Konvergenz von Reihen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:05 Mi 02.12.2009 | | Autor: | Ferolei |
| Aufgabe | Untersuchen Sie folgende Reihen auf Konvergenz:
[mm] \summe_{k=1}^{n}\bruch{(k-1)^3}{k^4-2k^2+3k}
[/mm]
[mm] \summe_{k=1}^{n}\bruch{2k+1}{k(k^2+1)}
[/mm]
[mm] \summe_{k=1}^{n}\bruch{2^k}{k!}
[/mm]
[mm] \summe_{k=1}^{n}\bruch{k^2+k+1}{3k(k+1)}
[/mm]
[mm] \summe_{k=1}^{n}\bruch{[(k+1)!]^2}{3^k} [/mm] |
Hallo,
wir hatten diese Woche das Majorantenkriterium, Quotientenkriterium und Wurzelkriterium in der Vorlesung kennengelernt und sollen wohl anhand dieser die Reihen auf Konvergenz überprüfen.
Gibt es eine Methode, um festzustellen, welches Kriterium man am besten an welcher Stelle verwendet?
Wie das in Vorlesungen so ist, haben wir ganz einfache Beispiele nur besprochen.
Also habe ich versucht die Reihen umzuformen,auszuklammern oder ähnliches. Jedoch komme ich auf keine mir bekannte Reihe (zB für das Majorantenkriterium), damit ich die Reihe abschätzend kann.
Vielleicht kann mir jemand eine Tipp geben, wie ich solch eine Reihe überhaupt erst einmal angehen muss.
lG, ferolei
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:30 Mi 02.12.2009 | | Autor: | Ferolei |
zur 2 Reihe habe ich mir mal folgendes überlegt:
[mm] \summe_{k=1}^{n}\bruch{2k+1}{k(k^2+1)}
[/mm]
[mm] \bruch{2k+1}{k(k^2+1)}\le\bruch{1}{k^2+k}=\bruch{1}{k}-\bruch{1}{k+1}
[/mm]
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\summe_{k=1}^{n}\bruch{1}{k}-\bruch{1}{k+1}=1
[/mm]
Damit ist das eine konvergente Majorante und die Reihe ist somit auch konvergent.
Kann man das so machen oder ist so eine Abschätzung total daneben?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:45 Mi 02.12.2009 | | Autor: | Teufel |
Hi!
> zur 2 Reihe habe ich mir mal folgendes überlegt:
>
> [mm]\summe_{k=1}^{n}\bruch{2k+1}{k(k^2+1)}[/mm]
>
> [mm]\bruch{2k+1}{k(k^2+1)}\le\bruch{1}{k^2+k}=\bruch{1}{k}-\bruch{1}{k+1}[/mm]
Wie kommst du auf [mm] \bruch{2k+1}{k(k^2+1)}\le\bruch{1}{k^2+k}?
[/mm]
Multipliziere mal durch und schau, was da rauskommt!
Am besten machst du das immer sehr kleinschrittig:
$ [mm] \bruch{2k+1}{k(k^2+1)}\le\bruch{2k+k}{k(k^2+k)}=\bruch{3}{k^2+k}$
[/mm]
Damit kannst du auch das machen, was du dann getan hast, nur, dass du ebend as dreifache rauskriegst.
Aber du solltest auch darauf achten, dass da [mm] \infty [/mm] statt n als obere Summationsgrenze steht, denn sonst stimmt das mit der Teleskopsumme nicht!
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\summe_{k=1}^{n}\bruch{1}{k}-\bruch{1}{k+1}=1[/mm]
>
> Damit ist das eine konvergente Majorante und die Reihe ist
> somit auch konvergent.
>
> Kann man das so machen oder ist so eine Abschätzung total
> daneben?
![[anon]](/images/smileys/anon.png "[anon]") Teufel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:58 Mi 02.12.2009 | | Autor: | Ferolei |
Ok, ich mache das [mm] \infty [/mm] über die Summe, wenn ich vom Grenzwert spreche oder? Ich finde das manchmal verwirrend in der Vorlesung und in den Büchern, weil man n da steht und mal [mm] \infty.
[/mm]
Also um deine Reihe fortzusetzen einfach [mm] \bruch{3}{k}-\bruch{3}{k+1} [/mm] und das konvergiert gegen 3 ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:03 Mi 02.12.2009 | | Autor: | Teufel |
Genau.
