Konvergenz von Folgen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:28 Mi 10.12.2014 | | Autor: | mathswho |
| Aufgabe | Zeigen Sie mithilfe des [mm] \varepsilon-Kriteriums [/mm] aus der Definition einer konvergenten Folge, dass die Folge [mm] {a_{n}} [/mm] mit
[mm] a_{n}=n^2/(n^2+n+1)
[/mm]
konvergiert |
Dazu habe ich folgenden Ansatz gemacht:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} n^2/(n^2+n+1)=1
[/mm]
[mm] |a_{n}-1|=|(n^2/(n^2+n+1))-1|= |(n^2/(n^2+n+1))-1| [/mm] < [mm] \varepsilon
[/mm]
=> [mm] N>1/\varepsilon
[/mm]
[mm] \forall \varepsilon [/mm] > 1 [mm] \exists [/mm] N > 1//varepsilon [mm] \forall_{n} [/mm] ≥ N: [mm] |a_{n}-a|=|(n^2/(n^2+n+1))-1|=|(n^2/(n^2+n+1))-1|≤1/N<\varepsilon
[/mm]
ist das richtig?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:38 Mi 10.12.2014 | | Autor: | fred97 |
> Zeigen Sie mithilfe des [mm]\varepsilon-Kriteriums[/mm] aus der
> Definition einer konvergenten Folge, dass die Folge [mm]{a_{n}}[/mm]
> mit
> [mm]a_{n}=n^2/(n^2+n+1)[/mm]
> konvergiert
> Dazu habe ich folgenden Ansatz gemacht:
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} n^2/(n^2+n+1)=1[/mm]
>
> [mm]|a_{n}-1|=|(n^2/(n^2+n+1))-1|= |(n^2/(n^2+n+1))-1|[/mm] <
> [mm]\varepsilon[/mm]
> => [mm]N>1/\varepsilon[/mm]
Was bedeutet dieser Implikationspfeil ??? Was ist N ?
>
> [mm]\forall \varepsilon[/mm] > 1
Du meinst sicher [mm] \varepsilon [/mm] >0.
> [mm]\exists[/mm] N > 1//varepsilon
> [mm]\forall_{n}[/mm] ≥ N:
> [mm]|a_{n}-a|=|(n^2/(n^2+n+1))-1|=|(n^2/(n^2+n+1))-1|≤1/N<\varepsilon[/mm]
>
> ist das richtig?
Nein. Das N fällt vom Himmel ! Du sollst zeigen, dass es ein solches N mit der gewünschten Eigenschaft gibt !
Rechne nach:
[mm] |a_n-1|=\bruch{n+1}{n^2+n+1}< \bruch{n+1}{n^2+n}= \bruch{n+1}{n(n+1)}= \bruch{1}{n}.
[/mm]
Ist nun [mm] \varepsilon [/mm] >0 vorgegeben, wie musst Du N wählen, damit gilt:
[mm] |a_n-1|<\varepsilon [/mm] für alle n>N ?
FRED
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:50 Mi 10.12.2014 | | Autor: | mathswho |
muss ich dann [mm] N=1/\varepsilon [/mm] wählen?> > Zeigen Sie mithilfe des [mm]\varepsilon-Kriteriums[/mm] aus der
> > Definition einer konvergenten Folge, dass die Folge [mm]{a_{n}}[/mm]
> > mit
> > [mm]a_{n}=n^2/(n^2+n+1)[/mm]
> > konvergiert
> > Dazu habe ich folgenden Ansatz gemacht:
> > [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} n^2/(n^2+n+1)=1[/mm]
> >
> > [mm]|a_{n}-1|=|(n^2/(n^2+n+1))-1|= |(n^2/(n^2+n+1))-1|[/mm] <
> > [mm]\varepsilon[/mm]
> > => [mm]N>1/\varepsilon[/mm]
>
> Was bedeutet dieser Implikationspfeil ??? Was ist N ?
>
>
> >
> > [mm]\forall \varepsilon[/mm] > 1
>
> Du meinst sicher [mm]\varepsilon[/mm] >0.
>
>
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> > [mm]\exists[/mm] N > 1//varepsilon
> > [mm]\forall_{n}[/mm] ≥ N:
> >
> [mm]|a_{n}-a|=|(n^2/(n^2+n+1))-1|=|(n^2/(n^2+n+1))-1|≤1/N<\varepsilon[/mm]
> >
> > ist das richtig?
