Konvergenz nach Leibniz < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo,
Ich soll mit Hilfe des Leibniz-Kriteriums auf Konvergenz untersuchen und möchte wissen, ob meine Schreibweise mathematisch korrekt ist:
Zu untersuchende Folge:
[mm] \summe_{n=1}^{\infty}= \bruch{(-1)^{n}}{2n+1}
[/mm]
von mir ergänzt:
[mm] \summe_{n=1}^{\infty}= \bruch{(-1)^{n}}{2n+1}=-\bruch{1}{3}+\bruch{1}{5}-\bruch{1}{7}+\bruch{1}{9}- [/mm] ...
Nun prüfe ich auf die hinreichenden Bedingungen:
Die Glieder einer konvergenten, alternierenden Reihe bilden bem Betrag nach eine monoton fallende Nullfolge.
1.) Dem Betrag nach fallend:
[mm] \bruch{1}{3}>\bruch{1}{5}>\bruch{1}{7}>\bruch{1}{9} \Rightarrow [/mm] Erste Bedingung erfüllt
2.) Ist Nullfolge:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{(-1)^{n}}{2n+1} \Rightarrow (-1)^{n}* \bruch{1}{2n+1}=(-1)^{n}* \bruch{1}{n(2+\bruch{1}{n}})= \limes_{n\rightarrow\infty}[(-1)^{n}*\bruch{1}{n}*\bruch{1}{2+\bruch{1}{n}}] \Rightarrow (\pm)1*0*\bruch{1}{(2+0)} \Rightarrow [/mm] 0
"0" nach Produktregel [mm] \Rightarrow [/mm] Nullfolge [mm] \Rightarrow [/mm] Zweite Bedingung erfüllt.
Die gegebene Folge ist nach Leibniz konvergent.
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Hallo Mathe-Andi!
Den Nachweis der Monotonie musst Du schon allgemein zeigen und nicht nur für die ersten paar Glieder.
Berechne also z.B. [mm] $a_{n+1}-a_n [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{2*(n+1)+1}-\bruch{1}{2*n+1} [/mm] \ = \ ...$
Gruß vom
Roadrunner
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Ok, ich subtrahiere das Glied [mm] a_{n} [/mm] von dessen Folgeglied [mm] a_{n+1}
[/mm]
Ist dieses Ergebnis negativ gilt die Monotonie allgemein, da das Folgeglied dann kleiner sein muss (wenn das falsch ist, bitte berichtigen).
[mm] a_{n+1}-a_{n}= \bruch{1}{2(n+1)+1} [/mm] - [mm] \bruch{1}{2n+1}= \bruch{1}{2n+3} [/mm] - [mm] \bruch{1}{2n+1}
[/mm]
wobei ich es gar nicht zu Ende ausrechnen muss, da:
[mm] \bruch{1}{2n+3} [/mm] < [mm] \bruch{1}{2n+1}
[/mm]
(für alle n>0, diese Bedingung gibts ja auch bei Leibniz)
Somit ist es allgemein bewiesen oder?
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Hallo Mathe-Andi,
> Ok, ich subtrahiere das Glied [mm]a_{n}[/mm] von dessen Folgeglied
> [mm]a_{n+1}[/mm]
> Ist dieses Ergebnis negativ gilt die Monotonie allgemein,
> da das Folgeglied dann kleiner sein muss (wenn das falsch
> ist, bitte berichtigen).
>
> [mm]a_{n+1}-a_{n}= \bruch{1}{2(n+1)+1}[/mm] - [mm]\bruch{1}{2n+1}= \bruch{1}{2n+3}[/mm]
> - [mm]\bruch{1}{2n+1}[/mm]
>
> wobei ich es gar nicht zu Ende ausrechnen muss, da:
>
> [mm]\bruch{1}{2n+3}[/mm] < [mm]\bruch{1}{2n+1}[/mm]
>
> (für alle n>0, diese Bedingung gibts ja auch bei Leibniz)
>
> Somit ist es allgemein bewiesen oder?
Jo, mir würde das reichen. Zumal [mm] $a_{n+1}-a_n [/mm] \ < \ 0 \ [mm] \gdw [/mm] \ [mm] a_{n+1} [/mm] \ < \ [mm] a_n$, [/mm] was ja letztlich dasteht ...
Ansonsten ist die Begründung für die letzte Ungleichung [mm] $\frac{1}{2n
+3} [/mm] < [mm] \frac{1}{2n+1}$ [/mm] ja ein Zweizeiler: gehe zum Kehrbruch über ...
Gruß
schachuzipus
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:43 Mi 12.12.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo Matheandi,
> Ok, ich subtrahiere das Glied [mm]a_{n}[/mm] von dessen Folgeglied
> [mm]a_{n+1}[/mm]
> Ist dieses Ergebnis negativ gilt die Monotonie allgemein,
> da das Folgeglied dann kleiner sein muss (wenn das falsch
> ist, bitte berichtigen).