Na ja, also [mm] \summe_{k=1}^{\infty}a_k [/mm] bedeutet 2 Sachen:
Einerseits der formale Ausdruck einer unendlichen Summe, also [mm] a_1+a_2+a_3+...
[/mm]
und andererseits den Grenzwert [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\summe_{k=1}^{n}a_n, [/mm] also der Reihenwert.
[mm] \summe_{k=1}^{n}a_n [/mm] selber ist eine Partialsumme. Diese ist nicht unendlich, sondern geht nur bis n. Und der Grenzwert dieser Partialsumme für n gegen [mm] \infty [/mm] ist dann dein Reihenwert (wie oben schon angedeutet).
Teufel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:55 Mi 02.12.2009 | | Autor: | Teufel |
Hi!
a)
Hier kann man sicher darauf kommen, dass die Folge sich [mm] \bruch{1}{k} [/mm] verhält.
Denn wenn du dir die ks mit dem höchsten Exponenten im Zähler und Nenner anguckst, hast du [mm] k^3 [/mm] im Zähler und [mm] k^4 [/mm] im Nenner.
Also kannst du wahrscheinlich mit ein paar Umformungen darauf kommen, dass diese Folge größer als [mm] \bruch{1}{k} [/mm] ist (oder größer als [mm] \bruch{1}{2k} [/mm] oder [mm] \bruch{1}{10k} [/mm] oder so etwas eben).
b)
Hast du ja.
c)
Wenn Fakultäten und k im Exponent vorkommt, kann man eigentlich immer das Quotientenkriterium auspacken. Probiere das mal.
d)
Die Folge ist keine Nullfolge. Was heißt das für die Summe?
e)
Siehe c).
Teufel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:01 Mi 02.12.2009 | | Autor: | Ferolei |
also ist d divergent! Hatten mal einen Satz, dass wenn die Folge keine Nullfolge ist, die Reihe auch nicht konvergieren kann, stimmt doch so oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:09 Mi 02.12.2009 | | Autor: | Teufel |
Genau, stimmt!
Teufel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:17 Mi 02.12.2009 | | Autor: | Ferolei |
Aber konvergiert die Folge nicht gegen 1/3 ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:20 Mi 02.12.2009 | | Autor: | Teufel |
Die Folge selber konvergiert gegen [mm] \bruch{1}{3}, [/mm] aber die Reihe ist deswegen divergent, denn es wird ja dann unendlich mal ca. [mm] \bruch{1}{3} [/mm] aufsummiert.
Teufel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:22 Mi 02.12.2009 | | Autor: | Ferolei |
Ja logisch, deshalb keine Nullfolge :)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:04 Mi 02.12.2009 | | Autor: | Ferolei |
zu a)
ja, so ein Problem hatte ich. Gilt, dass wenn ich [mm] \bruch{1}{k} [/mm] (oder ähnliches ) * irgendwas anderes habe, dass ich dann weiß, dass die Reihe divergiert?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:11 Mi 02.12.2009 | | Autor: | Teufel |
Hm ne.
[mm] \summe_{k=1}^{\infty}\bruch{1}{k}*\bruch{1}{k} [/mm] konvergiert z.B.
Teufel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:14 Mi 02.12.2009 | | Autor: | Ferolei |
Habe noch mal eine Frage zur a)
Ich habe jetzt folgende Umformung:
[mm] \bruch{1-\bruch{3}{k}-\bruch{1}{k^2}-\bruch{1}{k^3}}{k-\bruch{2}{k^2}-\bruch{1}{k^3}}
[/mm]
Darf ich daraus ableiten, dass nur [mm] \bruch{1}{k} [/mm] übrig bleibt, da der Rest ja offensichtlich gegen 0 geht? Oder muss man an dieser Stelle sagen, dass [mm] \bruch{1}{k} \le \bruch{1-\bruch{3}{k}-\bruch{1}{k^2}-\bruch{1}{k^3}}{k-\bruch{2}{k^2}-\bruch{1}{k^3}} [/mm] und das dann eine divergente Minorante ist?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:19 Mi 02.12.2009 | | Autor: | Teufel |
Nein, das kannst du nicht daraus ableiten. Das war nur so als Idee gedacht, das man sieht, dass das irgendwie was mit [mm] \bruch{1}{k} [/mm] zu tun hat, aber das erspart dir nicht die Arbeit, das alles nach unten hin abzuschätzen.
