Konvergenz und Beschränktheit < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:19 Fr 23.01.2009 | | Autor: | Pille456 |
Hi!
Ich habe mal ein Verständnisfrage zu Konvergenz und Beschränktheit:
Angenommen ich hätte die Abbildung f: [mm] \IR \to \IR [/mm] mit f(x) = [mm] x^{2}.
[/mm]
f ist dann nach unten beschränkt, da die untere Schranke die 0 ist, nach oben jedoch nicht beschränkt, da sie keine obere Schranke hat.
Der Grenzwert ist unendlich, also [mm] \limes_{x\rightarrow\infty} [/mm] = [mm] +\infty
[/mm]
Logischerweise ist die Funktion streng monoton steigend.
Nun habe ich folgendes Lemma:
"Jede konvergente reelle Zahlenfolge ist beschränkt"
f ist nicht beschränkt, da f keine obere Schranke hat, also ist f keine konvergente Zahlenfolge? Anders ausgedrückt: heißt das, jede Folge die gegen [mm] +(-)\infty [/mm] konvergiert ist keine konvergente Zahlenfolge?
In der Definition wird das nicht explizit gesagt, aber es wäre mit der Definition zu vereinbaren. (oder?)
"Umgekehrt ist jede beschränkt reelle Zahlenfolge konvergent, falls sie monoton ist."
Dies gilt doch aber nur für monotone Folgen. Wenn die Folge nämlich streng monoton ist konvergiert sie gegen +(-) [mm] \infty
[/mm]
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> Hi!
> Ich habe mal ein Verständnisfrage zu Konvergenz und
> Beschränktheit:
> Angenommen ich hätte die Abbildung f: [mm]\IR \to \IR[/mm] mit f(x)
> = [mm]x^{2}.[/mm]
> f ist dann nach unten beschränkt, da die untere Schranke
> die 0 ist, nach oben jedoch nicht beschränkt, da sie keine
> obere Schranke hat.
Hallo,
ja, so ist es.
> Der Grenzwert ist unendlich, also
> [mm]\limes_{x\rightarrow\infty}[/mm] = [mm]+\infty[/mm]
> Logischerweise ist die Funktion streng monoton steigend.
Wieso "logischerweise"?
Die Funktion ist auch nicht monoton wachsend. Im Intervall [mm] ]-\infty, [/mm] 0] fällt sie nämlich.
>
> Nun habe ich folgendes Lemma:
> "Jede konvergente reelle Zahlenfolge ist beschränkt"
> f ist nicht beschränkt,
f ist keine reelle Zahlenfolge.
Gruß v. Angela
> da f keine obere Schranke hat,
> also ist f keine konvergente Zahlenfolge? Anders
> ausgedrückt: heißt das, jede Folge die gegen [mm]+(-)\infty[/mm]
> konvergiert ist keine konvergente Zahlenfolge?
> In der Definition wird das nicht explizit gesagt, aber es
> wäre mit der Definition zu vereinbaren. (oder?)
>
> "Umgekehrt ist jede beschränkt reelle Zahlenfolge
> konvergent, falls sie monoton ist."
> Dies gilt doch aber nur für monotone Folgen. Wenn die
> Folge nämlich streng monoton ist konvergiert sie gegen +(-)
> [mm]\infty[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:43 Fr 23.01.2009 | | Autor: | Pille456 |
Korrektur:
f sei eine Abbildung von f: [mm] \IN \to \IR [/mm] mit f(x) = [mm] x^{2} [/mm] und damit ist sie eine Zahlenfolge.
f ist dann streng monoton wachsend, da x [mm] \ge [/mm] 0 gilt.
Weiterhin konvergiert f gegen + [mm] \infty
[/mm]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:46 Fr 23.01.2009 | | Autor: | fred97 |
> Korrektur:
> f sei eine Abbildung von f: [mm]\IN \to \IR[/mm] mit f(x) = [mm]x^{2}[/mm]
> und damit ist sie eine Zahlenfolge.
> f ist dann streng monoton wachsend, da x [mm]\ge[/mm] 0 gilt.
> Weiterhin konvergiert f gegen + [mm]\infty[/mm]
So stimmts
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:58 Fr 23.01.2009 | | Autor: | Pille456 |
Alles klar, danke! ;)
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