Konvergenz von Folgen/Reihen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:55 So 18.11.2007 | | Autor: | balboa |
| Aufgabe | i) [mm] \bruch{n^2-n+1}{(n+2)(n+3)}+\bruch{1}{n log n+1}
[/mm]
ii) [mm] \bruch{(1+(-1)^n)^2+2(-1)^{n+1}+3}{(-1)^{2n}}
[/mm]
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a) [mm] \summe_{k=0}^{\infty}(-1)^k \bruch{2^{3k}}{3^{2k}}
[/mm]
b) [mm] \summe_{k=0}^{\infty}\bruch{3^{k+1}}{4^{k-1}}
[/mm]
c) [mm] \summe_{k=2}^{\infty}\bruch{k}{\wurzel{k^3-k^2+k-1}}
[/mm]
d) [mm] \summe_{k=1}^{\infty}\bruch{1}{\wurzel{k}}- \bruch{1}{\wurzel{k+1}} [/mm] |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Die obigen Folgen/Reihen sollen auf Konvergenz untersucht werden; bisher habe ich Folgendes und bitte um Hinweise auf mögliche Fehler bzw. Hinweise zur Lösung der Aufgabe:
i) = [mm] \bruch{n^2-n+1}{n^2+5n+6}+\bruch{1}{n log n+1} [/mm] = [mm] \bruch{1-\bruch{1}{n}+\bruch{1}{n^2}}{1+\bruch{5}{n}+\bruch{6}{n^2}}+\bruch{1}{n log n+1} [/mm] = [mm] \bruch{1-0+0}{1+0+0}+\bruch{1}{n log n+1} \Rightarrow [/mm] konvergiert gegen 2
ii) = [mm] \bruch{1^2+(-1)^{2n}+2((-1)^{n+1}+3}{(-1)^{2n}} [/mm] = [mm] \bruch{4+(-1)^{2n}+2(-1)^{n+1}}{(-1)^{2n}} \Rightarrow [/mm] konvergiert gegen 5
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a) divergiert (Minorantenkriterium)
b) divergiert, da keine Nullfolge
c) komme ich nicht weiter
d) komme ich nicht weiter
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:58 So 18.11.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo balboa!
Forme die Reihe um zu:
[mm] $$\summe_{k=0}^{\infty}(-1)^k*\bruch{2^{3k}}{3^{2k}} [/mm] \ = \ [mm] \summe_{k=0}^{\infty}(-1)^k*\bruch{8^k}{9^k} [/mm] \ = \ [mm] \summe_{k=0}^{\infty}\left(-\bruch{8}{9}\right)^k$$
[/mm]
Was kannst Du also nun über Divergenz / Konvergenz aussagen?
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:44 So 18.11.2007 | | Autor: | balboa |
Also nichts mit Divergenz, sondern konvergent (gegen 1).
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:58 So 18.11.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo balboa!
Konvergenz ja. Aber Dein Grenzwert ist falsch, da habe ich [mm] $\bruch{9}{17}$ [/mm] erhalten.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:35 So 18.11.2007 | | Autor: | balboa |
> Hallo balboa!
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> Konvergenz ja. Aber Dein Grenzwert ist falsch, da habe ich
> [mm]\bruch{9}{17}[/mm] erhalten.
>
>
> Gruß
> Loddar
>
Wie das? Wenn ich so vorgehe, wie in meinem Skript steht, soll für den Index, der gegen Unendlich läuft 0 eingesetzt werden und das würde dann doch 1 ergeben.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:38 So 18.11.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo balboa!
Wir haben hier doch eine geometrische Reihe der Form:
[mm] $$\summe_{k=0}^{\infty}a_0*q^k [/mm] \ = \ [mm] a_0*\bruch{1}{1-q}$$ [/mm]
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:10 So 18.11.2007 | | Autor: | balboa |
Um dort eine geometrische Reihe zu erkennen, fehlt mir (bisher) einfach der Blick; wenn ich das jetzt richtig sehe, ist doch [mm]a_0[/mm] hier 1 und q -[mm]\bruch{8}{9}[/mm]?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:11 So 18.11.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo balboa!
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]") !!
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:23 So 18.11.2007 | | Autor: | summer00 |
Also die Umformung von Loddar war seh hilfreich. Man kann doch einfach das Wurzelkriterium benutzen und kommt dann auf
[mm] \limes_{k\rightarrow\infty} \wurzel[k]{8/9}^{k} [/mm] = 8/9 < 1
also konvergiert es doch gegen 8/9 ???