Du musst deine Folge also so lange kleiner machen, bis du direkt siehst, dass deine Folge größer ist als ein (positives) Vielfaches von [mm] \bruch{1}{k}.
[/mm]
Teufel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:24 Mi 02.12.2009 | | Autor: | Ferolei |
Muss da denn dann eine Summe stehen? Also aus dem ganzen Bruch sowas wie [mm] \bruch{1}{k} [/mm] + .... ?
ich kriege den ganzen Rest des Bruches doch nicht einfach weg, sodass da quasi fast nur noch [mm] \bruch{1}{k} [/mm] übrig bleibt?
Das ist doch gemeint, oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:26 Mi 02.12.2009 | | Autor: | Teufel |
Ja, so würde das auch gehen.
Wenn du rausbekommst, dass deine Ursprungsfolge größer als [mm] \bruch{1}{k}+1 [/mm] ist, so ist das natürlich auch schon richtig.
Teufel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:29 Mi 02.12.2009 | | Autor: | Ferolei |
sowas tolles erhalte ich leider nicht :/
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:47 Mi 02.12.2009 | | Autor: | Teufel |
Du musst versuchen, die Folge immer nach unten abzuschätzen, aber, wie schon beschrieben, immer schön kleinschrittig. Sonst kann es auch sein, dass du die Folge viel zu klein machst.
Mal anfangen:
[mm] \bruch{(k-1)^3}{k^4-2k^2+3k}>\bruch{(k-1)^3}{k^4-2k^2+3k^2}=\bruch{(k-1)^3}{k^4+k^2}=\bruch{k^3-3k^2+3k-1}{k^4+k^2}>\bruch{k^3-3k^2}{k^4+k^2}>\bruch{k^3-3k^2}{k^4+k^4}=\bruch{k^3-3k^2}{2k^4}=...
[/mm]
Vielleicht kannst du das ja noch zu Ende bringen.
Teufel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:13 Mi 02.12.2009 | | Autor: | Ferolei |
Ich finde das echt voll super, dass du mir hilfst. Danke...aber ich kann mich echt auf den Kopf stellen....wenn ich den Bruch veränder, kriege ich irgendwie immer etwas, dass größer ist :(
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:34 Mi 02.12.2009 | | Autor: | Ferolei |
Ich finde nur [mm] \bruch{k^3-3k}{2k^4} [/mm] der kleiner ist als der vorherige ... aber mit dem kann man ja nichts anfangen
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:49 Mi 02.12.2009 | | Autor: | Teufel |
[mm] \bruch{k^3-3k}{2k^4} [/mm] ist größer als [mm] \bruch{k^3-3k^2}{2k^4}!
[/mm]
[mm] \bruch{k^3-3k}{2k^4}>\bruch{k^3-3k^2}{2k^4}
[/mm]
[mm] k^3-3k>k^3-3k^2
[/mm]
[mm] -3k>-3k^2
[/mm]
[mm] k^2>k
[/mm]
k>1
Du musst dir wahrscheinlich nur mal genau anschauen, wie man Terme (fast nach Belieben) kleiner und größer machen kann.
Um Terme größer zu machen kannst du unter anderem:
den Nenner eines Bruches kleiner machen oder den Zähler größer.
Du kannst bei Differenzen a-b das b kleiner machen (oder das a größer).
Und um Terme kleiner zu machen, kannst du unter anderem:
Nenner größer machen oder Zähler kleiner machen und bei Differenzen a-b das b größer machen oder das a kleiner.
Mit diesen Sachen kannst du immer rumspielen, bis du das gewünschte Ergebnis hast!
Teufel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:00 Mi 02.12.2009 | | Autor: | Ferolei |
Ok danke, hilft mir bestimmt in vielen Fällen !
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:41 Mi 02.12.2009 | | Autor: | Teufel |
Kein Problem!
Na ja, ok, ich kann ja mal weitermachen. Vielleicht hilft es dir ja, das mal komplett gesehen zu haben!
[mm] \bruch{k^3-3k^2}{2k^4}=\bruch{k-3}{2k^2}>\bruch{k-\bruch{1}{2}k}{2k^2}=\bruch{\bruch{1}{2}k}{2k^2}=\bruch{1}{4k}
[/mm]
Hier muss man nur beachten, dass das Ungleichheitszeichen nicht für alle k gilt, sondern erst ab k=7.
