}{2*(n+1)^{8}}=\bruch{1}{2}*\bruch{((n+1)+1)^{8}}{(n+1)^{8}}=\bruch{1}{2}*\bruch{(n+2)^{8}}{(n+1)^{8}}=\bruch{1}{2}*\left( \bruch{n+2}{n+1} \right)^{8}=\bruch{1}{2}*\left( \bruch{n(1+\bruch{2}{n})}{n(1+\bruch{1}{n})} \right)^{8}=\bruch{1}{2}*\left( \bruch{1+\bruch{2}{n}}{1+\bruch{1}{n}} \right)^{8} \xrightarrow[n \to \infty]{} \bruch{1}{2} \Rightarrow \limsup_{n \to \infty}\left| \bruch{a_{n+1}}{a_{n}} \right|=\bruch{1}{2}<1[/mm]
> ==> die Reihe konvergiert nach dem Quotientenkriterium.
richtig.. eigentlich siehst du das 1/2 schon bei diesem schritt
[mm] \bruch{1}{2}*\bruch{(n+2)^{8}}{(n+1)^{8}}
[/mm]
da nur die höchsten exponenten relevant sind, und die werden in zähler und nenner jeweils [mm] \red{1}*n^8 [/mm] sein
>
>
> Vielen Dank für Eure Mühe.
>
> Gruß
> el_grecco
>
gruß tee
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| Aufgabe | Welche der angegebenen Reihen konvergieren?
a) $ [mm] \summe_{n=1}^{\infty}=\bruch{(-1)^{n}}{\wurzel[n]{n}} [/mm] $
b) $ [mm] \summe_{n=0}^{\infty}=\bruch{(n+1)^{8}}{2^{n}} [/mm] $ |
Hallo fencheltee,
hier die a) nochmals überarbeitet:
$ [mm] \bruch{(-1)^{n}}{\wurzel[n]{n}}=(-1)^{n}\cdot{}\bruch{1}{\wurzel[n]{n}} [/mm] $
Alternierende Reihe, da für alle $ n [mm] \in \IN: \bruch{1}{\wurzel[n]{n}}>0. [/mm] $ Außerdem: [mm] $\bruch{1}{\wurzel[n]{n}} \xrightarrow[n \to \infty]{} \bruch{1}{1}=1, [/mm] $ also konvergiert die Folge $ [mm] \bruch{1}{\wurzel[n]{n}} [/mm] $ gegen 1.
Das Leibnizkriterium lässt sich also nicht anwenden und die Reihe divergiert.
> gruß tee
Danke Dir!
Gruß
el_grecco
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Hallo el_grecco,
> Welche der angegebenen Reihen konvergieren?
>
> a) [mm]\summe_{n=1}^{\infty}=\bruch{(-1)^{n}}{\wurzel[n]{n}}[/mm]
>
> b) [mm]\summe_{n=0}^{\infty}=\bruch{(n+1)^{8}}{2^{n}}[/mm]
> Hallo fencheltee,
>
> hier die a) nochmals überarbeitet:
>
>
> [mm]\bruch{(-1)^{n}}{\wurzel[n]{n}}=(-1)^{n}\cdot{}\bruch{1}{\wurzel[n]{n}}[/mm]
>
> Alternierende Reihe, da für alle [mm]n \in \IN: \bruch{1}{\wurzel[n]{n}}>0.[/mm]
> Außerdem: [mm]\bruch{1}{\wurzel[n]{n}} \xrightarrow[n \to \infty]{} \bruch{1}{1}=1,[/mm]
> also konvergiert die Folge [mm]\bruch{1}{\wurzel[n]{n}}[/mm] gegen 1. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Das Leibnizkriterium lässt sich also nicht anwenden und
> die Reihe divergiert.
Nana, nur weil sich das Leibnizkrit. nicht anwenden lässt, heißt das noch lange nicht, dass die Reihe divergent ist ...
Es gilt doch: [mm]\sum a_n \ \text{konvergent} \ \Rightarrow (a_n)_{n\in\IN} \ \text{ist Nullfolge}[/mm]
Das ist mit Kontraposition äquivalent zu ...
(nennt sich Trivialkriterium)
Also? Konvergenz oder Divergenz?
>
>
> > gruß tee
>
> Danke Dir!
