Konvergenz mit Quotientenkrit. < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Untersuchen Sie die folgenden Reihen auf Konvergenz:
[mm] $\displaystyle \sum^{\infty}_{n=1} \Big( \frac{2n-1}{2n+1}\Big)^{n\left( n-1\right)}$;\\ [/mm] |
Meine Ansätze:
Wir untersuchen mit Hilfe des Quotientenkriteriums ob die Reihe [mm] konvergiert.\\
[/mm]
Wir definieren:
[mm] a_n [/mm] = [mm] \left( \frac{2n-1}{2n+1}\right)^{n\left( n-1\right)}\\
[/mm]
[mm] a_{n+1} [/mm] = [mm] \left( \frac{2\left(n+1\right)-1}{2\left(n+1\right)+1}\right)^{\left(n+1\right)\left( \left(n+1\right)-1\right)}\\
[/mm]
= [mm] \left( \frac{2n+1}{2n+3}\right)^{n\left( n+1\right)}
[/mm]
Wenn [mm] $\displaystyle \exists \lim \frac{\mid{a_{n+1}}\mid}{\mid{a_n}\mid} [/mm] =q$ können weitere Aussagen über Konvergenz oder Divergenz gemacht [mm] werden.\\
[/mm]
[mm] \lim \frac{\abs{a_{n+1}}}{\abs{a_n}} [/mm]
= [mm] \lim \frac{\mid{\left( \frac{2n+1}{2n+3}\right)^{n\left( n+1\right)}}\mid}{\mid{\left( \frac{2n-1}{2n+1}\right)^{n\left( n-1\right)}}\mid}\\
[/mm]
= [mm] \lim \frac{\mid{\left( \frac{2n+1}{2n+3}\right)^{n^2+n}}\mid}{\mid{\left( \frac{2n-1}{2n+1}\right)^{n^2-n}}\mid}\\
[/mm]
Ab hier würde ich anfagen abzuschätzen und zwar nach unten und zwar wie folgt:
> [mm] \lim \frac{\mid{\left( \frac{2n+1}{2n+3}\right)^{n^2+n}}\mid}{\mid{\left( \frac{2n-1}{2n+1}\right)^{n^2+n}}\mid}\\
[/mm]
[mm] >\lim \frac{\mid{\left( \frac{2n+1}{2n+3}\right)}\mid}{\mid{\left( \frac{2n-1}{2n+1}\right)}\mid}\\
[/mm]
hier tauchen aber schon meine fragen auf. darf ich die potenzen einfach so wegfallen lassen? und ist es in ordnung das ich die untere potenz umschreibe?ich denke letztes geht in ordnung da ich abschätze wenn der term unten größer wird wird der bruch ja kleiner. naja dann gehts bei mir so weiter..
= [mm] \frac{\left(2n+1\right)^2}{\left( 2n-1\right)\cdot\left(2n+3\right)}
[/mm]
in den nächsten schritten habe ich das vereinfacht also auseinandergezogen aber naja klingt ab da nicht mehr schlüssig für mich.könnt ihr mir helfen?
ich habe diese frage auf keiner anderen website gestellt.
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Hiho,
dann wollen wir mal 
Überlegen wir mal, wann du wie abschätzen kannst (der Einfachheit halber mal x>0):
Wann ist [mm]x^{n^2-n} \le x^{n^2+n}[/mm] ?
(Oder anders: Wann ist [mm]x^{n+1} \le x^n[/mm] )
Wann ist [mm]x^{n^2-n} \ge x^{n^2+n}[/mm]?
Was gilt bei dir?
Zu deiner Frage ob du Potenzen weglassen kannst:
Du lässt sie ja nicht "einfach weg", sondern du schätzt ab, auch hier wieder die Frage:
Wann ist [mm]x^n \le x[/mm] bzw [mm]x^n \ge x[/mm]
Dann beantworten sich deine Fragen ganz von alleine
Gruß,
Gono.