Aber das kannst du auch ruhig so machen, denn im Endeffekt geht es ja nur um den Grenzwert, wenn k gegen [mm] \infty [/mm] geht. Da kann die Summe auch ruhig für endlich viele Werte mal ein bisschen größer als die harmonische Reihe sein.
Teufel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:52 Mi 02.12.2009 | | Autor: | Ferolei |
Das Ganze kommt mir vor wie Zauberei :)
Kriegt man da allmählich ein Gefühl für oder kann man das oder eben nicht?
Das war nämlich mein Problem. Ich habe mal Werte eingesetzt (leider nur bis 5 :) ) und stellte fest, dass ich nie kleiner werde.
Ich finde wirklich schwer sowas zu sehen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:02 Mi 02.12.2009 | | Autor: | Ferolei |
Nur, um das nochmal richtig zu verstehen.
[mm] \summe_{k=1}^{\infty}\bruch{1}{4k} [/mm] ist also divergente Minorante und damit divergiert die Reihe ?
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Hallo Ferolei,
> Nur, um das nochmal richtig zu verstehen.
>
> [mm]\summe_{k=1}^{\infty}\bruch{1}{4k}[/mm] ist also divergente
> Minorante und damit divergiert die Reihe ? ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
So ist es.
Dass [mm] $\sum\frac{1}{4k}$ [/mm] divergiert, sollte klar sein, denn du kannst es ja schreiben als [mm] $\frac{1}{4}\cdot{}\sum\frac{1}{k}$ [/mm]
Und wenn [mm] $\sum\frac{1}{k}$ [/mm] gegen [mm] $\infty$ [/mm] divergiert (harmonische Reihe), so tut es [mm] $\frac{1}{4}\cdot{}\sum\frac{1}{k}$ [/mm] sicher auch.
LG
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:20 Mi 02.12.2009 | | Autor: | Ferolei |
Ist einleuchtend :) Danke
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:18 Mi 02.12.2009 | | Autor: | Ferolei |
Ich habe mir jetzt mal die c angeguckt.
Kann ich das so machen:
[mm] |\bruch{a_{k+1}}{a_k}|=|\bruch{\bruch{2^{k+1}}{(k+1)!}}{\bruch{2^k}{k!}}|=|\bruch{2^{k+1}*k!}{(k+1)!*2^k}|=|\bruch{2^k*2*k!}{2^k*(k+1)!}|=|\bruch{2*k!}{(k+1)!}|=|\bruch{2*k!}{(k+1)*k!}|=\bruch{2}{k+1}
[/mm]
Und das ist mein supremum? Heißt das dann, dass die Reihe konvergiert?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:20 Mi 02.12.2009 | | Autor: | Teufel |
Genau.
Du kannst nun k gegen [mm] \infty [/mm] streben lassen (ist hier gleichbedeutend mit dem limsup, da es ja nur einen Häufungspunkt, nämlich den Grenzwert der Folge, gibt).
Erhalten tust du dann 0, was ja kleiner als 1 ist. Damit konvergiert deine Folge.
Teufel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:25 Mi 02.12.2009 | | Autor: | Ferolei |
Das heißt, nur wenn der Grenzwert kleiner ist als 1 konvergiert die Folge?
Das hatte ich bisher meinem Satz nicht entnehmen können.
Bei >1 divergiert die Reihe ? Und bei =1 ? Muss dann ein anderes Kriterium herangezogen werden?
Womit hängt das denn zusammen, dass das so gilt?
Hat das was mit der geometrischen Reihe zu tun?
Da hatten wir ja auch sowas, dass die Reihe nur für |q|<1 konvergiert .
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:44 Mi 02.12.2009 | | Autor: | Teufel |
Wie lautet denn dein Satz?
Und ja, wenn der Grenzwert größer als 1 ist, divergiert die Reihe. Wenn der Grenzwert=1 ist, kann man im Allgemeinen keine Aussage über die Reihenkonvergenz treffen. Nur wenn der Grenzwert <1 ist, konvergiert die Reihe auf alle Fälle.
Wenn du =1 herausbekommst, kannst du dann ein anderer Kriterium versuchen (z.B. das Wurzelkriterium).
Herleiten kann man sich das Quotientenkriterium mit Hilfe des Majorantenkriteriums.