>
> Nein. Das N fällt vom Himmel ! Du sollst zeigen, dass es
> ein solches N mit der gewünschten Eigenschaft gibt !
>
>
>
> Rechne nach:
>
> [mm]|a_n-1|=\bruch{n+1}{n^2+n+1}< \bruch{n+1}{n^2+n}= \bruch{n+1}{n(n+1)}= \bruch{1}{n}.[/mm]
>
> Ist nun [mm]\varepsilon[/mm] >0 vorgegeben, wie musst Du N wählen,
> damit gilt:
>
> [mm]|a_n-1|<\varepsilon[/mm] für alle n>N ?
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> FRED
> > Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> > Internetseiten gestellt
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:58 Mi 10.12.2014 | | Autor: | fred97 |
> muss ich dann [mm]N=1/\varepsilon[/mm] wählen?
Es xsollte schon N [mm] \in \IN [/mm] gelten ....
FRED
> > Zeigen Sie
> mithilfe des [mm]\varepsilon-Kriteriums[/mm] aus der
> > > Definition einer konvergenten Folge, dass die Folge [mm]{a_{n}}[/mm]
> > > mit
> > > [mm]a_{n}=n^2/(n^2+n+1)[/mm]
> > > konvergiert
> > > Dazu habe ich folgenden Ansatz gemacht:
> > > [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} n^2/(n^2+n+1)=1[/mm]
> > >
> > > [mm]|a_{n}-1|=|(n^2/(n^2+n+1))-1|= |(n^2/(n^2+n+1))-1|[/mm] <
> > > [mm]\varepsilon[/mm]
> > > => [mm]N>1/\varepsilon[/mm]
> >
> > Was bedeutet dieser Implikationspfeil ??? Was ist N ?
> >
> >
> > >
> > > [mm]\forall \varepsilon[/mm] > 1
> >
> > Du meinst sicher [mm]\varepsilon[/mm] >0.
> >
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> > > [mm]\exists[/mm] N > 1//varepsilon
> > > [mm]\forall_{n}[/mm] ≥ N:
> > >
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> [mm]|a_{n}-a|=|(n^2/(n^2+n+1))-1|=|(n^2/(n^2+n+1))-1|≤1/N<\varepsilon[/mm]
> > >
> > > ist das richtig?
> >
> > Nein. Das N fällt vom Himmel ! Du sollst zeigen, dass es
> > ein solches N mit der gewünschten Eigenschaft gibt !
> >
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> > Rechne nach:
> >
> > [mm]|a_n-1|=\bruch{n+1}{n^2+n+1}< \bruch{n+1}{n^2+n}= \bruch{n+1}{n(n+1)}= \bruch{1}{n}.[/mm]
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> >
> > Ist nun [mm]\varepsilon[/mm] >0 vorgegeben, wie musst Du N wählen,
> > damit gilt:
> >
> > [mm]|a_n-1|<\varepsilon[/mm] für alle n>N ?
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> > FRED
> > > Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> > > Internetseiten gestellt
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:51 Mi 10.12.2014 | | Autor: | mathswho |
muss ich dann [mm] N=1/\varepsilon [/mm] wählen?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:59 Mi 10.12.2014 | | Autor: | fred97 |
> muss ich dann [mm]N=1/\varepsilon[/mm] wählen?
Es sollte N [mm] \in \IN [/mm] sein ....
FRED
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:37 Mi 10.12.2014 | | Autor: | mathswho |
Und N=1? Wegen dem Grenzwert?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:38 Mi 10.12.2014 | | Autor: | fred97 |
> Und N=1? Wegen dem Grenzwert?
Unfug !
FRED
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:35 Mi 10.12.2014 | | Autor: | mathswho |
[mm] a_{n}=\bruch{n^2}{n^2+n+1}= \bruch{1}{1+\bruch{1}{n}+\bruch{1}{n^2}}
[/mm]
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1}{1+\bruch{1}{n}+\bruch{1}{n^2}}=1
[/mm]
[mm] \forall \varepsilon [/mm] > 0 [mm] \exists [/mm] N [mm] \in \IN [/mm] mit [mm] |a_{n}-a| [/mm] < [mm] \varepsilon \forall [/mm] n ≥ N
| [mm] \bruch{n^2}{n^2+n+1}-1| [/mm] < [mm] \varepsilon
[/mm]
| [mm] \bruch{n^2}{n^2+n+1}-1| [/mm] = | [mm] \bruch{n^2-n^2-n-1}{n^2+n+1}|= [/mm] |- [mm] \bruch{n+1}{n^2+n+1}|= \bruch{n+1}{n^2+n+1}< \bruch{n+1}{n^2+n}= \bruch{n+1}{n(n+1)}=\bruch{1}{n}
[/mm]
[mm] \gdw \bruch{1}{n}< \varepsilon
[/mm]
[mm] \gdw \bruch{1}{\varepsilon}< [/mm] N
ist das jetzt so richtig?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:11 Mi 10.12.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
warum wird denn immer an Worten gespart?