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Wann ist $ [mm] x^{n^2-n} \le x^{n^2+n} [/mm] $ ?
diese aussage gilt doch immer da [mm] n^2+n [/mm] immer größer ist als [mm] n^2-n
[/mm]
Wann ist $ [mm] x^{n^2-n} \ge x^{n^2+n} [/mm] $?
sh oben nie (selbe begründung)
Was gilt bei dir?
würde auf die erste aussage tippen, aber naja was ich sehe ist das der obere term vom bruch immer größer ist als der untere
Zu deiner Frage ob du Potenzen weglassen kannst:
Du lässt sie ja nicht "einfach weg", sondern du schätzt ab, auch hier wieder die Frage:
Wann ist $ [mm] x^n \le [/mm] x $ bzw $ [mm] x^n \ge [/mm] x $
Dann beantworten sich deine Fragen ganz von alleine
zum ersten wenn x=1 ist dann sin beide seiten der ungleichung gleich ansonsten ist [mm] x^n [/mm] größer, daraus folgt dass die x ohne die potenz schon mal immer kleiner sind.
aber um ehrlich zu sein komm ich damit nicht viel weiter von meinem ???weg, sorry
ps: x ist nach definition schon größer als 0
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Soweit so gut..... du hast nur einen Fall vergessen.
Was ist mit 0<x<1
Was gillt da für [mm]x^n[/mm] und x ?
Wenn du dir den Bruch den du abgeschätzt hast, mal anguckst, wirst du genau diesen Fall feststellen.
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Wann ist $ [mm] x^{n^2-n} \le x^{n^2+n} [/mm] $ ?
in dem falle 0<x<1 ist der term auf der linken seite größer und sonst kleiner also gilt diese aussage für x>1
Wann ist $ [mm] x^{n^2-n} \ge x^{n^2+n} [/mm] $?
diese aussage gilt wenn 0<x<1
Was gilt bei dir?
Wann ist $ [mm] x^n \le [/mm] x
ps es war nicht x sondern n welches als >1 definiert wurde
in dem falle x<1
$ bzw $ [mm] x^n \ge [/mm] x $
sonst
welchen bruch meinst du den letzten ohne betrag oder den vorherigen?
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Ich meine deine erste Abschätzung, wo du nach "unten" abschätzen willst. Du willst den Nenner grösser machen, machst ihn aber eigentlich kleiner, da er zwischen 0 und 1 liegt.
Versuch deinen Bruch mal in der Form:
[mm]\bruch{x^n * R_1}{y^n*R_2}[/mm] darzustellen, weil du dann Brüche mit gleichem Exponenten zusammenfassen kannst.
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[mm] \lim \frac{\mid \left( \frac{2n+1}{2n+3}\right)^{n^2} \cdot \left( \frac{2n+1}{2n+3}\right)^n\mid}{\mid \left( \frac{2n-1}{2n+1}\right)^{n^2} \cdot \left( \frac{2n-1}{2n+1}\right)^{-n}\mid}
[/mm]
[mm] \lim \mid \frac{ \left( \frac{2n+1}{2n+3}\right)^{n^2}}{ \left( \frac{2n-1}{2n+1}\right)^{n^2}} \cdot \frac{ \left( \frac{2n+1}{2n+3}\right)^n}{\left( \frac{2n-1}{2n+1}\right)^{-n}}\mid
[/mm]
[mm] \lim \mid \frac{ \left( \frac{2n+1}{2n+3}\right)^{n^2}}{ \left( \frac{2n-1}{2n+1}\right)^{n^2}} \cdot \left( \frac{2n+1}{2n+1}\right)^n \left(\frac{2n+1}{2n+3} \right)^n\mid
[/mm]
usw?
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Genau, bis auf, die letzte Zeile, die ja heissen müsste:
[mm]\lim \mid \frac{ \left( \frac{2n+1}{2n+3}\right)^{n^2}}{ \left( \frac{2n-1}{2n+1}\right)^{n^2}} \cdot \left( \frac{2n-1}{2n+1}\right)^n \left(\frac{2n+1}{2n+3} \right)^n\mid[/mm]
Weiter umformen, kürzen (z.B. sieht man sofort, dass man [mm] (2n+1)^n [/mm] kürzen kann), Brüche mit gleichem Exponenten zusammenfassen.