>
> [mm]a_{n+1}-a_{n}= \bruch{1}{2(n+1)+1}[/mm] - [mm]\bruch{1}{2n+1}= \bruch{1}{2n+3}[/mm]
> - [mm]\bruch{1}{2n+1}[/mm]
>
> wobei ich es gar nicht zu Ende ausrechnen muss, da:
>
> [mm]\bruch{1}{2n+3}[/mm] < [mm]\bruch{1}{2n+1}[/mm]
>
> (für alle n>0, diese Bedingung gibts ja auch bei Leibniz)
>
> Somit ist es allgemein bewiesen oder?
ja, das geht, wie Schachu schon sagte, so auch in Ordnung.
Genauer gesagt machst Du eigentlich das folgende:
Für alle $n [mm] \in \IN$ [/mm] gilt offenbar
[mm] $$(\*)\;\;\;\;\;2n+1 [/mm] < [mm] 2n+3\,,$$
[/mm]
so dass
[mm] $$a_{n+1}=\frac{1}{2n+3} [/mm] < [mm] a_n=\frac{1}{2n+1}$$
[/mm]
nach Division der Ungleichung [mm] $(\*)$ [/mm] durch $(2n+1)*(2n+3) > [mm] 0\,$ [/mm] folgt.
Du kannst aber auch den Weg von oben natürlich zu Ende rechnen:
Zu zeigen war
[mm] $$\frac{1}{2n+3}-\frac{1}{2n+1} [/mm] < [mm] 0\,.$$
[/mm]
Es gilt
[mm] $$\frac{1}{2n+3}-\frac{1}{2n+1}=\frac{2n+1-(2n+3)}{(2n+1)*(2n+3)}=\frac{-2}{(2n+1)*(2n+3)}\,,$$
[/mm]
woraus wegen $(2n+1)*(2n+3) > [mm] 0\,$ [/mm] dann
[mm] $$\frac{1}{2n+3}-\frac{1}{2n+1}=\frac{2n+1-(2n+3)}{(2n+1)*(2n+3)}=\frac{-2}{(2n+1)*(2n+3)} [/mm] < [mm] 0\,$$
[/mm]
folgt.
P.S. Der Hinweis von Schachu mit dem Kehrbruch mal formal:
Behauptung: Sind $a,b > [mm] 0\,$ [/mm] so gilt
$$a < b [mm] \;\;\;\gdw\;\;\;\frac{1}{a} \textbf{ > } \frac{1}{b} [/mm] $$
Beweis:
[mm] "$\Longrightarrow$": [/mm] Aus $a < [mm] b\,$ [/mm] folgt wegen $a*b > 0$ sodann
[mm] $$\frac{a}{a*b} [/mm] < [mm] \frac{b}{a*b} {\;\;\;\;\Rightarrow\;\;\;\;} \frac{1}{b} [/mm] < [mm] \frac{1}{a}{\;\;\;\;\Rightarrow\;\;\;\;} \frac{1}{a} \textbf{ > }\frac [/mm] 1 [mm] b\,.$$
[/mm]
[mm] "$\Longleftarrow$": [/mm] Aus [mm] $\frac{1}{a} \textbf{ \red{>} } \frac{1}{b}\,$ [/mm] folgt wegen $a*b > 0$ sodann
[mm] $$\frac{a*b}{a} [/mm] > [mm] \frac{a*b}{b} {\;\;\;\;\Rightarrow\;\;\;\;} \frac{b}{1} [/mm] > [mm] \frac{a}{1} {\;\;\;\;\Rightarrow\;\;\;\;} [/mm] a < [mm] b\,.$$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:55 Mi 12.12.2012 | | Autor: | Mathe-Andi |
Ihr seid klasse, danke!
Gruß Andreas
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:44 Mi 12.12.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo,
>
> Ich soll mit Hilfe des Leibniz-Kriteriums auf Konvergenz
> untersuchen und möchte wissen, ob meine Schreibweise
> mathematisch korrekt ist:
>
> Zu untersuchende Folge:
>
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty}\textbf{\red{=}} \bruch{(-1)^{n}}{2n+1}[/mm]
>
> von mir ergänzt:
>
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty}\textbf{\red{=}} \bruch{(-1)^{n}}{2n+1}=-\bruch{1}{3}+\bruch{1}{5}-\bruch{1}{7}+\bruch{1}{9}-[/mm] ...
die von mir rotmarkierten [mm] $=\,$ ($\textbf{\red{=}}$) [/mm] sind zu viel.
Gruß,
Marcel
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