Konvergenz in Verteilung < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:41 Sa 14.05.2011 | | Autor: | aly19 |
| Aufgabe | Untersuchen sie folgende Folgen von Zufallsgrößen auf Konvergenz in Verteilung.
a) [mm] X_n \sim Poi(\alpha_n), n\geq [/mm] 1 mit [mm] lim_{n->\infty}\alpha_n=0
[/mm]
[mm] b)X_n \sim Poi(\alpha_n), n\geq [/mm] 1 mit [mm] lim_{n->\infty}\alpha_n=\infty [/mm] |
Guten Morgen!
Ich probiere gerade obige Aufgabe zu lösen. Also ich muss ja zeigen:
[mm] X_n [/mm] ->X in Vert. [mm] \Leftrightarrow P_{X_n}\Rightarrow P_X [/mm] (schwache Konvergenz) [mm] \Leftrightarrow P_{X_n}(f)=\int fdP_{X_n} \rightarrow \int [/mm] f [mm] dP_X =P_X(f) [/mm] für alle f [mm] \in C^b.
[/mm]
Nun ist die Poissonverteilung ja diskret, deshalb bin ich da schon etwas verwirrt. Ich weiß nicht recht was ich machen muss um auf Verteilungskonvergenz zu prüfen. Also wie ich obige Definition konkret anwenden kann.
Ich hab in meinem Skript noch gefunden: [mm] X_n->X [/mm] in Verteilung [mm] \Leftrightarrow F_{X_n}(t)-> F_X(t) [/mm] für alle Stetigkeitspunkte t von [mm] F_X. [/mm]
Da dachte ich mir das bei der a) dann vielleicht so:
[mm] F_{X_n}(t)=e^{-\alpha_n}\sum_{k=0}^t\bruch{\alpha_n^k}{k!} [/mm] -> 0 für [mm] n->\infty. [/mm]
Heißt das dann [mm] X_n [/mm] -> 0 in Verteilung? Und was ist mit den Stetigkeitspunkten? Das gilt dann ja für alle t, das wären ja auch alles Stetigkeitspunkte von [mm] F_X=0 [/mm] oder?
Wäre super wenn mir jemand bei der Aufgabe nen Tipp geben kann, wie man genau vorgehen muss bei Verteilungskonvergenz.
Viele Grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:16 So 15.05.2011 | | Autor: | Fry |
> Untersuchen sie folgende Folgen von Zufallsgrößen auf
> Konvergenz in Verteilung.
> a) [mm]X_n \sim Poi(\alpha_n), n\geq[/mm] 1 mit
> [mm]lim_{n->\infty}\alpha_n=0[/mm]
> [mm]b)X_n \sim Poi(\alpha_n), n\geq[/mm] 1 mit
> [mm]lim_{n->\infty}\alpha_n=\infty[/mm]
> Guten Morgen!
> Ich probiere gerade obige Aufgabe zu lösen. Also ich muss
> ja zeigen:
> [mm]X_n[/mm] ->X in Vert. [mm]\Leftrightarrow P_{X_n}\Rightarrow P_X[/mm]
> (schwache Konvergenz) [mm]\Leftrightarrow P_{X_n}(f)=\int fdP_{X_n} \rightarrow \int[/mm]
> f [mm]dP_X =P_X(f)[/mm] für alle f [mm]\in C^b.[/mm]
> Nun ist die
> Poissonverteilung ja diskret, deshalb bin ich da schon
> etwas verwirrt. Ich weiß nicht recht was ich machen muss
> um auf Verteilungskonvergenz zu prüfen. Also wie ich obige
> Definition konkret anwenden kann.
Ja, das Problem kenn ich. In der Vorlesung wird generell verschwiegen, wie man denn jetzt in konkreten Fällen bzw im diskreten Fall Funktionen integriert. Für die Professoren ists ja trivial ;)...
Sei [mm] \Omega [/mm] abzählbar unendlich (oder endlich) [mm] (\Omega,\mathcal P(\Omega),\mu), [/mm] Maßraum, wobei [mm] \mu [/mm] diskretes WMaß,
Dann gilt: [mm] \int [/mm] f [mm] d\mu=\sum_{\omega\in\Omega}f(\omega)\mu(\{\omega})
[/mm]
Damit f überhaupt [mm] $\mu$-integrierbar [/mm] ist, muss [mm] \sum_{\omega\in\Omega}|f(\omega)|\mu(\{\omega})<\infty [/mm] sein.