Verwende dabei
[mm]\bruch{x^{n^2}}{y^{n^2}} = (\bruch{x}{y})^{n^2}[/mm]
[mm]x^ny^n = (xy)^n [/mm]
[mm]x^{n^2} = x^{n*n} = (x^n)^n [/mm]
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 03:19 Fr 16.05.2008 | | Autor: | honkmaster |
danke, werd mich melden wenns klappt hoffentlich mit lösung 
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[mm] \lim \mid{ \left(\left(\frac{2n+1}{2n-1}\right)^n\cdot \left(\frac{2n+1}{2n+3}\right)^n
\cdot \left(\frac{2n-1}{2n+3}\right)\right)^n}\mid\\
[/mm]
bin nun bei diesem term stecken gebliebn... kann ich nun beginnen abzuschätzen? dh wenn ich stück für stück einen faktor weglasse um den bruch so entweder zu vergrößern oder zu verkleinern?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:13 Fr 16.05.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Deine Zusammenfassung ist falsch.
wo sind etwa die [mm] n^2 [/mm] im Exponenten geblieben? [mm] a^n*a^n=a^{2n} [/mm] nicht [mm] a^{n^2} [/mm] was einer deiner Fehler scheint.
übrigends, du darfst in jedem Moment abschätzen, wenn du es richtig machst
Gruss leduart
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das wäre mein lösungweg...
[mm] \lim \frac{\abs{a_{n+1}}}{\abs{a_n}} [/mm]
&= [mm] \lim \frac{ \abs{\left( \frac{2n+1}{2n+3}\right)^{n\left( n+1\right)}}}{\abs{\left( \frac{2n-1}{2n+1}\right)^{n\left( n-1\right)}}}\\
[/mm]
&= [mm] \lim \frac{ \abs{\left( \frac{2n+1}{2n+3}\right)^{n^2+n}}}{\abs{\left( \frac{2n-1}{2n+1}\right)^{n^2-n}}}\\
[/mm]
&= [mm] \lim \frac{ \abs{\left( \frac{2n+1}{2n+3}\right)^{n^2} \cdot \left( \frac{2n+1}{2n+3}\right)^n}}
[/mm]
[mm] {\abs{\left( \frac{2n-1}{2n+1}\right)^{n^2} \cdot \left( \frac{2n-1}{2n+1}\right)^{-n}}}\\
[/mm]
&= [mm] \lim \abs{ \frac{\left( \frac{2n+1}{2n+3}\right)^{n^2}}{ \left( \frac{2n-1}{2n+1}\right)^{n^2}}
\cdot \frac{\left( \frac{2n+1}{2n+3}\right)^n}{\left( \frac{2n-1}{2n+1}\right)^{-n}}}\\
[/mm]
&= [mm] \lim \abs{ \frac{\left( \frac{2n+1}{2n+3}\right)^{n^2}}{ \left( \frac{2n-1}{2n+1}\right)^{n^2}}
\cdot \left( \frac{2n-1}{2n+1}\right)^n \left(\frac{2n+1}{2n+3} \right)^n}\\
[/mm]
&= [mm] \lim \abs{ \frac{\left( \frac{2n+1}{2n+3}\right)^{n^2}}{ \left( \frac{2n-1}{2n+1}\right)^{n^2}}
\cdot \left(\left( \frac{2n-1}{2n+1}\right) \left(\frac{2n+1}{2n+3} \right)\right)^n}\\
[/mm]
&= [mm] \lim \abs{ \frac{\left( \frac{2n+1}{2n+3}\right)^{n^2}}{ \left( \frac{2n-1}{2n+1}\right)^{n^2}}
\cdot \left(\frac{2n-1}{2n+3}\right)^n}\\
[/mm]
&= [mm] \lim \abs{ \left(\frac{\left(\frac{2n+1}{2n+3}\right)}{\left( \frac{2n-1}{2n+1}\right)}\right)^{n^2}
\cdot \left(\frac{2n-1}{2n+3}\right)^n}\\
[/mm]
&= [mm] \lim \abs{ \left(\frac{\left(2n+1\right) \cdot \left(2n+1\right)}{\left(2n-1\right) \cdot \left(2n+3\right)}\right)^{n^2}
\cdot \left(\frac{2n-1}{2n+3}\right)^n}\\
[/mm]
&= [mm] \lim \abs{ \left(\frac{\left(2n+1\right) \cdot \left(2n+1\right)}{\left(2n-1\right) \cdot \left(2n+3\right)}\right)^{n^2}
\cdot \left(\frac{2n-1}{2n+3}\right)^n}\\
[/mm]
hier ziehe ich das [mm] n^2 [/mm] auseinander..ich könnte ja auch schreiben [mm] (x^n)^n [/mm] (sh kommentar vorher) und dann fasse ich halt die terme mit selben exponenten in der form [mm] (x^n)^n [/mm] * [mm] y^n [/mm] zu [mm] (x^n*y)^n [/mm] zusammen, was ist daran falsch?
