Konvergenz von Reihen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:17 Do 23.04.2009 | | Autor: | StevieG |
| Aufgabe | Untersuchen Sie die Reihen auf Konvergenz. Benutzen Sie Dazu die einschlägigen Konvergenzkriterien aus der Vorlesung.
[mm] \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{4n^{2}}{3n^{3}-2} [/mm] |
[mm] \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{4n^{2}}{3n^{3}-2} [/mm] =
Ich hole [mm] n^{2}raus, [/mm] kürze mit dem Nenner.
[mm] \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{4}{3n-2} [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{4}{n(3-\bruch{2}{n})}= \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] = 0
?
Gruss
|
|
| |
|
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{4n^{2}}{3n^{3}-2}[/mm]
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{4n^{2}}{3n^{3}-2}[/mm] =
>
> Ich hole [mm]n^{2}raus,[/mm] kürze mit dem Nenner.
>
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{4}{3n-2}[/mm] =
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{4}{n(3-\bruch{2}{n})}= \limes_{n\rightarrow\infty}[/mm]
> = 0
Hallo!
Nein, das ist leider falsch. Du darfst den Limes nicht in eine "unendliche Summe" ziehen. Zur Auswertung musst du eines der Konvergenzkriterien für Reihen anwenden.
Vielleicht probierst du mal das Quotientenkriterium aus, falls ihr das schon hattet. Tipp: Es wird fehlschlagen, denn die Reihe konvergiert nicht. Das kann man auch an der auffälligen Ähnlichkeit zur harmonischen Reihe sehen (die nicht konvergiert).
Viele Grüße, Stefan.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:58 Do 23.04.2009 | | Autor: | StevieG |
Danke erstmal für die Antworten.
Ich habe Quotientenkriterium angewendet. |ak+1 / ak|
Komme aber durch kürzen auf 1/n * ... Somit Grenzwert 0.
Somit würde die reihe doch konvergieren?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:01 Do 23.04.2009 | | Autor: | fred97 |
> Danke erstmal für die Antworten.
>
> Ich habe Quotientenkriterium angewendet. |ak+1 / ak|
>
> Komme aber durch kürzen auf 1/n * ... Somit Grenzwert 0.
>
> Somit würde die reihe doch konvergieren?
Das stimmt doch nicht! Bei obiger Reihe ist
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}|\bruch{a_{k+1}}{a_k}| [/mm] = 1
Zeig mal Deine Rechnungen.
FRED
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:09 Do 23.04.2009 | | Autor: | StevieG |
...= [mm] \bruch{4(n+1)^{2}}{3(n+1)^{2}}\bruch{3n^{3}-2}{4n^{2}}=
[/mm]
[mm] \bruch{(4n+4)^{2}}{(3n+3)^{3}-2}\bruch{3n^{3}-2}{4n^{2}}=... [/mm] stimmt das überhaupt bis hierhin?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:11 Do 23.04.2009 | | Autor: | fred97 |
Nein.
FRED
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:14 Do 23.04.2009 | | Autor: | StevieG |
Wo ist der Fehler?
|
|
|
| |
|
> ...=
> [mm]\bruch{4(n+1)^{2}}{3(n+1)^{2}-2}\bruch{3n^{3}-2}{4n^{2}}=[/mm]
>
> [mm]\bruch{(4n+4)^{2}}{(3n+3)^{3}-2}\bruch{3n^{3}-2}{4n^{2}}=...[/mm]
> stimmt das überhaupt bis hierhin?
Hallo,
es ist [mm] 4(n+1)^{2}\not=(4n+4)^{2}, [/mm] im Nenner entsprechend.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:28 Do 23.04.2009 | | Autor: | StevieG |
...= [mm] \bruch{4n² +8n +4}{3n³+9n²+12n+6-2}\bruch{3n³-2}{4n²}= [/mm] ...
richtig?
|
|
|
| |
|
Hallo StevieG,
> ...= [mm]\bruch{4n² +8n +4}{3n³+9n²+12n+6-2}\bruch{3n³-2}{4n²}=[/mm]
> ...
>
>
> richtig?
Nein, es ist [mm] $3(n+1)^3=3(n^3+3n^2+3n+1)=3n^3+9n^2+9n+3$
[/mm]
Der Nenner im ersten Bruch ist also falsch.
Das ist zwar bei dem jetzt anstehenden Grenzübergang [mm] $n\to\infty$ [/mm] unerheblich, aber falsch ist's trotzdem
LG
schachuzipus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:17 Do 23.04.2009 | | Autor: | StevieG |
Dann kann ich doch die 4n² im zähler und nenner kürzen, sowie 3n³ ?
|
|
|
| |
|
Hallo nochmal,
> Dann kann ich doch die 4n² im zähler und nenner kürzen,
> sowie 3n³ ?
Schlechter Scherz!
"Aus Summen kürzen ..."
Du müsstest [mm] \text{Zähler}\cdot{}\text{Zähler} [/mm] und [mm] \text{Nenner}\cdot{}\text{Nenner} [/mm] rechnen.
Das gibt dir in Zähler und Nenner als Summand mit der höchsten Potenz von n jeweils [mm] 12n^5
[/mm]
Das ausklammern, kürzen und dann den Grenzübergang [mm] n\to\infty
[/mm]
Es bleibt beim GW 1 (also hast du mit dem QK keine Aussage), was ja eigentlich schon längst hier im thread geklärt ist ...
LG
schachuzipus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:18 Do 23.04.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Stevie!
Hast Du denn schon das notwendige Kriterium für Reihenkonvergenz überprüft?
Denn nur wenn es sich bei der aufzusummierenden Folge um eine Nullfolge handelt, besteht überhaupt eine Chance auf Reihenkonvergenz.
Gruß
Loddar
|
|
|
|
