Konvergenz von Reihen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:21 Fr 12.12.2008 | | Autor: | ulla |
| Aufgabe | Es sei [mm] p\in\IN. [/mm] Untersuchen sie die folgenden Reihen auf Konvergenz und absolute Konvergenz.
i) [mm] \summe_{v=1}^{\infty} \bruch{1}{v\wurzel[p]{v}}
[/mm]
ii) [mm] \summe_{v=1}^{\infty} (-1)^{v} [/mm] * [mm] \bruch{v}{v^{2}+1} [/mm] |
Hier meien Lösung oder zumindest ein Ansatz:
[mm] i)a_{v}= \bruch{1}{v\wurzel[p]{v}} [/mm] => [mm] a_{v} [/mm] monoton fallend gegen 0 (v-> [mm] \infty)
[/mm]
[mm] \summe_{k=0}^{n} 2^{k}*a_{2^{k}}=\summe_{k=0}^{n} \bruch{2^{k}}{2^{k} * \wurzel[p]{2^{k}}}= \summe_{k=0}^{n} (\bruch{1}{\wurzel[p]{2}} [/mm] -> [mm] \bruch{1}{1- \bruch{1}{\wurzel[p]{v}}}
[/mm]
=> [mm] \summe_{k=0}^{n} 2^{k}*a_{2^{k}} [/mm] ist absolut konvergent
=> [mm] \summe_{v=1}^{\infty} \bruch{1}{v\wurzel[p]{v}} [/mm] ist absolut konvergent
sollte ich nun hier auch noch zeigen , dass es nur konvergent ist? Mein versuch dazu wäre dieser.
[mm] a_{v}= \bruch{1}{v\wurzel[p]{v}} [/mm] -> [mm] a_{v} [/mm] >= [mm] \wurzel{1}{v^{2}}
[/mm]
wäre [mm] \bruch{1}{v\wurzel[p]{v}} [/mm] < [mm] \infty, [/mm] so wäre auch [mm] \wurzel{1}{v^{2}} [/mm] < [mm] \infty [/mm] -> stimmt nach unserem Satz den wir aufgeschrieben haben.
ii)da der Zählergrad < Nennergrad geht die Reihe gegen 0
[mm] v^{2}*|a_{v}|= \bruch{1}{1+\bruch{1}{v^{2}}} [/mm] -> 1
und weiter komm ich nicht, kann mir jemand helfen?
Ich habe diese Aufgabe in keinem anderen Forum gestellt
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:24 Fr 12.12.2008 | | Autor: | ulla |
an der Stelle an der ich konvergenz zeigen möchte bei der i) habe ich mich verschrieben, es müsste heißen [mm] \bruch [/mm] {1}{v^ {2}} anstatt der Wurzel
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Hallo ulla,
> Es sei p [mm]\in \IN.Untersuchen[/mm] sie die folgenden Reihen auf
> Konvergenz und absolute Konvergenz.
> i) [mm]\summe_{v=1}^{\infty} \bruch{1}{v\wurzel[p]{v}}[/mm]
> ii)
> [mm]\summe_{v=1}^{\infty} (-1)^{v}[/mm] * [mm]\bruch{v}{v^{2}+1}[/mm]
> Hier meien Lösung oder zumindest ein Ansatz:
>
> [mm]i)a_{v}= \brucvh{1}{v\wurzel[p]{v}}[/mm] => [mm]a_{v}[/mm] monoton
> fallend gegen 0 (v-> [mm]\infty)[/mm]
> [mm]\summe_{k=0}^{n} 2^{k}*a_{2^{k}}=\summe_{k=0}^{n} \bruch{2^{k}}{2^{k} * \wurzel[p]{2^{k}}}= \summe_{k=0}^{n} (\bruch{1}{\wurzel[p]{2}}[/mm]
Hier fehlt doch ein "hoch k"
Leider ist das nur schwer zu entziffern, zumal du das ziemlich ohne Kommentar hier hingeklatscht hast, ist das mit dem [mm] $2^k$ [/mm] das Cauchy'sche Verdichtungskriterium oder wie?
Du hast also mit dem Verdichtungskriterium [mm] $\sum\limits_k \left(\frac{1}{2^{\frac{1}{p}}}\right)^k$, [/mm] also eine geometrische Reihe, also absolute Konvergenz.