&= [mm] \lim \abs{ \left(\left(\frac{\left(2n+1\right) \cdot \left(2n+1\right)}{\left(2n-1\right) \cdot \left(2n+3\right)}\right)^n
\cdot \left(\frac{2n-1}{2n+3}\right)\right)^n}\\
[/mm]
&= [mm] \lim \abs{ \left(\left(\frac{\left(2n+1\right)}{\left(2n-1\right)}\right)^n\cdot \left(\frac{\left(2n+1\right)}{\left(2n+3\right)}\right)^n
\cdot \left(\frac{2n-1}{2n+3}\right)\right)^n}\\
[/mm]
&= [mm] \lim \abs{ \left(\left(\frac{2n+1}{2n-1}\right)^n\cdot \left(\frac{2n+1}{2n+3}\right)^n
\cdot \left(\frac{2n-1}{2n+3}\right)\right)^n}\\
[/mm]
das wäre mein lösungweg...
ps. denkt ecuh die betragsstriche ich verwende ein texbefehl dafür den das forum nicht kann
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:49 Sa 17.05.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
alles richtig, sorry, ich hatte wirklich die [mm] ()^n [/mm] übersehen.
der Rat mit division von Zähler und Nenner durch n, und dann efkt von Dan ist gut, bei Wurzel und quotientenkriterium!
Gruss leduart
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ok das wurzelkriterium werde ich mir später anschauen,will erstmal diesen ansatz weiterverfolgen wenn das ok ist. ich würde jetzt versuchen abzuschätzen und die terme hoch n wegzubekommen die stören mich irgendwie...
da n [mm] \geq [/mm] 1 könnt ich doch den term
[mm] \left(\frac{2n+1}{2n-1}\right)^n [/mm] weglassen der ist ja immer größer 1 also nach unten abschätzen, dann im zweiten term weiter operieren so dass ich diesen auch weglassne kann nur wie?der ist ja immer kleiner als 1 (innerhalt der klammer), um aber nach unten abzuschatzen müsste der term ja gesamt größer als 1 sein damit das gesamtterm kleiner wird wenn ich ihn weglasse....hmm
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:12 Sa 17.05.2008 | | Autor: | abakus |
> ok das wurzelkriterium werde ich mir später anschauen,will
> erstmal diesen ansatz weiterverfolgen wenn das ok ist. ich
> würde jetzt versuchen abzuschätzen und die terme hoch n
> wegzubekommen die stören mich irgendwie...
>
> da n [mm]\geq[/mm] 1 könnt ich doch den term
>
> [mm]\left(\frac{2n+1}{2n-1}\right)^n[/mm] weglassen der ist ja immer
> größer 1 also nach unten abschätzen, dann im zweiten term
> weiter operieren so dass ich diesen auch weglassne kann nur
> wie?der ist ja immer kleiner als 1 (innerhalt der klammer),
> um aber nach unten abzuschatzen müsste der term ja gesamt
> größer als 1 sein damit das gesamtterm kleiner wird wenn
> ich ihn weglasse....hmm
Hallo,
nur ein Hinweis: Der Term [mm]\left(\frac{2n+1}{2n-1}\right)^n[/mm] konvergiert gegen e.
Viele Grüße
Âbakus
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honkmaster hat richtig umgeformt.
Du hast sicher nur die äußere Klammer mit dem Exponenten "hoch n" nicht richtig eingeordnet.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:27 Sa 17.05.2008 | | Autor: | Dan86 |
Bei [mm] \summe_{n=1}^{\infty} \left( \frac{2n-1}{2n+1}\right)^{n\left( n-1\right)}\\ [/mm] könnte man wegen der Potenz auch zum Wurzelkriterium greifen.
Das ganze könntest du dann nach e auflösen und zeigen dass die Reihe konvergiert.
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