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Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo ihr MatheChecker!
Wir (2 DMTlerinnen) können die folgende Aufgabe nicht lösen...
Man überprüfe, welche der folgenden Reihen konvergent sind:
a) \summe n \bruch{n^{2}}{2^{n}-1,5}
b) \summe n \bruch{1}{\wurzel{n+1,5}
Über schnelle Hilfe (Lösungsweg mit guter Erklärung) würden wir uns sehr freuen!
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Nochmal Hallo ihr Mathechecker!
Wir , 2 DMTlerinnen, kommen mit der folgenden Aufgabe nicht ganz klar.
Da die Formelzeichen nicht funktionieren... schreiben wirs halt "zu Fuß".
Man überprüfe, welche der folgenden Reihen konvergent sind:
a) Summenzeichen n (n hoch 2) : ((2 hoch n)-1,5)
b) Summenzeichen n 1: Wurzel aus (n+1,5)
Für hilfreiche und ausführliche Lösungswege bedanken wir uns schonmal im Voraus.
Bei Fragen zum Thema "Druck" stehn WIR euch gerne zur Verfügung
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Ha... es hat also doch funktioniert...
auf meinem Rechner wurd halt nix dargestellt...
Naja, scheint ja doch irgendwie geklappt zu haben...
Ja, die Aufgaben sind richtig...
Werden uns dann nochmal n bisschen damit beschäftigen und uns dann wieder melden.
DMT= Druck- und Medientechnologie
Darum ja: Bei Fragen zum Thema Druck bei uns melden (siehe 2ter Versuch Aufgabe verständlich darzustellen).
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Also ich hab dann mal was versucht...
[mm] \bruch{n^{2}}{2^{n}-1,5}
[/mm]
ich hab dann einfach mal durch [mm] n^{2} [/mm] geteilt
-> [mm] \bruch{1}{{\bruch{2^{n}}{n^2}}-{\bruch{1,5}{n^2}}}
[/mm]
(boah...is ja schlimmer als C proggen)
dann hab ich mir gedacht, dass [mm] \bruch{2^n}{n^2} [/mm] konvergiert, weil der Nenner schneller wächst als der Zähler... was meiner meinung die Bedingung für ne Nullfolge ist... die ja bekanntlich immer konvergiert...
bei [mm] \bruch{1,5}{n^2} [/mm] ists genauso... und wenn schon beide konvergiern, konvergiert halt das ganze Ding...
und der Grenzwert ist 0
So hab ich mir das jetzt einfach mal gedacht... ist aber wohl nicht ne Erklärung die ich morgen in der Klausur abliefer kann...
Würd mich über eine weitere (möglichst schnelle ) Rückmeldung freuen.
Bei der 2. Aufgabe hab ich übrigens gar keinen Plan wie ich anfangen soll.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:21 Mi 23.03.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo DMT-Checker!
> Also ich hab dann mal was versucht...
> [mm]\bruch{n^{2}}{2^{n}-1,5}[/mm]
> ich hab dann einfach mal durch [mm]n^{2}[/mm] geteilt
> -> [mm]\bruch{1}{{\bruch{2^{n}}{n^2}}-{\bruch{1,5}{n^2}}}[/mm]
> dann hab ich mir gedacht, dass [mm]\bruch{2^n}{n^2}[/mm]
> konvergiert, weil der Nenner schneller wächst als der
> Zähler... was meiner meinung die Bedingung für ne Nullfolge
> ist... die ja bekanntlich immer konvergiert...
Mit dieser Argumentation hättest Du aber bereits in der Ausgangsdarstellung beginnen können ...
Leider sind wir hier noch nicht fertig ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") ...
Damit eine (unendliche) Reihe [mm] $\summe_{n=1}^{\infty} a_n$ [/mm] konvergiert, ist es ein ein notwendiges Kriterium, daß die Folge [mm] $$ [/mm] eine Nullfolge ist.
Aber nicht jede Reihe mit [mm] $$ [/mm] als Nullfolge konvergiert.
Hast Du Dir mal den o.g. Link durchgelesen?
Für Reihen gibt es mehrere  Konvergenzkriterien, mit denen man die Konvergenz bzw. Divergenz der Reihe nachweisen kann:
- Wurzelkriterium
- Quotientenkriterium
- LEIBNIZ-Kriterium
- Majoranten-Kriterium / Minoranten-Kriterium
Für die 1. Aufgabe fällt mir leider spontan kein Ansatz ein bzw. welches Kriterium hier anzuwenden ist.
So, ab hier wird's (nach einem aufmerksamen Hinweis von Andreas) Käse!
Für die 2. Aufgabe funktioniert der Nachweis auf jeden Fall mit dem Quotienten-Kriterium.
"Blödsinn" gecancelt ... ![[sorry]](/images/smileys/sorry.gif "[sorry]")
ich denke, dass die konvergenzuntersuchung der reihe in obiger antwort falsch ist, da man zeigen muss, dass es ein $q [mm] \in \mathbb{R}$ [/mm] gibt, so dass
[m] \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \ \right| \leq q < 1 [/m]
für alle $n [mm] \geq n_0$, [/mm] dass man den quotienten also echt von der $1$ trennen kann (siehe auch in dem von dir angegebenen link). in diesem fall nähert sich der quotient aber beliebig nahe der $1$, womit mit diesem kriterium keine aussage möglich ist.
außerdem hat die reihe die divergente minorante
[m] \sum_{n =1}^\infty \frac{1}{n+1,5} \leq \sum_{n =1}^\infty \frac{1}{\sqrt{n+1,5}} [/m]
(c) by Andreas
Siehst Du nun etwas klarer?
Gruß
Loddar
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:14 Do 24.03.2005 | | Autor: | andreas |
hi
noch ein kleiner denkanstoß für die erste reihe: zeigt, dass es ein [mm] $n_0 \in \mathbb{N}$ [/mm] gibt, so dass
[m] 0 \leq \frac{n^2}{2^n - 1.5} \leq \frac{n^2}{2^n - 2^{n-1}} = \frac{n^2}{2^{n-1}} [/m]
für alle $n [mm] \geq n_0$. [/mm] nun genügt es zu ziegen, dass die reihe
[m] \sum_{n=1}^\infty \frac{n^2}{2^{n-1}} [/m]
konvergiert und das sollte mit dem quotientenkriterium eigentlich machbar sein. probiert das doch mal, wenn etwas unklar ist, oder ihr irgendwo hängen bleibt meldet euch einfach nochmal.
grüße
andreas
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![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
!!
![[kopfkratz3]](/images/smileys/kopfkratz3.gif "[kopfkratz3]"){kind=small}