>
> Gruß
> el_grecco
LG
schachuzipus
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| Aufgabe | Welche der angegebenen Reihen konvergieren?
a) $ [mm] \summe_{n=1}^{\infty}=\bruch{(-1)^{n}}{\wurzel[n]{n}} [/mm] $
b) $ [mm] \summe_{n=0}^{\infty}=\bruch{(n+1)^{8}}{2^{n}} [/mm] $ |
Hallo schachuzipus,
> Hallo el_grecco,
>
>
> > Welche der angegebenen Reihen konvergieren?
> >
> > a) [mm]\summe_{n=1}^{\infty}=\bruch{(-1)^{n}}{\wurzel[n]{n}}[/mm]
> >
> > b) [mm]\summe_{n=0}^{\infty}=\bruch{(n+1)^{8}}{2^{n}}[/mm]
> > Hallo fencheltee,
> >
> > hier die a) nochmals überarbeitet:
> >
> >
> >
> [mm]\bruch{(-1)^{n}}{\wurzel[n]{n}}=(-1)^{n}\cdot{}\bruch{1}{\wurzel[n]{n}}[/mm]
> >
> > Alternierende Reihe, da für alle [mm]n \in \IN: \bruch{1}{\wurzel[n]{n}}>0.[/mm]
> > Außerdem: [mm]\bruch{1}{\wurzel[n]{n}} \xrightarrow[n \to \infty]{} \bruch{1}{1}=1,[/mm]
> > also konvergiert die Folge [mm]\bruch{1}{\wurzel[n]{n}}[/mm] gegen
> 1.
> >
> > Das Leibnizkriterium lässt sich also nicht anwenden und
> > die Reihe divergiert.
>
> Nana, nur weil sich das Leibnizkrit. nicht anwenden lässt,
> heißt das noch lange nicht, dass die Reihe divergent ist
> ...
>
> Es gilt doch: [mm]\sum a_n \ \text{konvergent} \ \Rightarrow (a_n)_{n\in\IN} \ \text{ist Nullfolge}[/mm]
>
> Das ist mit Kontraposition äquivalent zu ...
>
>
> (nennt sich Trivialkriterium)
>
>
> Also? Konvergenz oder Divergenz?
das Trivialkriterium sagt "Ist die Folge der Reihenglieder keine Nullfolge, divergiert die Reihe."
Also habe ich hier Divergenz, da die Folge gegen 1 konvergiert.
Fertig ist die Aufgabe (vorausgesetzt ich habe das Ende jetzt nicht vermasselt  ).
> LG
>
> schachuzipus
Danke Dir!
Gruß
el_grecco
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:12 Di 25.01.2011 | | Autor: | Loddar |
Hallo el_grecco!
Nun stimmt es.
Jedoch hat bei Dir jeweils das Gleichheitszeichen unmittelbar nach dem Summenzeichen nichts verloren.
Gruß
Loddar
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:48 Di 25.01.2011 | | Autor: | el_grecco |
Hallo Loddar,
Danke Dir!
Das Gleichheitszeichen ist da irgendwie hineingerutscht. Sitze heute wohl schon zulange davor...
Gruß
el_grecco
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Hallo nochmal,
> Welche der angegebenen Reihen konvergieren?
>
> a) [mm]\summe_{n=1}^{\infty}=\bruch{(-1)^{n}}{\wurzel[n]{n}}[/mm]
>
> b) [mm]\summe_{n=0}^{\infty}=\bruch{(n+1)^{8}}{2^{n}}[/mm]
> > Nana, nur weil sich das Leibnizkrit. nicht anwenden lässt,
> > heißt das noch lange nicht, dass die Reihe divergent ist
> > ...
> >
> > Es gilt doch: [mm]\sum a_n \ \text{konvergent} \ \Rightarrow (a_n)_{n\in\IN} \ \text{ist Nullfolge}[/mm]
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> >
> > Das ist mit Kontraposition äquivalent zu ...
> >
> >
> > (nennt sich Trivialkriterium)
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> >
> > Also? Konvergenz oder Divergenz?
>
> das Trivialkriterium sagt "Ist die Folge der Reihenglieder
> keine Nullfolge, divergiert die Reihe."
> Also habe ich hier Divergenz, da die Folge gegen 1
> konvergiert.
Naja, genau genommen ist ja [mm](a_n)_{n\in\IN}=\left(\frac{(-1)^n}{\sqrt[n]{n}}\right)_{n\in\IN}[/mm]
Und das konvergiert nicht gegen 1, sondern hüpft für [mm]n\to\infty[/mm] zwischen [mm]+1[/mm] und [mm]-1[/mm] hin und her.
Auf jeden Fall ist es keine Nullfolge, daher ist deine Schlussfolgerung richtig
LG
schachuzipus
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