Konvergenz und Stetigkeit < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | 1) Untersuchen Sie [mm] (a_{n}) [/mm] mit n [mm] \in \IN [/mm] definiert durch [mm] a_{1} [/mm] = 0 und [mm] a_{n+1} [/mm] = [mm] \bruch{1}{5}((a_{n})^{2} [/mm] + [mm] a_{n} [/mm] + 3) für alle n [mm] \in \IN [/mm] auf Konvergenz, und bestimmen Sie gegebenenfalls den Grenzwert.
2) Sei D [mm] \subset \IR [/mm] offen und f: D [mm] \to \IR [/mm] eine stetige Funktion. Dann gilt: [mm] M_{f} [/mm] definiert durch [mm] M_{f} [/mm] = {x [mm] \in [/mm] D | f(x) > 0} ist offen. |
Hallo,
Ich komme mit diesen Aufgaben nicht weit. Muss sie am Freitag Mittag abgeben zur Bewertung abgeben.
zu 1: Ich bin mir nicht sicher, ob ich die Aufgabe richtig verstehe: "wenn [mm] a_{1} [/mm] = 0 ist, dann kann man ja das n = 1 in [mm] a_{n+1} [/mm] einsetzen und im Ausdruck [mm] \bruch{1}{5}((a_{n})^{2} [/mm] + [mm] a_{n} [/mm] + 3) überall [mm] a_{n} [/mm] mit [mm] a_{1} [/mm] ersetzen. Dann hat man [mm] a_{1+1} [/mm] = [mm] \bruch{1}{5}(0^{2} [/mm] + 0 + 3) = [mm] \bruch{3}{5}. [/mm] Dann kann man das so weiter fortsetzen und bekommt eine divergente Folge [mm] (a_{2+1} [/mm] = [mm] \bruch{99}{5}, a_{3+1} [/mm] = [mm] \bruch{423}{5} [/mm] und so weiter). Ist das richtig?
Wenn man aber Konvergenz einer Folge schön und formal bestimmen will, darf man ja so nicht vorgehen. Das sollte irgendwie mit der Definition der Konvergenz funktionieren, bloß weiss ich nicht, wie man hier genau vorgeht: [mm] a_{n} [/mm] ist konvergent, wenn es zu jedem [mm] \epsilon [/mm] > 0 ein [mm] N(\epsilon) \in \IN [/mm] gib, so dass für alle n > [mm] N(\epsilon) [/mm] gilt: [mm] |a_{n} [/mm] - a| < [mm] \epsilon. [/mm] Hier hätten wird dann [mm] |\bruch{(a_{n})^{2} + a_{n} + 3}{5} [/mm] - a| < [mm] \epsilon. [/mm] Und was jetzt damit?
zu 2: Da muss irgendein Zusammenhang zwischen der Offenheit der Menge D und der Setigkeit der Funktion f: D [mm] \to \IR, [/mm] mit der Definitionsmenge D. Nach der Definition der Stetigkeit: f: D [mm] \to \IR [/mm] mit D [mm] \subset \IR [/mm] ist stetig in [mm] x_{0}, [/mm] wenn es zu jedem [mm] \epsilon [/mm] > 0 ein [mm] \delta (\epsilon, x_{0}) [/mm] > 0 gibt, so dass für alle x [mm] \in [/mm] D mit |x - [mm] x_{0}| [/mm] < [mm] \delta [/mm] stets |f(x) - [mm] f(x_{0}| [/mm] < [mm] \epsilon [/mm] ist. f: D [mm] \to \IR [/mm] ist in D stetig, wenn sie in jedem x [mm] \in [/mm] D stetig ist.
Wir haben also die offene Menge D und die Menge [mm] M_{f} [/mm] = {x [mm] \in [/mm] D: f(x) > 0}, die eine Teilmenge von D ist. Alle x in D sind wegen der Offenheit der D innere Punkte von D. Für alle x in [mm] M_{f} [/mm] soll jezt dasselbe gelten. Wenn eine Menge offen ist, heißt das aber noch nicht, dass ihre Teilmengen offen sind, oder?
Ich bin jetzt ziemlich durcheinander und kann das ganze nicht in einen sinnvollen Zusammenhang brigen. Bitte um Hilfe.
Vielen Dank im Voraus
Schöne Grüße
Tevulytis
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:11 Do 16.11.2006 | | Autor: | galileo |
Hallo Tevulytis
> 1) Untersuchen Sie [mm](a_{n})[/mm] mit [mm]n\in\IN[/mm] definiert durch
> [mm]a_{1}=0[/mm] und [mm]a_{n+1}= \bruch{1}{5}\left(
\left( a_{n}\right) ^{2}+a_{n}+3\right)[/mm] für alle [mm]n \in \IN[/mm] auf Konvergenz, und bestimmen Sie
> gegebenenfalls den Grenzwert.