Beachte, dass wegen [mm] $2^{\frac{1}{p}}>1$ [/mm] der Bruch [mm] $\frac{1}{2^{\frac{1}{p}}}<1$ [/mm] ist
> -> [mm]\bruch{1}{1- \bruch{1}{\wurzel[p]{v}}}[/mm]
wieso sollte das der GW der Ausgangsreihe sein? Das Verdichtungskriterium sagt doch nur etwas über die Konvergenzart
Der GW der Verdichtungsreihe ist [mm] $\frac{1}{1-\frac{1}{2^{\frac{1}{p}}}}$, [/mm] aber den brauchst du nicht, es reicht, dass die Verdichtungsreihe absolut konvergent ist, also (da die Konvergenzart gleich ist) auch die Ausgangsreihe
> =>
> [mm]summe_{k=0}^{n} 2^{k}*a_{2^{k}}[/mm] ist absolut konvergent ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Bitte benutze die Vorschaufunktion und editiere deine Artikel ggfs. vor dem Abschicken, das ist Kacke zu lesen, echt!
> => [mm]\summe_{v=1}^{\infty} \bruch{1}{v\wurzel[p]{v}}[/mm] ist
> absolut konvergent
> sollte ich nun hier auch noch zeigen , dass es nur
> konvergent ist? Mein versuch dazu wäre dieser.
Nein, aus absoluter Konvergenz folgt Konvergenz automatisch!
> [mm]a_{v}= \bruch{1}{v\wurzel[p]{v}}[/mm] -> [mm]a_{v}[/mm] >=
> [mm]\wurzel{1}{v^{2}}[/mm]
> wäre [mm]\bruch{1}{v\wurzel[p]{v}}[/mm] < [mm]\infty,[/mm] so wäre auch
> [mm]\wurzel{1}{v^{2}}[/mm] < [mm]\infty[/mm] -> stimmt nach unserem Satz den
> wir aufgeschrieben haben.
>
> ii)da der Zählergrad < Nennergrad geht die Reihe gegen 0 ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
die Folge der Reihenglieder geht gegen 0, die Reihe (zumindest mit der Begründung) noch lange nicht
> [mm]v^{2}*|a_{v}|= \bruch{1}{1+\bruch{1}{v^{2}}}[/mm] -> 1
> und weiter komm ich nicht, kann mir jemand helfen?
Hier in (ii) hast du ja eine alternierende Reihe [mm] $\sum (-1)^v\cdot{}a_v$ [/mm] , da gibt's doch das nette Kriterium von Leibniz, untersuche, ob [mm] $(a_v)_{v\in\IN}$ [/mm] eine monoton fallende Nullfolge mit ausschließlich positiven Gliedern ist
Nullfolge hast du schon gesagt, alle [mm] $a_v>0$ [/mm] ist auch klar, bleibt die Monotonie zu untersuchen ...
>
>
> Ich habe diese Aufgabe in keinem anderen Forum gestellt
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:24 Fr 12.12.2008 | | Autor: | ulla |
Entschuldige meine Schreibweise bei der Frage vorher.
Also stimmt dass dann so bei der i) bis auf meine tollen Formfehler?
bei der ii) hab ich es nochmal versucht, anhand den Dingen, die wir zu Leibniz aufgeschrieben haben
[mm] \summe_{v=1}^{\infty}|(-1)* \bruch{v}{v^{2}+1}|=\summe_{v=1}^{\infty} [/mm] => divergent
[mm] \bruch{v}{v^{2}+1} [/mm] = [mm] \bruch{1}{1+\bruch{1}{v^{2}}} [/mm] ->1
somit ist die Reihe nicht konvergent
ich bin mir aber nicht sicher , vielleicht könntest du mir einen anderen Ansatz dazu geben?
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Hallo nochmal,
> Entschuldige meine Schreibweise bei der Frage vorher.
> Also stimmt dass dann so bei der i) bis auf meine tollen
> Formfehler?
Ja, so ziemlich, man wird in dem Geschreibsel nur nicht ganz schlau daraus, wieso die Verdichtungsreihe (absolut) konvergent ist.
Aber da du auf das richtige Ergebnis gekommen bist, scheint es zu stimmen, schreibe es nur für die Übung oder was auch immer schöner auf 
Die Idee ist aber genau die richtige!
>
> bei der ii) hab ich es nochmal versucht, anhand den Dingen,
> die wir zu Leibniz aufgeschrieben haben
>
> [mm]\summe_{v=1}^{\infty}|(-1)* \bruch{v}{v^{2}+1}|=\summe_{v=1}^{\infty}[/mm]
was steht da? leere Summe?
> => divergent
> [mm]\bruch{v}{v^{2}+1}[/mm] = [mm]\bruch{1}{1+\bruch{1}{v^{2}}}[/mm]
Was ist hier passiert? Hast du v gegen [mm] v^2 [/mm] gekürzt? Wieso und nach welcher Kürzungsregel?