Wenn du Stochastik gehört hast, ist das ja nix anders als der Erwartungswert E(f) und f als Variable gesehen. Die absolute Konvergenz braucht man ja für die Existenz, damit man beliebig umordnen darf.
Bei der Aufgabe ists nützlich zu wissen, dass man e Summen als Integral bzgl des Zählmaßes [mm] \nu [/mm] auf [mm] \Omega [/mm] schreiben kann (also [mm] \nu(A)=|A|). [/mm] Spezieller hier
[mm] \sum_{i=0}^{\infty}g(i)=\int [/mm] g [mm] d\nu
[/mm]
wobei man das nur machen darf, wenn die Summe auf der linken Seite absolut konvergiert.
Wenn man die Summe ins Integral umschreibt, kann man den Satz von der majorisierten Konvergenz anwenden (Voraussetzungen überprüfen!)
Dann müsste nur der nullte Summand der Summe übrigbleiben also f(0)
Jetzt reichts zu wissen, dass allgemein gilt:
Sei [mm] \delta_{a} [/mm] die Diracverteilung im Punkte a. Dann gilt:
[mm] \int [/mm] f [mm] d\delta_{a}=f(a)
[/mm]
> Ich hab in meinem Skript noch gefunden: [mm]X_n->X[/mm] in
> Verteilung [mm]\Leftrightarrow F_{X_n}(t)-> F_X(t)[/mm] für alle
> Stetigkeitspunkte t von [mm]F_X.[/mm]
> Da dachte ich mir das bei der a) dann vielleicht so:
> [mm]F_{X_n}(t)=e^{-\alpha_n}\sum_{k=0}^t\bruch{\alpha_n^k}{k!}[/mm]
> -> 0 für [mm]n->\infty.[/mm]
> Heißt das dann [mm]X_n[/mm] -> 0 in Verteilung? Und was ist mit den
> Stetigkeitspunkten? Das gilt dann ja für alle t, das
> wären ja auch alles Stetigkeitspunkte von [mm]F_X=0[/mm] oder?
> Wäre super wenn mir jemand bei der Aufgabe nen Tipp geben
> kann, wie man genau vorgehen muss bei
> Verteilungskonvergenz.
Die Variante geht wohl schneller
[mm] F_n(t)=e^{-a_n}\sum_{k=0}^{|t|}\bruch{a^{k}_n}{k!}[/mm] [mm]\overset{n\to\infty}{\rightarrow}[/mm] 1, falls [mm] t\ge [/mm] 0
0,falls t<0.
Die Betragsstriche sind als Gaußklammer zu interpretieren. Das Symbol hab ich nicht gefunden.
Das ist gerade die Verteilungsfunktion der Diracverteilung in 0.
Die Stetigkeitspunkte sind hier gerade alle [mm] x\not=0.
[/mm]
Wenn du übrigens nur ne Funktion hast, die konstant 0 ist, kann die Grenzverteilung keine Verteilungsfunktion sein. Damit kannst du den zweiten Teil der Aufgabe lösen. Alternativ mittels Beweis durch Widerspruch mit Portmanteau mittels
[mm] \lim inf_{n\to\infty}\mu_n((-a,a))\ge\mu((-a,a)) [/mm] mit [mm] a\in\IN.
[/mm]
[mm] (\mu [/mm] soll das Verteilungslimes sein)
Dann Abschätzung mittels
[mm] 1=\mu(\IR)=\mu(\cup_{a\in\IN}(-a,a)) [/mm] und Subadditivität mittels obigem durch 0 abschätzen und so Widerspruch erzeugen.
Viele Grüße
Fry
Beim zweiten
> Viele Grüße
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:57 Mo 16.05.2011 | | Autor: | aly19 |
hey danke für deine antwort.
habe das ganze ncoh nicht so ganz verstanden.
Also zu
a) wenn lim [mm] \alpha_n [/mm] ->0, dann konvergieren die Poissonverteilungen gegen das Diracmaß in 0? Hab ich das schonmal richtig verstanden?