Wenn [mm]a_n[/mm] konvergent ist, dann kannst du limes anwenden auf beiden seitung der Gleichung
[mm]
\lim_{n\to\infty}a_{n+1}
=\bruch{1}{5}\left(
\left( \lim_{n\to\infty}a_{n}\right)^{2}+\lim_{n\to\infty}a_{n}+3\right)
[/mm]
Aber:
[mm]
\lim_{n\to\infty}a_{n+1}=\lim_{n\to\infty}a_{n}
[/mm]
So hast du eine Gleichung mit dem Grenzwert als Unbekannte. Du musst jetzt mit der Definition der Konvergenz untersuchen ob dieser Grenzwert tatsächlich gilt.
Schöne Grüße, galileo
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> Wenn [mm]a_n[/mm] konvergent ist, dann kannst du limes anwenden auf
> beiden seitung der Gleichung
>
> [mm]
\lim_{n\to\infty}a_{n+1}
=\bruch{1}{5}\left(
\left( \lim_{n\to\infty}a_{n}\right)^{2}+\lim_{n\to\infty}a_{n}+3\right)
[/mm]
>
> Aber:
> [mm]
\lim_{n\to\infty}a_{n+1}=\lim_{n\to\infty}a_{n}
[/mm]
>
> So hast du eine Gleichung mit dem Grenzwert als Unbekannte.
> Du musst jetzt mit der Definition der Konvergenz
> untersuchen ob dieser Grenzwert tatsächlich gilt.
>
> Schöne Grüße, galileo
>
Hallo galileo,
Danke für die Antwort.
Wenn ich Definition anwende, habe ich dann so was, wie [mm] a_{n+1} [/mm] konvergiert gegen [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}a_{n}, [/mm] wenn es zu jedem [mm] \epsilon [/mm] ein [mm] N(\epsilon) \in \IN [/mm] gibt, so dass für alle n > [mm] N(\epsilon) [/mm] gilt: [mm] |a_{n+1} [/mm] - [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}a_{n}| [/mm] < [mm] \epsilon [/mm] .
Und was jetzt damit? Ich verstehe nicht, wie man durch Definition erkennt, dass ein bestimmter GW existiert oder nicht...
Hat jemand Ideen zu der zweiten Aufgabe?
Liebe Grüße
Tevulytis
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:42 Do 16.11.2006 | | Autor: | galileo |
Du kannst [mm]a=\lim_{n\to\infty}a_n[/mm] aus der Gleichung bestimmen:
[mm]
a=\bruch{1}{5}(a^2+a+3)\quad\gdw\quad
5a=a^2+a+3\quad\gdw\quad
a^2-4a+3=0\quad\gdw\quad a=2\pm \wurzel{4-3}\quad\Rightarrow\quad
a_1 =1,\quad a_2 =3
[/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:00 Do 16.11.2006 | | Autor: | ullim |
Hi,
Du musst zeigen das für die Folge gilt [mm] 0\le{a_n}\le{1}, [/mm] am Besten durch Induktion und danach, dass die Folge monoton wächst. (Aus Beschränktheit und Monotonie folgt, das der Grenzwert existiert.)
Für die Monotonie musst Du zeigen das [mm] a_{n+1}\ge{a_n} [/mm] gilt. Hier die Definition von [mm] a_{n+1} [/mm] einsetzen und das obige Ergebnis verwenden.
Danach kannst Du dann den Grenzwert ausrechnen, so wie von Gallileo vorgeschlagen. Eine Lösung der quadratischen Gleichung entfällt dann auf Grund der Beschränktheit der Folge.
mfg ullim
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:50 Do 16.11.2006 | | Autor: | ullim |
Hi,
Du musst zeigen, das es zu jedem [mm] x\in{D} [/mm] eine [mm] \delta{-Umgebung} [/mm] von x gibt mit der Eigenschaft, das für alle [mm] y\in{\delta-{Umgebung}} [/mm] gilt f(y)>0.
Aus der Steigkeit von f folgt, zu jedem [mm] \epsilon>0 [/mm] gibt es ein [mm] \delta>0 [/mm] s.d. für alle y mit [mm] |x-y|<\delta [/mm] gilt [mm] |f(x)-f(y)|<\epsilon
[/mm]
Also gibt es auch ein [mm] \delta>0 [/mm] für [mm] \epsilon=\br{f(x)}{2}>0 [/mm] da f(x) ja größer 0 gilt.
Aus [mm] |f(x)-f(y)|<\epsilon [/mm] folgt entweder
I) [mm] f(x)-f(y)<\epsilon [/mm] wenn [mm] f(x)\ge{f(y)} [/mm] gilt oder
II) [mm] f(y)-f(x)<\epsilon [/mm] wenn f(x)<f(y) gilt.
Aus I) folgt, [mm] f(y)>f(x)-\epsilon=\br{f(x)}{2}>0 [/mm] und
aus II) folgt 0<f(x)<f(y) also auch f(y)>0.
Das wars
mfg ullim
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