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:13 So 18.11.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Summer!
> Also die Umformung von Loddar war seh hilfreich. Man kann
> doch einfach das Wurzelkriterium benutzen und kommt dann
> auf [mm]\limes_{k\rightarrow\infty} \wurzel[k]{8/9}^{k}[/mm] = 8/9 < 1
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> also konvergiert es doch gegen 8/9 ???
Nein, das Ergebnis des Wurzelkriteriums hat nichts mit dem Grenzwert der Reihe zu tun.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:25 So 18.11.2007 | | Autor: | summer00 |
Achso. Also die ganzen Kriterien sagen dann nur was über die Konvergenz und Divergenz aus. Wie bestimme ich dann bei einer Reihe den Grenzwert?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:01 So 18.11.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo balboa!
Auch hier erst einmal umformen:
[mm] $$\summe_{k=0}^{\infty}\bruch{3^{k+1}}{4^{k-1}} [/mm] \ = \ [mm] \summe_{k=0}^{\infty}\bruch{3*3^{k}}{4^k*4^{-1}} [/mm] \ = \ [mm] 4*3*\summe_{k=0}^{\infty}\bruch{3^k}{4^k} [/mm] \ = \ [mm] 12*\summe_{k=0}^{\infty}\left(\bruch{3}{4}\right)^k$$
[/mm]
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:47 So 18.11.2007 | | Autor: | balboa |
Also auch hier Konvergenz
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:07 So 18.11.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo balbao!
Bei dieser Reihe handelt es sich um eine sogenannte Teleskopsumme, bei der sich die meisten Summanden gegenseitig eliminieren:
[mm] $$\summe_{k=1}^{\infty}\left(\bruch{1}{\wurzel{k}}- \bruch{1}{\wurzel{k+1}}\right) [/mm] \ = \ [mm] \summe_{k=1}^{\infty}\bruch{1}{\wurzel{k}}-\summe_{k=1}^{\infty} \bruch{1}{\wurzel{k+1}} [/mm] \ = \ [mm] \summe_{k=0}^{\infty}\bruch{1}{\wurzel{k+1}}-\summe_{k=1}^{\infty} \bruch{1}{\wurzel{k+1}} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{\wurzel{0+1}}+\summe_{k=1}^{\infty}\bruch{1}{\wurzel{k+1}}-\summe_{k=1}^{\infty} \bruch{1}{\wurzel{k+1}} [/mm] \ = \ ...$$
Gruß
Loddar
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:35 So 18.11.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo balboa!
> i) = [mm]\bruch{n^2-n+1}{n^2+5n+6}+\bruch{1}{n log n+1}[/mm] = [mm]\bruch{1-\bruch{1}{n}+\bruch{1}{n^2}}{1+\bruch{5}{n}+\bruch{6}{n^2}}+\bruch{1}{n log n+1}[/mm] = [mm]\bruch{1-0+0}{1+0+0}+\bruch{1}{n log n+1}[/mm]
> [mm]\Rightarrow[/mm] konvergiert gegen 2
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") Deine Umformungen sind richtig. Aber wie kommst dua f den Wert $2_$ ? Gegen welchen Wert strebt denn der 2. Bruch?
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:55 So 18.11.2007 | | Autor: | balboa |
Wenn ich für n 0 einsetze würde der zweite Bruch doch wie folgt aussehen:
[mm]
\bruch{1}{0(\infty)+1}
[/mm]
entsprechend würde dies doch bedeuten, dass ich auch hier [mm]\bruch{1}{1} \rightarrow 1[/mm] stehen habe, daher die 2; oder wo ist da mein Gedankenfehler?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:02 So 18.11.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo balboa!
Zum einen ist doch mit Sicherheit der Grenzwert für [mm] $n\rightarrow\red{\infty}$ [/mm] gesucht, oder?
Und der Ausdruck [mm] $0*\infty$ [/mm] ist unbestimmt, den man ohne weitere Untersuchungen nicht angeben kann. Denn dieser Ausdruck kann jeden Wert annehmen.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:38 So 18.11.2007 | | Autor: | balboa |
Unbestimmt ja, aber ist das nicht egal, da dieser augrund der Multiplikation mit 0 (eingesetzt für Unendlich) enfällt? Oder läuft der gesamte Bruch dann gegen [mm]\infty[/mm] und somit dann auch die Folge?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:41 So 18.11.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo balboa!
