Konvergenz von Reihen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:04 Do 23.04.2009 | | Autor: | StevieG |
| Aufgabe | Untersuchen Sie die Reihen auf Konvergenz. Konvergenzkriterien benutzen.
[mm] \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{2}{3+4n} [/mm] |
Quotientenkriterium:
[mm] \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{2}{3+4n} [/mm] = [mm] \summe_{n=0}^{\infty} [/mm] ak=
[mm] |\bruch{ak+1}{ak}| [/mm] = [mm] |\bruch{\bruch{2}{3+4(n+1)}}{\bruch{2}{3+4n}}=
[/mm]
[mm] \bruch{2}{3+4n+4}\bruch{3+4n}{2}= \bruch{1}{4}
[/mm]
Reihe ist konvergent mit Grenzwert [mm] \bruch{1}{4}
[/mm]
?
Gruss
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:17 Do 23.04.2009 | | Autor: | fred97 |
> Untersuchen Sie die Reihen auf Konvergenz.
> Konvergenzkriterien benutzen.
>
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty} \bruch{2}{3+4n}[/mm]
>
> Quotientenkriterium:
>
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty} \bruch{2}{3+4n}[/mm] =
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty}[/mm] ak=
> [mm]|\bruch{ak+1}{ak}|[/mm] =
> [mm]|\bruch{\bruch{2}{3+4(n+1)}}{\bruch{2}{3+4n}}=[/mm]
> [mm]\bruch{2}{3+4n+4}\bruch{3+4n}{2}= \bruch{1}{4}[/mm]
Das ist doch Unsinn !
Es ist [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{2}{3+4n+4}\bruch{3+4n}{2} [/mm] = 1
Damit versagt das Quotientenkriterium !!
Tipp: zeige: [mm] \bruch{2}{3+4n} \ge \bruch{1}{3n} [/mm] für n [mm] \ge [/mm] 2
Damit ist nach dem Minorantenkriterium die Reihe
$ [mm] \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{2}{3+4n} [/mm] $ divergent
FRED
>
> Reihe ist konvergent mit Grenzwert [mm]\bruch{1}{4}[/mm]
>
> ?
>
> Gruss
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:44 Do 23.04.2009 | | Autor: | StevieG |
Soll ich den Beweis mittels voll. Induktion zeigen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:55 Do 23.04.2009 | | Autor: | fred97 |
Wenn Du das
$ [mm] \bruch{2}{3+4n} \ge \bruch{1}{3n} [/mm] $
meinst, so wäre Induktion etwas zu aufgebläht. Versuchs mal mit Äquivlenzumformungen.
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:08 Do 23.04.2009 | | Autor: | StevieG |
[mm] \bruch{2}{3+4n}\ge\bruch{1}{4n}\ge\bruch{1}{3n}
[/mm]
?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:10 Do 23.04.2009 | | Autor: | StevieG |
Das ist Blödsinn.
Ich habe keine Ahnung
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:16 Do 23.04.2009 | | Autor: | fred97 |
> Das ist Blödsinn.
So ist es. steppenhahn antwortet gleich
FRED
>
> Ich habe keine Ahnung
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> [mm]\bruch{2}{3+4n}\ge\bruch{1}{4n}\ge\bruch{1}{3n}[/mm]
Hallo!
Mit "Äquivalenzumformungen" meinte Fred glaub ich etwas anderes:
[mm]\bruch{2}{3+4n}\ge\bruch{1}{3n}[/mm]
[mm]\gdw 2*3n\ge3+4n[/mm]
...
Und das jetzt zu einer wahren Aussage führen.
Viele Grüße, Stefan.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:22 Do 23.04.2009 | | Autor: | fred97 |
> > [mm]\bruch{2}{3+4n}\ge\bruch{1}{4n}\ge\bruch{1}{3n}[/mm]
>
> Hallo!
>
> Mit "Äquivalenzumformungen" meinte Fred glaub ich etwas
> anderes:
>
> [mm]\bruch{2}{3+4n}\ge\bruch{1}{3n}[/mm]
>
> [mm]\gdw 2*3n\ge3+4n[/mm]
>
> ...
>
> Und das jetzt zu einer wahren Aussage führen.
>
> Viele Grüße, Stefan.
Genauso hab ich es gemeint
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:33 Do 23.04.2009 | | Autor: | StevieG |
Wolltet ihr daruf hinaus:
2 * 3n [mm] \ge [/mm] 3+4n [mm] \Rightarrow \bruch{2}{3+4n}\ge \bruch{2}{2*3n} [/mm] = [mm] \bruch{1}{3n}
[/mm]
?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:44 Do 23.04.2009 | | Autor: | abakus |
> Wolltet ihr daruf hinaus:
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> 2 * 3n [mm]\ge[/mm] 3+4n [mm]\Rightarrow \bruch{2}{3+4n}\ge \bruch{2}{2*3n}[/mm]
> = [mm]\bruch{1}{3n}[/mm]
>
> ?
Im Prinzip ja. Man muss nur ergänzen, dass
[mm] \bruch{2}{3+4n}\ge \bruch{2}{2*3n} [/mm] für n=1 noch nicht gilt, erst ab n=2.
Aber es tut dem Majorantenkriterium keinen Abbruch, wenn nur endlich viele Summanden "aus der Reihe tanzen".
Gruß Abakus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:46 Do 23.04.2009 | | Autor: | fred97 |
> > Wolltet ihr daruf hinaus:
> >
> > 2 * 3n [mm]\ge[/mm] 3+4n [mm]\Rightarrow \bruch{2}{3+4n}\ge \bruch{2}{2*3n}[/mm]
> > = [mm]\bruch{1}{3n}[/mm]
> >
> > ?
> Im Prinzip ja. Man muss nur ergänzen, dass
> [mm]\bruch{2}{3+4n}\ge \bruch{2}{2*3n}[/mm] für n=1 noch nicht gilt,
> erst ab n=2.
> Aber es tut dem Majorantenkriterium keinen Abbruch, wenn
> nur endlich viele Summanden "aus der Reihe tanzen".
Im Falle der oben vorgelegten Reihe ist das Minorantenkriterium gefragt
(Du hast Dich sicher verschrieben)
Gruß FRED
>
> Gruß Abakus
>
>
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