Konvergenz und Wert bestimmen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:03 Do 19.05.2011 | | Autor: | Nerix |
| Aufgabe | Bestimmen sie für die Reihe [mm] \summe_{k=0}^{\infty} \bruch{x+3}{(x-3)^k}
[/mm]
(für x ungleich 3) alle x [mm] \in [/mm] IR,für die die Reihe konvergiert und berechnen sie den Wert der Reihe. |
Hallo,
ich habe mir mal folgende Gedanken gemacht:
[mm] \summe_{k=0}^{\infty} \bruch{x+3}{(x-3)^k} [/mm] = [mm] \summe_{k=0}^{\infty} [/mm] (x+3) [mm] \bruch{1}{(x-3)^k}
[/mm]
Konvergent für: [mm] |(\bruch{1}{x-3})| [/mm] < 1 (unendliche geom.Reihe)
das wäre dann : 1< |x-3| nach der Fallunterscheidung(für den Betrag) komme ich auf folgende Intervalle:
[mm] ]-\infty;-3[ [/mm] und [mm] ]3;+\infty[
[/mm]
für alle x innerhalb dieser Intervalle wäre die Reihe dann Konvergent.
IST DIES RICHTIG???
Dann:
Ich hab keine Ahnung wie ich den Wert der Reihe berechnen soll,kann wer nen Tip geben?
Danke
Grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:14 Do 19.05.2011 | | Autor: | fred97 |
> Bestimmen sie für die Reihe [mm]\summe_{k=0}^{\infty} \bruch{x+3}{(x-3)^k}[/mm]
>
> (für x ungleich 3) alle x [mm]\in[/mm] IR,für die die Reihe
> konvergiert und berechnen sie den Wert der Reihe.
> Hallo,
>
> ich habe mir mal folgende Gedanken gemacht:
> [mm]\summe_{k=0}^{\infty} \bruch{x+3}{(x-3)^k}[/mm] =
> [mm]\summe_{k=0}^{\infty}[/mm] (x+3) [mm]\bruch{1}{(x-3)^k}[/mm]
= [mm](x+3)*\summe_{k=0}^{\infty}[/mm] [mm]\bruch{1}{(x-3)^k}[/mm]
> Konvergent für: [mm]|(\bruch{1}{x-3})|[/mm] < 1 (unendliche
> geom.Reihe)
>
> das wäre dann : 1< |x-3| nach der Fallunterscheidung(für
> den Betrag) komme ich auf folgende Intervalle:
> [mm]]-\infty;-3[[/mm] und [mm]]3;+\infty[[/mm]
Das ist falsch. Für x=3,5 gilt 1< |x-3| nicht.
Richtig: Die Reihe konvergiert für $x [mm] \in (-\infty,2[ \cup [/mm] ]4, [mm] \infty)$
[/mm]
>
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> für alle x innerhalb dieser Intervalle wäre die Reihe
> dann Konvergent.
> IST DIES RICHTIG???
>
>
>
> Dann:
>
> Ich hab keine Ahnung wie ich den Wert der Reihe berechnen
> soll,kann wer nen Tip geben?
Das Stichwort "unendliche geom.Reihe" hast Du selbst schon genannt. Wie lautet den die Summenformel für diese Reihe ?
FRED
>
>
> Danke
> Grüße
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:25 Do 19.05.2011 | | Autor: | Nerix |
> > Bestimmen sie für die Reihe [mm]\summe_{k=0}^{\infty} \bruch{x+3}{(x-3)^k}[/mm]
>
> >
> > (für x ungleich 3) alle x [mm]\in[/mm] IR,für die die Reihe
> > konvergiert und berechnen sie den Wert der Reihe.
> > Hallo,
> >
> > ich habe mir mal folgende Gedanken gemacht:
> > [mm]\summe_{k=0}^{\infty} \bruch{x+3}{(x-3)^k}[/mm] =
> > [mm]\summe_{k=0}^{\infty}[/mm] (x+3) [mm]\bruch{1}{(x-3)^k}[/mm]
>
> = [mm](x+3)*\summe_{k=0}^{\infty}[/mm] [mm]\bruch{1}{(x-3)^k}[/mm]
>
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> > Konvergent für: [mm]|(\bruch{1}{x-3})|[/mm] < 1 (unendliche
> > geom.Reihe)
> >
> > das wäre dann : 1< |x-3| nach der Fallunterscheidung(für
> > den Betrag) komme ich auf folgende Intervalle:
> > [mm]]-\infty;-3[[/mm] und [mm]]3;+\infty[[/mm]
>
> Das ist falsch. Für x=3,5 gilt 1< |x-3| nicht.