Du hattest doch oben schon geschrieben (oder es zumindest so gemeint - glaube ich), dass [mm] $\left(\frac{v}{v^2+1}\right)_{v\in\IN}$ [/mm] eine Nullfolge ist, was ja auch stimmt
> ->1
> somit ist die Reihe nicht konvergent
Ich kapiere das nicht so recht, was habt ihr denn zum Leibnizkriterium aufgeschrieben, die obige Folge muss (für Konvergenz der (alternierenden) Reihe) eine monoton fallende Nullfolge sein mit ausschließlich positiven Gliedern, Nullfolge und Positivität hast du doch schon, weise das monotone Fallen der Folge [mm] $\left(\frac{v}{v^2+1}\right)_{v\in\IN}$ [/mm] nach und du hast die Konvergenz der Reihe gezeigt
>
> ich bin mir aber nicht sicher , vielleicht könntest du mir
> einen anderen Ansatz dazu geben?
Ich wüsste keinen außer Leibniz.
Du kannst ja die zweite Reihe auch mal auf absolute Konvergenz überprüfen ... (Stichwort harmonische Reihe)
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:09 Mo 15.12.2008 | | Autor: | ulla |
Also ich habe "gezeigt" das es sich um eine Nullfolge handelt. Ich verstehe nun nicht weshalb ich noch zeigen soll das [mm] \bruch{v}{v^{2}+1} [/mm] monoton fallend ist.
Meine einzige Variante wäre nun dass der Zählergrad < Nennergrad ist und damit monoton fallend erklärt ist. Wenn ich es mit Induktion zeigen soll finde ich überhaupt keinen Anfang. Kann mir da jemand weiterhelfen??
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:12 Mo 15.12.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo ulla!
> Also ich habe "gezeigt" das es sich um eine Nullfolge
> handelt. Ich verstehe nun nicht weshalb ich noch zeigen
> soll das [mm]\bruch{v}{v^{2}+1}[/mm] monoton fallend ist.
Weil dies eine der Voraussetzungen für die Anwendung des Leibniz-Kriteriums ist.
> Meine einzige Variante wäre nun dass der Zählergrad <
> Nennergrad ist und damit monoton fallend erklärt ist. Wenn
> ich es mit Induktion zeigen soll finde ich überhaupt keinen
> Anfang. Kann mir da jemand weiterhelfen??
Induktion wäre ein Variante. Berechne doch mal alternativ:
[mm] $$a_{v+1}-a_v [/mm] \ = \ [mm] \bruch{v+1}{(v+1)^2+1}-\bruch{v}{v^2+1} [/mm] \ = \ ...$$
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:38 Mo 15.12.2008 | | Autor: | ulla |
Also wenn ich es Induktiv beweise und deinen Schritt weiterführe habe ich nachher den Term: [mm] \bruch{-v-v^{2}+1}{v^{4}+2v^{3}+3v^{3}+2v+2}
[/mm]
das scheint mir aber falsch zu sein!?
We´nn ich es mit dem Leibniz Kriterium versuche komme ich nicht mehr weiter (mein Problem ist auch das wir kein wirkliches Beispiel dazu haben):
[mm] s_{n}-s_{n-2}=\summe_{v=1}^{\infty}(-1)^{v} [/mm] * [mm] a_{v}-\summe_{v=1}^{n-2}(-1)^{v} [/mm] * [mm] a_{v}=..... [/mm] weiter komm ich hier nicht und ich weiß auch nicht ob es so stimmt. Kannst du mir da weiterhelfen??
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> Also wenn ich es Induktiv beweise und deinen Schritt
> weiterführe habe ich nachher den Term:
> [mm]\bruch{-v-v^{2}+1}{v^{4}+2v^{3}+3v^{3}+2v+2}[/mm]
> das scheint mir aber falsch zu sein!?
Keine Ahnung, den Nenner will ich gar nicht nachrechnen. Da stand ja vorher [mm] (v^2+1)((v+1)^2+1). [/mm] Dieser Term ist immer positiv.
Im Zähler hast Du richtig ausgerechnet: [mm] -v^2-v+1. [/mm] Dieser Term ist für deine betrachteten [mm] v\ge1 [/mm] immer negativ.
Also: [mm] a_{v+1}-a_v<0 [/mm] oder [mm] a_{v+1}
Und das wolltest Du doch wissen, oder?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:36 Mo 15.12.2008 | | Autor: | ulla |
Dankeschön für deine Hilfe. Dann stimmt es ja doch ich rechne den Nenner dann nur nicht aus! 
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