Konvergenz und Grenzwert < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:55 Fr 25.02.2011 | | Autor: | kushkush |
| Aufgabe | 1. Es soll gezeigt werden, dass die definierten Folgen konvergieren und der jeweils dazugehörige Grenzwert berechnet werden.
a) [mm] $a_{n}=\frac{(-1)^{n}}{8^{n}-7^{n}}$
[/mm]
b) [mm] $b_{n}=\frac{n^{2}+5}{(n+2)^{2}}$
[/mm]
c) [mm] $c_{n}=\frac{2^{n+1}}{1+2^{n}}$
[/mm]
d) [mm] $d_{n}=\frac{1}{n+8}(\sum_{k=9}^{n}k)-\frac{n}{2}$ [/mm] |
Hallo,
bei a) zeige ich dass [mm] $\frac{-1}{8^{n}-7^{n}}$ [/mm] gegen 0 konvergiert, und dass [mm] $\frac{1}{8^{n}-7^{n}}$ [/mm] auch gegen 0 konvergiert:
[mm] $\frac{0}{1}=\frac{\limes \frac{1}{8^{n}}}{\limes \frac{8^{n}}{8^{n}}-\limes \frac{7^{n}}{8^{n}}}=\limes \frac{1}{8^{n}-7^{n}}$
[/mm]
für -1 entsprechend.
b) [mm] $\frac{1}{1}=\frac{\limes \frac{n^{2}}{n^{2}}+\limes \frac{5}{n^{2}}}{\frac{n^{2}}{n^{2}}+\limes \frac{2n}{n^{2}}+\limes \frac{4}{n^{2}}}=\limes \frac{n^{2}+5}{n^{2}+2n+4}$
[/mm]
c) wenn man [mm] $2^{n+1}$ [/mm] rauskürzt, dann divergiert diese Folge doch gegen [mm] $\infty$ [/mm] ...
d)$ [mm] \frac{1}{n+8}(\sum_{k=9}^{n}k)-\frac{n}{2}=\frac{1}{n+8}(9+10...(n-1)+n)-\frac{n}{2}$
[/mm]
dann stecke ich fest, wie komme ich hier weiter?
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt und bin für eine Korrektur dankbar.
Danke und Gruss
kushkush
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:06 Fr 25.02.2011 | | Autor: | fred97 |
> 1. Es soll gezeigt werden, dass die definierten Folgen
> konvergieren und der jeweils dazugehörige Grenzwert
> berechnet werden.
>
> a) [mm]a_{n}=\frac{(-1)^{n}}{8^{n}-7^{n}}[/mm]
> b) [mm]b_{n}=\frac{n^{2}+5}{(n+2)^{2}}[/mm]
> c) [mm]c_{n}=\frac{2^{n+1}}{1+2^{n}}[/mm]
> d) [mm]d_{n}=\frac{1}{n+8}(\sum_{k=9}^{n}k)-\frac{n}{2}[/mm]
> Hallo,
>
> bei a) zeige ich dass [mm]\frac{-1}{8^{n}-7^{n}}[/mm] gegen 0
> konvergiert, und dass [mm]\frac{1}{8^{n}-7^{n}}[/mm] auch gegen 0
> konvergiert:
>
> [mm]\frac{0}{1}=\frac{\limes \frac{1}{8^{n}}}{\limes \frac{8^{n}}{8^{n}}-\limes \frac{7^{n}}{8^{n}}}=\limes \frac{1}{8^{n}-7^{n}}[/mm]
>
> für -1 entsprechend.
>
>
> b) [mm]\frac{1}{1}=\frac{\limes \frac{n^{2}}{n^{2}}+\limes \frac{5}{n^{2}}}{\frac{n^{2}}{n^{2}}+\limes \frac{2n}{n^{2}}+\limes \frac{4}{n^{2}}}=\limes \frac{n^{2}+5}{n^{2}+2n+4}[/mm]
Binomi Binomi !! [mm] (n+2)^2=n^2+4n+4
[/mm]
>
> c) wenn man [mm]2^{n+1}[/mm] rauskürzt, dann divergiert diese Folge
> doch gegen [mm]\infty[/mm] ...
Nein: [mm] \bruch{2^{n+1}}{1+2^n}= \bruch{2^n}{2^n}*\bruch{2}{1/2^n+1}
[/mm]
>
> d)[mm] \frac{1}{n+8}(\sum_{k=9}^{n}k)-\frac{n}{2}=\frac{1}{n+8}(9+10...(n-1)+n)-\frac{n}{2}[/mm]
>
> dann stecke ich fest, wie komme ich hier weiter?
[mm] \summe_{k=1}^{n}k= \bruch{n(n+1)}{2}
[/mm]
FRED
>
>
>
> Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt und
> bin für eine Korrektur dankbar.
>
>
> Danke und Gruss
>
> kushkush
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:42 Fr 25.02.2011 | | Autor: | kushkush |
Hallo,
> Nein:
OK!
> Summenformel
[mm] $\sum_{k=9}^{n}k=\sum_{k=1}^{n}k-\sum_{k=1}^{8}k=(\frac{n(n+1)}{2}-36)$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow \frac{1}{n+8}(\sum_{k=9}^{n}k)-\frac{n}{2}= \frac{1}{n+8}(\frac{n(n+1)}{2}-36))-\frac{n}{2}=\frac{9n-72}{2n+16}$
[/mm]
Also
[mm] $\frac{9}{2}=\frac{\limes \frac{9n}{n}-\limes \frac{72}{n}}{\limes \frac{2n}{n}+\limes \frac{16}{n}}=\limes \frac{9n-72}{2n+16}$
[/mm]
> FRED
Danke.
Gruss
kushkush
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Hallo kuskkush,
> Hallo,
>
>
> > Nein:
>
>
> OK!
>
> > Summenformel
>
> [mm]\sum_{k=9}^{n}k=\sum_{k=1}^{n}k-\sum_{k=1}^{8}k=(\frac{n(n+1)}{2}-36)[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow \frac{1}{n+8}(\sum_{k=9}^{n}k)-\frac{n}{2}= \frac{1}{n+8}(\frac{n(n+1)}{2}-36))-\frac{n}{2}=\frac{9n-72}{2n+16}[/mm]
Beim Zähler hast Du dich verrechnet.
[mm]\frac{\red{9}n-72}{2n+16}[/mm]
>
> Also
> [mm]\frac{9}{2}=\frac{\limes \frac{9n}{n}-\limes \frac{72}{n}}{\limes \frac{2n}{n}+\limes \frac{16}{n}}=\limes \frac{9n-72}{2n+16}[/mm]
>
>
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>
> > FRED
>
> Danke.
>
>
>
> Gruss
>
> kushkush
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:07 Sa 26.02.2011 | | Autor: | kushkush |
Hallo Mathepower,
Da muss -7n-72 im Zähler stehen. Danke.
Gruss
kushkush
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