>
> Richtig: Die Reihe konvergiert für [mm]x \in (-\infty,2[ \cup ]4, \infty)[/mm]
>
AHHHH!! Ich habe mich da ein wenig verrechnet*ups..dummer Fehler*
Ok,Intervale für Konvergenz stehn!
> >
> > für alle x innerhalb dieser Intervalle wäre die Reihe
> > dann Konvergent.
> > IST DIES RICHTIG???
> >
> >
> >
> > Dann:
> >
> > Ich hab keine Ahnung wie ich den Wert der Reihe berechnen
> > soll,kann wer nen Tip geben?
>
> Das Stichwort "unendliche geom.Reihe" hast Du selbst schon
> genannt. Wie lautet den die Summenformel für diese Reihe
> ?
Diese Idee ist mir auch schon gekommen,da für die konvergente unendliche geom. Reihe gilt: [mm] \bruch{1}{1-x}
[/mm]
so.aber da ich hier für x nun zwei Intervalle habe,weiß ich nicht,was ich hier für x einsetzten muss....
Grüße
> FRED
> >
> >
> > Danke
> > Grüße
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:39 Do 19.05.2011 | | Autor: | fred97 |
> > > Bestimmen sie für die Reihe [mm]\summe_{k=0}^{\infty} \bruch{x+3}{(x-3)^k}[/mm]
>
> >
> > >
> > > (für x ungleich 3) alle x [mm]\in[/mm] IR,für die die Reihe
> > > konvergiert und berechnen sie den Wert der Reihe.
> > > Hallo,
> > >
> > > ich habe mir mal folgende Gedanken gemacht:
> > > [mm]\summe_{k=0}^{\infty} \bruch{x+3}{(x-3)^k}[/mm] =
> > > [mm]\summe_{k=0}^{\infty}[/mm] (x+3) [mm]\bruch{1}{(x-3)^k}[/mm]
> >
> > = [mm](x+3)*\summe_{k=0}^{\infty}[/mm] [mm]\bruch{1}{(x-3)^k}[/mm]
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> > > Konvergent für: [mm]|(\bruch{1}{x-3})|[/mm] < 1 (unendliche
> > > geom.Reihe)
> > >
> > > das wäre dann : 1< |x-3| nach der Fallunterscheidung(für
> > > den Betrag) komme ich auf folgende Intervalle:
> > > [mm]]-\infty;-3[[/mm] und [mm]]3;+\infty[[/mm]
> >
> > Das ist falsch. Für x=3,5 gilt 1< |x-3| nicht.
> >
> > Richtig: Die Reihe konvergiert für [mm]x \in (-\infty,2[ \cup ]4, \infty)[/mm]
>
> >
> AHHHH!! Ich habe mich da ein wenig verrechnet*ups..dummer
> Fehler*
> Ok,Intervale für Konvergenz stehn!
> > >
> > > für alle x innerhalb dieser Intervalle wäre die Reihe
> > > dann Konvergent.
> > > IST DIES RICHTIG???
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> > >
> > > Dann:
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> > > Ich hab keine Ahnung wie ich den Wert der Reihe berechnen
> > > soll,kann wer nen Tip geben?
> >
> > Das Stichwort "unendliche geom.Reihe" hast Du selbst schon
> > genannt. Wie lautet den die Summenformel für diese Reihe
> > ?
> Diese Idee ist mir auch schon gekommen,da für die
> konvergente unendliche geom. Reihe gilt: [mm]\bruch{1}{1-x}[/mm]
>
> so.aber da ich hier für x nun zwei Intervalle habe,weiß
> ich nicht,was ich hier für x einsetzten muss....
Für [mm]x \in (-\infty,2[ \cup ]4, \infty)[/mm] setze q:= [mm] \bruch{1}{x-3}
[/mm]
Der Wert Deiner Reihe ist dann
= [mm] (x+3)*\summe_{n=0}^{\infty}q^n
[/mm]
Jetzt rechne weiter.
FRED
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> Grüße
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> > FRED
> > >
> > >
> > > Danke
> > > Grüße
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:43 Do 19.05.2011 | | Autor: | Nerix |
Hey,
aber selbst wenn ich des substitiere durch q wie des getan hast,dann hab ich immer no in(x-3) des gleiche Problem......
Zum Grundverständnis: Ist der Wert für alle x in den Intervallen der Gleiche oder ist der Wert unterschiedlich???Unterschiedlich,oder?Somit würde ich nur no Beziehung durch die Substitution ausdrücken....
Außerdem müsste es dann nicht (x-3)*q heißen (Ohne Summe)???
Grüße
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Hallo Nerix,
das ist doch kein Chat hier.
Ansonsten heißt "Wert bestimmen" nicht unbedingt, dass es sich um einen Zahlenwert handeln muss. Es kann auch ein eindeutig bestimmter Term sein, der die Variable x beinhaltet.