Der Bruch [mm] $\bruch{1}{n*\ln(n)+1}$ [/mm] läuft für [mm] $n\righarrow\infty$ [/mm] gegen $0_$ da der Nenner für große $n_$ auch benfalls unedlich groß wird.
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:54 So 18.11.2007 | | Autor: | balboa |
OK, jetzt habe ich es; mich irritierte das +1. Konvergiert also insgesamt gegen 1.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:46 So 18.11.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo balboa!
Hier hast Du falsch umgeformt (die binomische Formel im Zähler), und dennoch am Ende das Richtige erhalten.
Zudem solltest Du auch hinschreiben, dass gilt [mm] $(-1)^{2*n} [/mm] \ = \ [mm] \left[(-1)^2\right]^n [/mm] \ = \ [mm] (+1)^n [/mm] \ = \ 1$ . Und dass diese Folge konstant ist (und gar nich von $n_$ abhängt).
Gruß
Loddar
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:51 So 18.11.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo balboa!
Klammere im Nenner $k_$ aus und kürze. Anschließend abschätzen ...
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:29 So 18.11.2007 | | Autor: | balboa |
Ich komme dann auf [mm]\bruch{1}{\wurzel{k^2-k}}\rightarrow[/mm] konvergiert gegen 0; richtig?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:32 So 18.11.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo balboa!
Ist das Deine abgeschätzte Folge, oder nur die gekürzte Darstellung - dann stimmt es nämlich nicht.
Und der Grenzwert [mm] $\rightarrow [/mm] \ 0$ gilt ja nur für die Folge, nicht jedoch für die Reihe (also die Summe).
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:47 So 18.11.2007 | | Autor: | balboa |
Wenn ich k ausklammere erhalte ich doch Folgendes:
[mm]\bruch{k}{k\wurzel{k^2-k+1-1}} \rightarrow \bruch{1}{\wurzel{k^2-k}[/mm] und dies läuft als Folge gegen 0; entsprechend läuft doch auch die Summe der Folgen gegen 0 oder ging es jetzt darum, dass ich das Summensymbol nicht eingetippt habe?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:54 So 18.11.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo balboa!
Zum einen hast Du falsch ausgeklammert:
[mm] $$\wurzel{k^3-k^2+k-1} [/mm] \ = \ [mm] \wurzel{k^2*\left(k-1+\bruch{1}{k}-\bruch{1}{k^2}\right)} [/mm] \ = \ [mm] \wurzel{k^2}*\wurzel{k-1+\bruch{1}{k}-\bruch{1}{k^2}} [/mm] \ = \ [mm] k*\wurzel{k-1+\bruch{1}{k}-\bruch{1}{k^2}}$$
[/mm]
Zum anderen darfst du hier nicht Konvergenz der Folge [mm] $a_k$ [/mm] mit der Konvergenz der Reihe [mm] $\summe_{k=0}^{\infty}a_k$ [/mm] verwechseln.
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:23 So 18.11.2007 | | Autor: | balboa |
Die Reihe konvergiert, wenn ich das jetzt richtig gesehen habe also gegen 1.
Vielen Dank Loddar für deine Mühen; mir fehlt einfach manchmal der richtige Blick und das notwendige Hintergrundwissen. Ich habe vor gut 10 Jahren mein Abi gemacht und seitdem nichts mehr mit derartiger Mathematik zu tun gehabt; man verlernt/vergisst doch schon einiges mit der Zeit.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:28 So 18.11.2007 | | Autor: | Mephis |
Hi balboa,
wie Loddar gesagt hat, verwechselst du die Konvergenz der Folge mit der Konvergenz der Reihe.
Stichwort: harmonische Reihe als divergente Minorante!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:09 So 18.11.2007 | | Autor: | summer00 |
Wenn man die Aufgabe soweit vereinfacht hat. mit welchem Kriterium kann man dann die Konvergenz bestimmen?
Majoranten? Ich komme da irgendwie nicht weiter.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:38 So 18.11.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo summer!
Hier kann man z.B. wie folgt abschätzen:
[mm] $$\bruch{1}{\wurzel{k-1+\bruch{1}{k}-\bruch{1}{k^2}}} [/mm] \ > \ [mm] \bruch{1}{\wurzel{k}} [/mm] \ > \ [mm] \bruch{1}{k}$$
[/mm]
Gruß
Loddar
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![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
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