Wenn [mm] |\bruch{a_{n+1}}{a_n}|
[mm] |a_{n+1}|<|a_n|*C
[/mm]
Nun ist aber auch [mm] |\bruch{a_n}{a_{n-1}}|
Insgesamt bis jetzt:
[mm] |a_{n+1}|<|a_n|*C<|a_{n-1}|*C^2
[/mm]
Das kann man immer weiter so fortführen.
[mm] |a_{n+1}|<|a_n|*C<|a_{n-1}|*C^2<...<|a_1|*C^n
[/mm]
Und wenn nun 0 [mm] \le [/mm] C<1 gilt, dann ist [mm] |a_1|*C^n [/mm] eine konvergierende Majorante für [mm] a_{n+1} [/mm] (und eben auch für [mm] a_{n}), [/mm] denn es gilt ja dann:
0 [mm] \le \summe_{n=1}^{\infty}|a_{n+1}|<|a_1|\summe_{n=1}^{\infty}C^n
[/mm]
und [mm] \summe_{n=1}^{\infty}C^n [/mm] ist eine geometrische, konvergierende Reihe.
Das Wurzelkriterium kann man auch so in etwa beweisen.
Teufel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:38 Mi 02.12.2009 | | Autor: | Ferolei |
Ich habe bisher nie mit Fakultät gerechnet.
Wie lautet denn die Rechenregel, wenn ich zB
(k+2)! auseinander pflücken will... oder genauer [mm] [(k+2)^2]! [/mm] ?
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Hallo nochmal,
du solltest unbedingt der Übersichtlichkeit halber immer erwähnen, was genau du gerade rechnest und worauf du dich beziehst!
> Ich habe bisher nie mit Fakultät gerechnet.
>
> Wie lautet denn die Rechenregel, wenn ich zB
>
> (k+2)! auseinander pflücken will... oder genauer
> [mm][(k+2)^2]![/mm] ?
Da sind doch Klammen falsch!
Es ist für die Reihe [mm] $\sum\frac{\left[(k+1)!\right]^2}{3^k}$ [/mm] doch
[mm] $\left|\frac{a_{k+1}}{a_k}\right|=\frac{\left[(k+2)!\right]^2}{3^{k+1}}\cdot{}\frac{3^k}{\left[(k+1)!\right]^2}$
[/mm]
Nun bedenke, dass [mm] $(k+2)!=(k+1)!\cdot{}(k+2)$
[/mm]
Klammern richtig beachten und weiter gehts ...
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:08 Mi 02.12.2009 | | Autor: | Ferolei |
Kriege [mm] \bruch{(k+2)^2}{3} [/mm] raus !
Also [mm] \bruch{(k+2)^2}{3}>1 [/mm] für k [mm] \to \infty [/mm]
Divergent !?
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Hallo nochmal,
> Kriege [mm]\bruch{(k+2)^2}{3}[/mm] raus !
Ich auch!
>
> Also [mm]\bruch{(k+2)^2}{3}>1[/mm] für k [mm]\to \infty[/mm]
Ja, schreibe besser [mm] $\frac{(k+2)^2}{3}\longrightarrow\infty [/mm] \ \ $ für [mm] $k\to\infty$ [/mm]
>
> Divergent !?
Ganz recht!
LG
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:17 Mi 02.12.2009 | | Autor: | Ferolei |
SUPER !
Dann wären diese Aufgaben ja alle erledigt und verstanden :)
Vielen Dank euch beiden !!!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:17 Do 03.12.2009 | | Autor: | Ferolei |
Ich habe irgendwie ein Problem.
ich betrachte mir gerade das Quotientenkriterium.
Es heißt doch, wenn ich ich eine Reihe habe, deren Folge keine Nullfolge ist, dann divergiert die Reihe.
Aber mit dem Qk ermittel ich doch den Grenzwert der Folge und der ist doch nicht gleich 0.
???
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Hi,
> Ich habe irgendwie ein Problem.
>
> ich betrachte mir gerade das Quotientenkriterium.
>
> Es heißt doch, wenn ich ich eine Reihe habe, deren Folge
> keine Nullfolge ist, dann divergiert die Reihe.
> Aber mit dem Qk ermittel ich doch den Grenzwert der Folge
Nein! Du ermittelst den Grenzwert des Quotienten zwei aufeinanderfolgender Glieder!
> und der ist doch nicht gleich 0.
>
> ???
Stefan.
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