Und man kann das über die Verteilungsfunktionen zeigen. Leider sehe ich gerade nicht, wieso für t<0 [mm] F_n(t)=e^{-a_n}\sum_{k=0}^{t}\bruch{a^{k}_n}{k!} \overset{n\to\infty}{\rightarrow}1
[/mm]
und für t>0
[mm] F_n(t)=e^{-a_n}\sum_{k=0}^{t}\bruch{a^{k}_n}{k!} \overset{n\to\infty}{\rightarrow}0
[/mm]
gilt. Vielleicht stehe ich da gerade auf dem Schlauch, ich mein die [mm] \alpha_n [/mm] gehen ja gegen Null. Vielleicht kannst du da noch was zu sagen.
b) wenn [mm] \alpha_n [/mm] -> [mm] \infty, [/mm] dann gibt es keine Konvergenz in Verteilung? Hab ich das richtig verstanden?
Gilt dann
[mm] F_n(t)=e^{-a_n}\sum_{k=0}^{t}\bruch{a^{k}_n}{k!} \overset{n\to\infty}{\rightarrow}0 [/mm] für alle t? und deshalb ist das keine Verteilungsfunktion? Ich seh das leider gerade noch nicht.
Wäre super wenn du noch kurz was dazu sagen könntest. viele grüße :)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:12 Mo 16.05.2011 | | Autor: | Fry |
Hi,
> hey danke für deine antwort.
> habe das ganze ncoh nicht so ganz verstanden.
> Also zu
> a) wenn lim [mm]\alpha_n[/mm] ->0, dann konvergieren die
> Poissonverteilungen gegen das Diracmaß in 0? Hab ich das
> schonmal richtig verstanden?
Genau
> Und man kann das über die Verteilungsfunktionen zeigen.
> Leider sehe ich gerade nicht, wieso für
> [mm]F_n(t)=e^{-a_n}\sum_{k=0}^{t}\bruch{a^{k}_n}{k!} \overset{n\to\infty}{\rightarrow}1[/mm]
für [mm] $t\ge [/mm] 0$, denn es gehen zwar die [mm] a_n [/mm] gegen 0, aber der nullte Summand ist dann trotzdem noch [mm] 0^0=1.
[/mm]
> [mm]F_n(t)=e^{-a_n}\sum_{k=0}^{t}\bruch{a^{k}_n}{k!} \overset{n\to\infty}{\rightarrow}0[/mm]
für t<0, da ja dann die Summe schon an sich gleich 0 ist, auch ohne Grenzprozess.
> gilt. Vielleicht stehe ich da gerade auf dem Schlauch, ich
> mein die [mm]\alpha_n[/mm] gehen ja gegen Null. Vielleicht kannst
> du da noch was zu sagen.
>
> b) wenn [mm]\alpha_n[/mm] -> [mm]\infty,[/mm] dann gibt es keine Konvergenz
> in Verteilung? Hab ich das richtig verstanden?
Jap !
> Gilt dann
> [mm]F_n(t)=e^{-a_n}\sum_{k=0}^{t}\bruch{a^{k}_n}{k!} \overset{n\to\infty}{\rightarrow}0[/mm]
> für alle t? und deshalb ist das keine Verteilungsfunktion?
> Ich seh das leider gerade noch nicht.
ja genau.
Also du kannst ja annehmen, dass die Folge der Poissonverteilungen schwach gegen ein Maß [mm] \mu [/mm] konvergieren (bzw entsprechende verteilte Zufallsvariablen in Verteilung gegen eine Zufallsvariable mit Maß [mm] \mu [/mm] konvergieren). Dann muss aber auch die Folge der Verteilungsfunktionen gegen die Verteilungsfunktion F von [mm] \mu [/mm] (in allen Stetigkeitspunkten) punktweise konvergieren.
Da [mm] F_n(t)\to [/mm] 0 für alle t, müsste ja F konstant =0 sein. Aber für jede Verteilungsfunktion gilt ja [mm] \lim_{x\to\infty}F(x)=1. [/mm] Widerspruch.
> Wäre super wenn du noch kurz was dazu sagen könntest.
> viele grüße :)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:41 Di 17.05.2011 | | Autor: | aly19 |
Habs verstanden, DANKE :)
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