So wäre es ja z.B. praktisch zu wissen, dass die Reihe dort, wo sie konvergent ist, gegen [mm] x^2 [/mm] konvergiert. Das ist allerdings nicht der Wert, aber Du weißt sicher, was ich meine.
Rechne doch mal aus, was Du hast. Die Summationsaufgabe steht ja schon da, und ob Du das mit q rechnest und dann resubstituierst, oder gleich mit [mm] \tfrac{1}{x-3}, [/mm] ist völlig egal. Heraus kommt das gleiche.
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:13 Do 19.05.2011 | | Autor: | Nerix |
Hallo,
Also ich kann ja für den Wert der Reihe so ansetzten:
x \ in [mm] (-\infty [/mm] ; 2( [mm] \cup [/mm] )4 , [mm] \infty( [/mm]
gilt:
[mm] (x+3)*\bruch{1}{1-x} [/mm] = [mm] \bruch{x+3}{1-x} [/mm] Hier stellt sich mir aber die Frage was für x=1 passiert?Darf ja eigentlich nicht angenommen werden.muss ich des also im Intervall no ausschließen nachträglich?
und ist das schon das Ergebnis,das gesucht wird?
Falls ich [mm] \bruch{x+3}{1-x} [/mm] gegen [mm] \infty [/mm] laufen lasse kommt -1 heraus, für- [mm] \infty [/mm] dann 1!! an den Stellen 2( und )4 "haut" das ganze nach [mm] \infty [/mm] (bzw. [mm] -\infty) [/mm] ab...
Diese Erkenntnisse habe ich durch ausprobieren vers. Werte erhalten.
Grüße
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Hallo nochmal,
> Hallo,
>
> Also ich kann ja für den Wert der Reihe so ansetzten:
> x \ in [mm](-\infty[/mm] ; 2( [mm]\cup[/mm] )4 , [mm]\infty([/mm]
> gilt:
> [mm](x+3)*\bruch{1}{1-x}[/mm] ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") = [mm]\bruch{x+3}{1-x}[/mm]
Es ist für passendes [mm]q[/mm] doch [mm]\sum\limits_{n=0}^{\infty}q^n=\frac{1}{1-q}[/mm]
Dein [mm]q[/mm] ist [mm]\frac{1}{x-3}[/mm], es ist also in dem errechneten Konvergenzbereich:
[mm]\sum\limits_{n=0}^{\infty}\left(\frac{1}{x-3}\right)^n=\frac{1}{1-\frac{1}{x-3}}[/mm]
Nun beachte noch den Vorfaktor und verrechne das ordentlich!
> Hier stellt sich
> mir aber die Frage was für x=1 passiert?Darf ja eigentlich
> nicht angenommen werden.muss ich des also im Intervall no
> ausschließen nachträglich?
> und ist das schon das Ergebnis,das gesucht wird?
>
> Falls ich [mm]\bruch{x+3}{1-x}[/mm] gegen [mm]\infty[/mm] laufen lasse kommt
> -1 heraus, für- [mm]\infty[/mm] dann 1!! an den Stellen 2( und )4
> "haut" das ganze nach [mm]\infty[/mm] (bzw. [mm]-\infty)[/mm] ab...
>
> Diese Erkenntnisse habe ich durch ausprobieren vers. Werte
> erhalten.
>
>
> Grüße
>
Es ist ziemlich schleierhaft, was du da treibst ...
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:29 Do 19.05.2011 | | Autor: | Nerix |
Hallo,
ja,etz versteh ichs!!!!!!
Natürlich mus es:
[mm] (x-3)\sum\limits_{n=0}^{\infty}\left(\frac{1}{x-3}\right)^n=(x-3)\frac{1}{1-\frac{1}{x-3}}=\bruch{(x-3)^2}{x-4}
[/mm]
heißen....
Ist das dann der Wert meiner Reihe?
Grüße
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Hallo nochmal,
oben war der Vorfaktor noch [mm]x\red{+}3[/mm]
> Hallo,
>
> ja,etz versteh ichs!!!!!!
> Natürlich mus es:
>
> [mm](x-3)\sum\limits_{n=0}^{\infty}\left(\frac{1}{x-3}\right)^n=(x-3)\frac{1}{1-\frac{1}{x-3}}=\bruch{(x-3)^2}{x-4}[/mm]
> heißen....
>
> Ist das dann der Wert meiner Reihe?
Mit dem richtigen Vorfaktor dann eher [mm] $\frac{x^2-9}{x-4}$
[/mm]
> Grüße
LG
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:34 Do 19.05.2011 | | Autor: | Nerix |
Halo,
ja hier habe ich aus versehn mit x-3 statt x+3 gerechnet...sorry.
Aber jetzt hab ich das alles verstanden! DANKE vielmals an alle!!
Grüße
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