Gegeben sei
> [mm]a_{n}=\bruch{n^2}{n^2+n+1}= \bruch{1}{1+\bruch{1}{n}+\bruch{1}{n^2}}[/mm]
Wir behaupten:
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1}{1+\bruch{1}{n}+\bruch{1}{n^2}}=1[/mm]
Beweis:
Wir werden zeigen:
> [mm]\forall \varepsilon[/mm] > 0 [mm]\exists[/mm] N [mm]\in \IN[/mm] mit [mm]|a_{n}-a|[/mm] <
> [mm]\varepsilon \forall[/mm] n ≥ N
, d.h. für alle $n [mm] \ge [/mm] N$ gilt dann
> | [mm]\bruch{n^2}{n^2+n+1}-1|[/mm] < [mm]\varepsilon[/mm]
Es gilt nämlich für jedes $n [mm] \in \IN$
[/mm]
> | [mm]\bruch{n^2}{n^2+n+1}-1|[/mm] = |[mm]\bruch{n^2-n^2-n-1}{n^2+n+1}|=[/mm] |- [mm]\bruch{n+1}{n^2+n+1}|= \bruch{n+1}{n^2+n+1}< \bruch{n+1}{n^2+n}= \bruch{n+1}{n(n+1)}=\bruch{1}{n}[/mm]
"Sei dazu [mm] $\varepsilon [/mm] > 0$ (beliebig, aber fest)." (Und jetzt machst Du
einen Fehler!)
> [mm]\red{\gdw} \bruch{1}{n}< \varepsilon[/mm]
Die Logik ist die: Wenn wir nun $N [mm] \in \IN$ [/mm] so angeben können, dass
[mm] $\frac{1}{n} [/mm] < [mm] \varepsilon$
[/mm]
für alle $n [mm] \ge [/mm] N$ gilt, sind wir fertig:
Es existiert ein (nicht notwendig das kleinste) $N [mm] \in \IN$ [/mm] so, dass
[mm] $\frac{1}{N} [/mm] < [mm] \varepsilon$
[/mm]
ist (andernfalls wäre [mm] $\IN \subseteq \IR$ [/mm] durch [mm] $1/\varepsilon$ [/mm] nach oben beschränkt).
[Wenn Du doch das kleinste angeben willst: [mm] $N:=\lfloor 1/\varepsilon\rfloor+1$!]
[/mm]
Sei also [mm] $N=N(\varepsilon) \in \IN$ [/mm] so gewählt, dann folgt die Behauptung mit Hilfe
der obigen Abschätzung, weil
[mm] $|a_n-1| \le \frac{1}{n} \le \frac{1}{N} [/mm] < [mm] \varepsilon$ [/mm] für alle natürlichen $n [mm] \ge N\,.$
[/mm]
Bei dem [mm] "$\red{\gdw}$" [/mm] brauchst Du nur [mm] $\Leftarrow$, [/mm] sofern Du ergänzt, dass
$1/n < [mm] \varepsilon$ [/mm] für alle bis auf endlich viele [mm] $n\,$
[/mm]
gelten soll. Diese Bedingung ist hinreichend für das, was Du haben willst.
Und das [mm] $\red{\gdw}$ [/mm] darfst oder solltest Du an der Stelle auch nicht schreiben,
weil ja gar nicht klar ist, dass diese hinreichende Bedingung auch notwendig
ist!
Lies' Dir vielleicht auch
hier
nochmal durch, wie ein Beweis eigentlich funktioniert. Nicht alle hinreichenden
Bedingungen, die eine Aussage beweisen, sind auch automatisch
notwendig für diese!
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:47 Do 11.12.2014 | | Autor: | mathswho |
Vielen Dank für diese Erklärung!
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